Successione funzioni - Analisi matematica 2 - Appunti

Successioni di Funzioni:

Sia \( I \subseteq \mathbb{R} \)e\( sia \left\{ f_k \right\}_{k \in \mathbb{N}} \)

\( f_k : I \to \mathbb{R} \)successione di funzioni reali.

Def: \(\left\{ f_k \right\}\) converge puntualmente in \( I \) alla funzione \( f : I \to \mathbb{R} \) se:

\[\lim_{k \to \infty} f_k(x) = f(x) \quad \forall x \in I\]

Cioè, se \(\forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists \delta \in \mathbb{R} \) \(|f_k(x)-f(x)| \leq \varepsilon \quad \forall k \geq \delta_{x, k}\)

\[f(x) - \varepsilon < f_k(x) < f(x) + \varepsilon\]

Immagine: Grafico con funzioni \( f(x), f_k(x), f(x) + \varepsilon, f(x) - \varepsilon \)

Es:

\(\left\{ f_k \right\}_k = \left\{ x^k \right\}_k\)

• Insieme di conv. puntuale: \(\{x, x+1\}\)
• Funz. limite puntuale: \(f : (-1, 1) \to \mathbb{R}\)

\( x_n = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{se } x \in (x, 1) \\ 1 & \text{se } x = 1 \end{array} \right. \)

Es:

\(\left\{ f_k \right\}_{x \geq 0} = \left\{ \frac{1}{x+k} \right\}_k\)

• Ins. di conv. punt.: \(\mathbb{R}^+\)
• Funz. limite punt.: \(f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\)

\( x \geq 0\), \(0 \leq x \leq 1\)

Def: \(\left\{ f_k \right\}_k\) conv. uniformemente in \( I \) alla funzione \( f : I \to \mathbb{R} \) se:

\[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta \in \mathbb{R} \] | \ [|f_k(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \forall k \geq \delta \text{, } \forall x \in I \]\]

Non dipende dal punto x considerato.

Successioni di Funzioni:

Din _I⊆ℝ e sina: f_k {f_k}_k∈ℕ f_k: I→ℝ successione di funzioni reali

Def:

{f_k} Converge puntualmente in I alla funzione f: I→ℝ se:

lim_k→∞ f_k(x) = f(x) ∀x ∈ I

Cioè se ∀ε>0, ∀x ∈ I, ∃δ _k ∈ ℝ | f_k(x)-f(x) | < ε ∀k ≥ δ _kf(x) - ε < f_k(x) < f(x) + ε

Es:

{f_k}_k = {x^k}_k• Insieme di conv. puntuale: {−1,1}• Funz. limite puntuale: f: (−1,1)→ℝ   x→¹/_k 0 se x ∈ (−1,1)    x→1 se x = 1

Es:

{f_k}_k = k^x + x³• Insieme di conv. puntuali: ℝ ⁺• Funz. limite punt: f: ℝ ⁺→ℝ  x→⁰/_k→0 0 ≤ x < 1    ^x/_?→? x→> ?

Def:

{f_k}_k Conv. Uniformemente in I alla funzione f: I→ℝ se:

∀ε>0, ∃δ ∈ ℝ | |f_k(x) - f(x) | < ε ∀k ≥ δ, ∀x ∈ INon dipende dal punto x considerato

Ogni funz. f_k (con k ≥ δ) approssima f con f(x) in tutto l'insieme I

PROPOSIZIONE

1. Se f_n → f CONVERGE UNIFORM. ⇒ {f_n → f} CONV. PUNTUALMENTE

2. Se f_n → f CONV. PUNTUALMENTE → {f_n → f} CONV. UNIFORM.

Dim.: (1)

• {f_n → f} CONV. UNIF. ⇒ ∀ ε >0, ∃ g ∈ R |f_n(x) - f(x)| < ε, ∀ x ∃ δ_g, β_g, x ∈ I

Fissato g, preso ε_g, δ_g ∀ x ∈ x ∃ δ_g; si ha che:

∀ ε > 0, ∀ x ∈ I, ∃ g ∈ R, ∃ δ_g; ∀ |f_n(x) - f(x)| < ε | ∀ K ∃ δ_{ε, x}

• f_n → f CONV. PUNTUALMENTE

Dim.: (2) [Controesempio]

• {f_n → f} : f_n : [0, 1] → [0, 1]

x → x²

• f_k CONV. PUNTUALMENTE A:

f : [0, 1] → [0, 1]

x =

1. 0 0 ≤ x < 1
2. 1 x = 1

• f_k CONV. UNIFORMAMENTE A g ? NO

Preso ε = ½ , se esistesse: ∃ |f_k(x) - f(x)| < ½

∀ x ∈ [0, 1] ∀ x ∃ δ_ε

Si avrebbe in parti convex: per: x = ¾ che: |f_k(x²) - f(x²)| < ½ε

Ciò è assurdo.

c.v.d

Criterio per la Convergenza Uniforme

Siano f_k : I → ℝ, con I ⊆ ℝ. f_k funzioni limitate su I. Sia allora:

• {f_k}_k conv. uniformemente a g in I ⇔ lim_k→+∞ M_k = 0

Con: M