Soluzione Tema d'esame 05/02/2019

Esame di Matematica del Continuo - 05/02/2019

ABILITÀ DI CALCOLO 1

Esercizio 1:

Forma algebrica delle soluzioni complesse di .5z + = 0

Z5 6zz = − 1 z = − 16φ (cos6θ + isin6θ) = (cosπ + isinπ) π kπ6√φ = 1 = 1 6θ = π + 2kπ θ = +6 3 √π π π 3 iθ = z = cos + isin = +0 06 6 6 2 2√π π π 21 i 3θ = z = cos + isin = +1 13 3 3 2√35π π 5π 5π iθ = = π − z = cos + isin = − +2 26 6 6 6 2 2√37π π 7π 7π iθ = =π+ z = cos + isin = −3 36 6 6 5 2 23π π 3π 3πθ = = 2π − z = cos + isin = − i4 42 2 2 2 √311π π 11π 11π iθ = = 2π − z = cos + isin = − −5 56 6 6 6 2 21+xEsercizio 2:

G​rafico qualitativo di .f (x) = (x − 5)e 1−xDominio 1 − x =/ 0 x =/ 1 D om(f ) = (− ∞, 1) (1,+ ∞)⋃Segno 5f (x) ≥ 0 f (x)f (x)

≥ 01 2 f​ (x)f (x) = x − 5 x ≥51 1​1+x 1+xf (x) = e e ≥ 0 − {0, 1}∀x f​ (x)1−x 1−x2 2​ - +Intersezioni con gli assiAsse y x = 0 y =− 5e⇒ 1+xAsse x y = 0 (x − 5)e = 0⇒ 1−x1+xx = 5 e = 0 ∄1−xLimiti agli estremi del dominio​non esiste asintoto orizzontale, proviamo quello obliquolim f (x) = − ∞x→−∞ f (x) 1 5lim = lim f (x) − mx = −x e ex→−∞ x→−∞lim f (x) = 0 lim f (x) = ∞+ −x→1 x→1Monotonia -3 3f (x) ≥ 0′ 1+x f​ (x)1+x 1+x1−x+1+x 2x−10f (x) = e + (x − 5)e = e (1 + )′ 1−x1−x 1−x 1​2 21−2x+x(1−x) N​f (x)f (x) ≥ 0 21 2 1+x 1+x D​f (x) = e e ≥ 0 − {1}∀x1−x 1−x2 222x−10 x −9f (x) = 1 + = + - +2 2 21−2x+x 1−2x+xN ≥ 0 (x + 3)(x − 3) ≥ 0 x ≤− 3 x ≥ 3⋁2 2D ≥ 0 (x

1. − 1) ≥ 0 − {1}∀x2 è un punto di massimo relativof
2. (− 3)′ è un punto di flessof
3. (1)′ è un punto di minimo relativof
4. (3)′