Sistemi di controllo avanzati

Domande sulla trasformata di Laplace

1. E' una funzione data da un particolare integrale dell'operando. Il risultato è una funzione nella variabile complessa.

2. Quanto vale la trasformata di Laplace della funzione gradino unitario (f(t)=1)? 1/s

3. La trasformata di Laplace gode della proprietà di linearità? Si

4. Cosa sono i poli? Sono gli zeri del denominatore della funzione di trasferimento.

5. Cos'è la funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare ad un ingresso e un'uscita? E' il rapporto tra la trasformata dell'uscita e la trasformata dell'ingresso.

6. Qual è il ruolo della matrice dinamica di un sistema? Legare lo stato corrente del sistema alla sua derivata nel tempo.

7. Quali sono le trasformate di Laplace delle funzioni gradino, rampa e rampa parabolica? Gradino L[u(t)]=1/s; Rampa L[ru(t)=t*u(t) ]= 1/s ; RPar.L[rp(t) =2 31/2*t *u(t)]=1/s

8. Calcolare la funzione di trasferimento di un sistema a partire dalla sua formulazione ingresso-stato-uscita.

Cos'è la funzione di trasferimento di un sistema? La funzione di trasferimento di un sistema è una rappresentazione matematica che descrive il comportamento del sistema in risposta a un segnale di ingresso. Essa fornisce informazioni sulle caratteristiche dinamiche del sistema, come l'ampiezza e la fase della risposta in frequenza. Definire la trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace è una trasformazione matematica utilizzata per convertire una funzione nel dominio del tempo in una funzione nel dominio della variabile complessa s. Essa permette di analizzare il comportamento di un sistema nel dominio della variabile complessa, semplificando la risoluzione di equazioni differenziali lineari. Per quale motivo si sceglie di analizzare un sistema nel dominio della variabile complessa 's', invece di analizzarlo nel dominio del tempo? Risolvere sistemi di equazioni differenziali lineari non è comunque un'operazione semplice da eseguire, pertanto è conveniente tentare di descrivere il problema di origine da un altro punto di vista, attraverso un'opportuna trasformazione reversibile. Al fine di studiare il comportamento dinamico di un sistema descritto attraverso una equazione differenziale, è necessario fissare il segnale di ingresso e i valori al contorno. Una volta fissati tali elementi si può procedere a risolvere l'equazione differenziale. Tale processo, sviluppato interamente nel dominio del tempo, risulta piuttosto complesso e macchinoso. L'ideale sarebbe avere uno strumento che, dato un segnale di ingresso qualsiasi, permetta di ottenere direttamente la risposta del sistema nel dominio del tempo. La trasformata di Laplace offre questa possibilità, consentendo di analizzare il sistema nel dominio della variabile complessa s e semplificando notevolmente la risoluzione delle equazioni differenziali lineari.

1. Cos'è il polinomio caratteristico della matrice A? È l'equazione det(aI-A)=0
2. Cos'è lo stato di un sistema dinamico? È l'insieme dell'informazione che, una volta specificato, rende univoco il legame ingresso-uscita del sistema.
3. Con riferimento al modello nello spazio di stato, cos'è la matrice dinamica A? È la matrice che specifica come lo stato evolve nel tempo in funzione dello stato presente.
4. Dato un sistema dinamico, quante diverse uscite possono corrispondere ad un ben dato ingresso? Infinite, a seconda dello stato iniziale del sistema.
5. Cos'è un sistema

dinamico? Un sistema in cui il valore dell'uscita ad un dato istante dipende dal valore che l'ingresso ha assunto in tutti gli istanti passati.

06. Come è strutturato il modello nello spazio di stato di un sistema? Consiste di due equazioni: l'equazione dell'evoluzione dello stato e l'equazione dell'uscita. L'eq. dello stato esprime l'evoluzione dello stato in funzione dello stato presente e dell'ingresso. L'equazione dell'uscita esprime l'uscita in funzione dello stato e dell'ingresso.

07. Cos'è un punto di equilibrio di un sistema? È uno stato nel quale il sistema permane in assenza di sollecitazioni.

08. Qualitativamente parlando, cosa si intende per stabilità di un sistema dinamico? Il fatto che una perturbazione data al sistema a partire da uno stato di equilibrio generi delle evoluzioni limitate.

09. Cos'è il criterio di Routh? Un criterio per determinare la stabilità di un sistema.

10.

Cos'è un punto di equilibrio stabile asintoticamente? È uno stato al quale il sistema torna asintoticamente a seguito di una perturbazione.

Quali andamenti nel tempo sono caratteristici di un autovalore reale? Costanti nel tempo (autovalore nullo), esponenziali crescenti (autovalore positivo), esponenziali decrescenti (autovalore negativo).

Cosa sono i modi naturali di un sistema lineare? Sono le funzioni esponenziali pure o pseudo-periodiche elementari in cui si può scomporre la risposta impulsiva di un sistema dinamico lineare.

Cosa sono gli autovalori della matrice dinamica A? Sono i valori a tali per cui det(aI-A)=0.

Cosa sono gli autovalori nascosti? Un autovalore lambda i della matrice dinamica A di un sistema S si definisce autovalore nascosto se la sua molteplicità come polo della funzione di trasferimento F(s) è strettamente inferiore a quella che tale autovalore ha come radice del polinomio caratteristico di A (molteplicità algebrica).

A cosa serve il test di Hautus? Serve per classificare un autovalore in raggiungibile o non, e osservabile o non.

16. Cos'è la forma canonica di Kalman? È un procedimento per il quale si può suddividere il sistema complessivo in 4 distinti sotto sistemi tramite un opportuno cambio di coordinate. Ciascuno dei sottosistemi è caratterizzato da un sottoinsieme degli autovalori del sistema complessivo.

17. Nel caso di autovalori del sistema esclusivamente reali negativi, l'uscita del sistema presenta oscillazioni? Motivare la risposta. No in quanto in base alla condizione di stabilità asintotica esso risulta un sistema dinamico lineare asintoticamente stabile.

18. Definire i concetti di raggiungibilità (o controllabilità) e osservabilità. La controllabilità di un sistema dinamico è la capacità di un ingresso (controllo esterno) di agire sullo stato del sistema in modo tale da condurlo da un'arbitraria

configurazione iniziale ad una arbitraria configurazione finale in un intervallo di tempo finito. La proprietà di osservabilità di un sistema dinamico determina la possibilità di risalire allo stato del sistema a partire dalla conoscenza delle sue uscite. 19. Come si calcolano gli autovalori di una matrice. 20. Descrivere il concetto di punto di equilibrio. Un punto di equilibrio di un sistema è uno stato del sistema a partire dal quale il sistema non si muove nell'ipotesi di ingresso e disturbo nullo. 21. Cos'è il polinomio caratteristico di una matrice? 22. Definire il concetto di punto di equilibrio asintoticamente stabile. Un punto di equilibrio è asintoticamente stabile se il sistema lasciato in evoluzione libera (ossia quando si azzerano l'ingresso e il disturbo) tende asintoticamente a tornare nel punto di equilibrio (ovvero allo stato x = 0 in caso di sistemi lineari). 23. Disegnare e spiegare i vari possibili andamenti dei

1. Definire la condizione di stabilità asintotica in sistemi dinamici lineari stazionari a tempo continuo. La condizione di stabilità asintotica è: Sistema dinamico lineare è asintoticamente stabile ⇔ Tutti gli autovalori del sistema sono a parte reale negativa
2. Cosa sono i modi naturali? I comportamenti singoli esponenziali dell'uscita che concorrono singolarmente all'uscita complessiva sono detti modi naturali. Questi descrivono il comportamento del sistema in evoluzione libera, ovvero in caso di ingressi e/o disturbi.
3. Cos'è una modalità di controllo a catena aperta? È una modalità di controllo che non prevede un feedback sull'andamento della variabile controllata.
4. In quali casi si può pensare di applicare la modalità di controllo a catena aperta? Nel caso di sistemi a dinamica lenta, sovradimensionati, e per i quali non sono richieste specifiche modi naturali.

o aperto?Struttura di controllo a controreazione.il sistema di controllo a controreazione è un tipo di sistema in cui il segnale di uscita viene confrontato con un segnale di riferimento e l'errore tra i due viene utilizzato per regolare il segnale di ingresso al sistema. Questo schema di controllo è ampiamente utilizzato per garantire la stabilità e migliorare le prestazioni dei sistemi di controllo. L'errore a regime dei sistemi di controllo a controreazione può essere calcolato nel dominio di Laplace utilizzando l'espressione: E(s) = R(s) - Y(s) dove E(s) è l'errore nel dominio di Laplace, R(s) è il segnale di riferimento nel dominio di Laplace e Y(s) è il segnale di uscita nel dominio di Laplace. La funzione di trasferimento ad anello aperto è la funzione di trasferimento data dal prodotto delle funzioni di trasferimento che si incontrano lungo la catena di controreazione. Questa funzione di trasferimento descrive il comportamento del sistema senza considerare la retroazione. La condizione per la stabilità asintotica di un sistema è che tutti gli autovalori o poli del sistema abbiano parte reale strettamente negativa. Questo significa che tutti i poli del sistema devono essere posizionati nella parte sinistra del piano complesso. Gli obiettivi dei sistemi di controllo sono garantire la funzionalità del sistema controllato, far inseguire l'uscita del sistema con un segnale di riferimento e garantire la stabilità del sistema controllato riducendo i disturbi in uscita e aumentando il guadagno ad anello.

Vantaggi e svantaggi rispetto allo schema a catena aperta. Un vantaggio fondamentale dei sistemi di controllo a controreazione è proprio quello di poter naturalmente attenuare o annullare gli effetti dei disturbi. Per il principio di sovrapposizione degli effetti senza perdita di generalità possiamo considerare nulli ingresso ed errore di misura, R(s)=N(s)=0. Minore sensibilità del sistema controllato alle variazioni dei parametri del sistema da controllare; Migliore reiezione dei disturbi; Migliore attenuazione dei rumori di misura; Migliore riduzione degli errori della risposta a regime del sistema controllato; Possibilità di modificare e migliorare la risposta in transitorio del sistema. Gli svantaggi principali dell'uso della controreazione sono:

• Aumento della complessità del sistema di controllo. In particolare il componente più importante è il sensore, la cui scelta influenza moltissimo la qualità delle prestazioni ottenibili.

I sensori introducono rumore di misura e devono essere precisi, il loro costo incide sensibilmente sul costo del sistema di controllo. • Perdita di guadagno del sistema controllato.