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Un vettore x c R si dice combinazione lineare dei vettori 2
m
Dato un vettore x c R x=(x x ,...x ) si chiama norma euclidea di x il numero dato da
1, 2 n in
se ne
t.in
1111 di
team
xn.it Pitagora
se n
Quindi la norma rappresenta la lunghezza del segmento che individua il vettore x.
La norma è una estensione del valore assoluto e soddisfa le proprietà analoghe a quelle del modulo
È
fò Tak
1111 n
Si dice distanza euclidea d(x,y) tra due veri x e y in R a norma della loro differenza: d(x,y) = ||x-y||
t t sB
p
Ax.gl 2
di
Nn
Si dice intorno sferico di centro x l'insieme
denota Beko
c si
e o
E e
raggio con
xelRndcx
Belx.ie E
In IRtale R
In
l'intervallo
intorno è x te
E
sfera
tale di
intorno
In IR è priva superficie
una 4
m
sia A c R , sia x c R
• Il punto x si dice punto interno ad A se ESISTE un suo intorno sferico tutto contenuto in A cioè
tipo t.co EA
4
B
se
• Il punto x si dice punto esterno ad A se è interno ad A cioè
J
rsot.c.Brlxo.ca
se
• Il punto x si dice punto di frontiera per A se non è interno ne esterno ad A
m
• Dato un insieme A c R , un punto si dice di accumulazione per A se ogni intorno di x contiene
trio
almeno un punto di A diverso da x cioè Bradi 3nA
x
L’insieme di accumulazione può appartenere oppure no allinsieme di riferimento
n n
• dato A c R , un punto x c R si dice punto isolato di A se
x c A
x non è un punto i di accumulazione per A
Di conseguenza, un punto x c A c R è un punto isolato di A se esiste almeno un suo intorno che non
13
Jr
contiene punti di A, a parte x stesso A
1 n
0
• Un insieme A c R si dice aperto se tutti i suoi punito sono interni ad A
• Un insieme A c R si dice chiuso se il complementare di A è aperto
la Le
chiuso
aperto radio
b b chissà R
b a
aperto sia
me aperto
3 2
• dati due insiemi qualsiasi non vuoti A e B, una funzione definita su A e a valori in B, indicata con.
f: A—>B , è una regola o regola che associa a ogni elemento di A uno, e uno solo, elemento di B
• una funzione f: A c R —> R è invettiva se III
oflatflftx.yea.sn
• Sia f: A—>B una funzione invettiva e allora f è invertibile e si chiama funzione inversa di f la funzione
f : Imm(f)—> A che associa ad ogni elemento y dell’immagine di f la sua controimmagine x di A, cioè
l
f
la f tale che f
4 flaky f
ex o 1
es 3
m
• data f :A c R —> R si dice immagine di f e si indica con Imm(f), il sottoinsieme dei punti y del
condominio R tali che esiste almeno un elemento x del dominio per il quale risulta y=f(x)
Sia f : A—>R una funzione qualsiasi a valori in R. Allora f si dice
• superiormente limitata se Imm(f) c R è un insieme superiormente limitato , cioè se Imm(f) ha dei
maggioranti cioè se flask
txeajkc.IR
• inferiormente limitato se Imm(f) cR è un insieme inferiormente limitato cioè se Imm(f) ha dei minoranti
cioè se t.c.fcxszktxc.tt
• limitata se è sia superiormente che inferiormente limitata, cioe se Imm(f) c R è un insieme limitato,
xeA
cioe se t.ci tcxslekV
Jk
• illimitata se non è ne superiormente ne inferiormente limitata
fin illimitata
Inf limitata superiormente
non
ma 2
Sia f: A c R —> R una funzione f si dice
• crescente taxista V'x
yea
y
se
• Strett crescente feisty vi
yea
y
se
• Decrescente fcxiefiyi vx.yc.lt
y
se
• Strett decrescente finally V
x.yc.lt
se y
• Costante t.c.fi
IKER
se ktxeA2
TTTg
• sia f: A c R—> R Un punto x c A si dice punto di massimo globale di f su A se
ofcxfzfcxittx.CA il fa M
valore globale
massimo
• sia f: A c R —> R un punto x c A si dice punto di massimo relativo di f su A se
fcxoyzfcntxc.li
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