Successione funzioni - Analisi matematica 2 - Appunti

Successioni di Funzioni:

Sia I ⊆ &Real; , sia: f_k: I → &Real; successioni di funzioni reali

Def:

{f_k}_k∈ℕ converge puntualmente in I alla funzione f: I → &Real; se, ∀x∈I f_k(x)=f(x)

Cioè se ∀ϵ>0 , ∀x∈I , ∃δ_k ∈&Real;, | f_k(x) -f(x) |<ϵ ∀k≥ k_x

f(x)-ϵ≤f_k(x)≤ f(x)+ϵ

Figura:

f(x)+ϵ f(x) f(x)-ϵ

Es:

• { f_k } =  1/k
• Insieme di conv. puntuale:  { 2 ,3 }
• Funz. limite puntuale:
  •  Χ:0, ∃δ ∈ &Real; | f_k(x) -f(x) | <ϵ ∀x ∈ I

    PROPOSIZIONE

    1) f_n(x) CONVERGE UNIFORM.

    2) f_n (x) conv. puntualmente

    f_n (x) --> f(x) conv. uniform.

    Dim. (1)

    f_n(x) conv. unif.

    f_n(x) conv. puntualmente

    Dim (2)

    C.V.D.

    Teoremi di Passaggio al Limite

    Teorema (Continuità del Limite Uniforme di Funz. Continue)

    Sia _n f_n tale che: f_k: I → ℝ, con I ⊆ ℝ, una successione di funzioni continue convergenti uniformemente in I 1am funzione f:

    Si ha allora che f è continua in I.

    lim_x→x0 f_k(x) = f_k(x₀) ⇒ lim_x→x0 (lim_k→∞ f_k(x)) = (lim_k→∞ f_k(x₀)) ∀x₀ ∈ I

    Nota:

    f si dice continua in I se lim_{x→x 0} f(x) = f(x₀), ∀ x₀∈ I

    Dim.

    ⇐(Dr)

    f_k → f uniformemente ⇒ fissato ε>0, ∃k_ε ∀ k>k_ε | f_k(x) - f(x) | δ_ε allora _{∀ x∈I se ha che:}

  ⇒ Disuguaglianza Triangolare

  [image]

  Per l'ipotesi di continuità sulle f_k ∃ k è possibile determinare un:

  ]< > ° |f_k0(x) - f_k0(x₀)|