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ESERCIZI SVOLTI
SUI LUMITI DI
SUCCESSIONI
1) Utilizzando le definizioni verificare che:
n 1
=
a) lim .
+
→ +∞ 2n 5 2
n 2 +
n 2n = +∞
lim .
b) +
→ +∞ n 1
n 2
− − = −∞
c) lim 4n n 4 .
→ +∞
n
2) Studiare la successione di termine generale:
n
2
=
a .
n n!
3) Verificare che la successione definita per ricorrenza
=
a e
1 2
log a n
=
a +
n 1 a n
non ammette limite.
Risoluzioni
1) Verifichiamo che valgono i limiti assegnati:
n 1
∀ ε > ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ − <
a) Verifichiamo che 0 N n N : n n .
n
ε +
2n 5 2
n 1
ε > − < ε
0 e discutiamo la disuguaglianza .
Fissiamo +
2n 5 2
Semplifichiamo il primo membro:
− − −
2n 2n 5 5 5
= = .
( ) ( )
+ + +
2 2n 5 2 2n 5 4n 10
Perciò la disuguaglianza 5
n 1 ε
− < ε equivale a < .
+
+ 4n 10
2n 5 2 5 5 5 5
+ > ⇒ > − ⇒ > −
Segue: 4 10 4 10 .
n n n
ε ε ε
4 2
5 5
−
Se è il più piccolo naturale maggiore di risulta che
n ε ε
4 2
1
n ε ∀ >
− < .
n n ε
+
2n 5 2
2 +
n 2n
∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ > . Fissiamo M > 0
b) Verifichiamo che M 0 N N: n n M
n n ε
ε +
n 1
2 +
n 2n >
e discutiamo la disuguaglianza M ,
+
n 1
2 2
cioè n + 2n > M n + M, da cui n + (2 - M) n - M > 0. +
2
Se è il più piccolo naturale maggiore di M – 2 + M 4 ,
n ε 2 +
n 2n >
allora per ogni la disuguaglianza M è soddisfatta.
n > n ε +
n 1 ( )
∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ − <
2
c) Verifichiamo che M 0 N N: 4 - 4 -M . Fissiamo M >
n n n n n n
ε ε
2 −M,
0 e discutiamo la disuguaglianza 4n - 4 <
– n
2 M
cioè - 4n + 4 - M > 0. Se è il più piccolo intero maggiore di 2 + ,
n n ε 2 −M
allora per ogni > la disuguaglianza 4n - 4 < è soddisfatta.
n n – n
ε
2) Si ha:
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