Soluzione Tema Esame del 4 febbraio 2019

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Analisi Matematica 3 - Corso di Laurea in Fisica

(Proff. E. Bonetti, E. Terraneo)

4 febbraio 2019

Versione A

1. (Punti 8. Scrivere uno svolgimento.) Si consideri la forma differenziale lineare

   w = ( ^x⁄_{(x² + y²)²} - ^y⁄_{x² + y²} ) dx + ( ^y⁄_{(x² + y²)²} + ^x⁄_{x² + y²} ) dy.

   Determinare al variare di α l'integrale ∫_ϒα w, dove ϒ_α(t) = (αcos t + 1,αsin t), t ∈ [0,2π] e α > 0, α ≠ 1.

   Δ( ^x⁄_{(x² + y²)²} ) - Δ( ^y⁄_{x² + y²} ) = - arctg( ^x⁄_y ) + C ( ^y )

   d

   ∫Vdx^y =

   Δ( ^x⁄ _{(x²+ y²)²} - ^y⁄_{x²+ y²} ) = ^x⁄_{(x² + y²)2} + x²y²

   QUINDI V = ^-1⁄_{2(x² + y²)²} - arctg ( ^x⁄_y ) + C ( ^y ) ^{x + C se y >0}

   ^{(x + C ∀ x ∈ R)} _{{x ∈ R² | x >0, y >0}}

   UN POTENZIALE SU TUTTI I DOMINI SEMPLICEMENTE CONNESSI di R² \ {0,0}

   CASO 1: |x| ≠ 1

   x ∈ R² {x∈R | [x >0, y >0} APPARTIENE AD UN SEMPLICEMENTE CONNESSOQUINDI ∫_{(x + C se y >0)}Mx ∫OU = 0PERCHÈ LA FORMADIFFERENZIALE ÈESATTA IN QUESTODOMINIO

   y_t <>▵ QUINDO

   ∫ Jdx

   ^{13ML: V = ∕πx2} _{2(x² + y²)} {x >0, y >0}

   ∫w = lim y > 0 V - lim y > 0 V > = ¹

   0 1 ( ^V⁄ _U) _U 1

   IL TERMINE ²⁄^{[2(x 2 + y2)}] SI CANCELLA NELLA DIFFERENZA

2. (Punti 8. Scrivere uno svolgimento.) Sia

Calcolare

Integra...

Si sono usate le disuguaglianze notev...

• Possiamo costruire una magg...

Quindi possiamo applicare il...

2. (Punti 8. Scrivere uno svolgimento.) Sia

\[ f_n(x) = \frac{\mathrm{arctan}(n^2x^2)}{\sqrt{x(e^{n^2x}-1)}}, \quad x > 0. \]

Calcolare

\[ \lim_{n \to + \infty} \int_0^{+\infty} f_n(x)dx. \]

• \(\mathrm{INTEGRABILE \ IN \ UN \ INTORNO \ DI \ 0}\)
• \(\mathrm{POICHÉ} \ \frac{n^2}{x^3} \ \mathrm{LIMITATO \ E \ 1 \end{cases} \] \[ g \in L^1(0,+\infty) \] \[ f_n(x) \leq g(x) \quad \forall n, \ \forall x>0 \]

  Quindi possiamo applicare il teorema della convergenza dominata di Lebesgue, e scambiare limite ed integrale:

  \[ \lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x) \, dx = \int_0^{+\infty} \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \, dx = \int_0^{+\infty} 0 \, dx = 0 \] \

  \[ \lim_{n \to +\infty} \left[ \frac{\mathrm{arctan}(n^2x)}{\sqrt{x(e^{n^2x}-1)}} \right] = 0 \quad \mathrm{BANALMENTE} \ e^{n^2x} \to +\infty \]