Relazione "Progetto di una scala con trave a ginocchio e gradini a sbalzo"-Tecnica delle costruzioniUNIPA

X C D

X

Y Y

t d

X

1

q

d

A X B Y

Y γ γ γ γ

d1 K(pianerottolo)

q = (G * + Q * ) * 2,8 + q * + q * = 39,1KN/m

g a q trav. g tomp. g

γ γ

d2

q = Rv/0,3 + q * + q * = 37,51KN/m

trav. g tomp. g

dove Rv è il valore del taglio agente sul gradino che, diviso per la proiezione

• orizzontale dello stesso, costituisce carico lineare per la trave nel tratto

inclinato

Il peso della trave e quello del tompagno vanno divisi per il cos(30°,4) per

• ottenere un carico distribuito linearmente e orizzontalmente.

Sulla trave agisce anche un carico torcente linearmente distribuito (td) dovuto

all’azione di vincolo che la trave stessa offre ai gradini incastrati infatti il carico

torcente è una componente del momento, calcolato in precedenza, presente

all’incastro del gradino.

td = (Md / B) * cosα = 15,55 KN m (su metro di trave)

Per il calcolo delle sollecitazioni si risolve lo schema con il metodo delle

deformazioni (avvalendomi del metodo matriciale), considerando le 3 aste che lo

compongono AB, BC, CD incastro-incastro. ρa,ik, ρik

Si calcolano quindi le rispettive rigidezze assiali le rigidezze flessionali e

ρki, ρ’ik µik µki

i momenti di trasporto e i momenti di incastro perfetto e

Risoluzione schema:

3200000000 2

E = 0 N/m

α = 0,534955074 rad

π = 3,141592654 rad

i k Lung. b h Inerzia

Asta 1 A B 1,8 0,3 0,6 0,0054

Asta 2 B C 3,13847097 0,3 0,6 0,0054

Asta 3 C D 2 0,3 0,6 0,0054

Carichi

q1 = 39099,2 N/m^2

q = 39099,20 N/m^2

3

q = 37510,33 N/m^2

2

q = 27761,5 N/m^2

2n

q = -16451,2 N/m^2

2t Matrici di rigidezza

3200000000 0 0 -3200000000 0 0

0 355555556 320000000 0 -355555556 320000000

1

K

= 0 320000000 384000000 0 -320000000 192000000

-3200000000 0 0 3200000000 0 0

0 -355555556 -320000000 0 355555556 -320000000

0 320000000 192000000 0 -320000000 384000000

1835288605 0 0 -1835288605 0 0

0 67076538 105258883 0 -67076538 105258883

2

K

= 0 105258883 220234633 0 -105258883 110117316

-1835288605 0 0 1835288605 0 0

0 -67076538 -105258883 0 67076538 -105258883

0 105258883 110117316 0 -105258883 220234633

2880000000 0 0 -2880000000 0 0

0 259200000 259200000 0 -259200000 259200000

3

K

= 0 259200000 345600000 0 -259200000 172800000

-2880000000 0 0 2880000000 0 0

0 -259200000 -259200000 0 259200000 -259200000

0 259200000 172800000 0 -259200000 345600000

Vettori dei carichi

0,0 N

N =

AB -35189,3 N

T =

AB

01

f = -10556,8 Nm

µ =

AB 0,0 N

N =

BA -35189,3 N

T =

BA 10556,8 Nm

µ =

BA 25815,9 N

N =

BC -43564,3 N

T =

BC

2

f = -22787,5 Nm

µ =

0 BC 25815,9 N

N =

CB -43564,3 N

T =

CB 22787,5 Nm

µ =

CB 0,0 N

N =

CD -39099,2 N

T =

CD

03

f = -13033,1 Nm

µ =

CD 0,0 N

N =

DC -39099,2 N

T =

DC 13033,1 Nm

µ =

DC

Utilizzando la formula:

−

δ 1

= ⋅ −

K ( f )

g g g

Troviamo il vettore degli spostamenti nel sistema globale, portandolo, tramite la

matrice di trasformazione, nel sistema locale è possibile calcolare le sollecitazioni

nelle singole aste. Vettori spostamenti delle aste (rif. Assoluto)

1 2 3

0,0E+00 -6,1E-06 6,8E-06

A 0,0E+00 B 7,1E-04 C 7,5E-04

0,0E+00 4,8E-04 -4,5E-04

-6,1E-06 6,8E-06 0,0E+00

B 7,1E-04 C 7,5E-04 D 0,0E+00

4,8E-04 -4,5E-04 0,0E+00

Vettori spostamenti delle aste (rif. locale)

1 2 3

0 -0,000366 6,784E-06

A 0 B 0,0006055 C 0,000753

0 0,0004845 -0,000448

-6,1056E-06 -0,000378 0

B 0,000707477 C 0,0006513 D 0

0,000484524 -0,000448 0

S (

n

) δ

= +

K ( n ) * i f ( n )

n i n

Vettori delle sollecitazioni (locale)

Asta 1 Asta 2 Asta 3

2,0E+04 48064,3 2,0E+04

N = N = N =

AB BC CD

-131688,7 -42784,1 39967,8

T = T = T =

AB BC CD

-143920,6 29778,3 27329,8

= = =

M M M

BC CD

AB -2,0E+04 3567,4 -2,0E+04

N = N = N =

BA CB DC

61310,1 -44344,4 -118166,2

T = T = T =

BA CB DC

-29778,3 -27329,8 130804,2

Μ =

= =

M M

CB

BA DC

Convenzione S.d.C. Convenzione S.d.C. Convenzione S.d.C.

Asta 1 Asta 2 Asta 3

-1,95E+04 -4,81E+04 -1,95E+04

N = N = N =

AB BC CD

131688,7 42784,1 -39967,8

= = =

T T T

AB BC CD

-143920,6 29778,3 27329,8

= = =

M M M

BC CD

AB -1,95E+04 3,57E+03 -1,95E+04

= = =

N N N

BA CB DC

61310,1 -44344,4 -118166,2

= = =

T T T

BA CB DC

29778,3 27329,8 -130804,2

Μ =

= =

M M

CB

BA DC

Per controllo dell’esattezza della risoluzione si verificano gli equilibri alle aste, ai

nodi e globale: EQUILIBRIO ASTA EQULIBRIO

1 GLOBALE

X 0,0E+00 X -3,3E-11

Y 0 Y 0

ROT. 0 ROT.A 0,0E+00

EQUILIBRIO ASTA

2 Equilibrio al

X 0,0E+00 nodo B

Y 0 H : 1,86E-10

ROT. 0 V : -1,3E-10

EQUILIBRIO ASTA Equilibrio al

3 nodo C

X 0,0E+00 H : -1,6E-10

Y 0 V : 0

ROT. 0

DIAGRAMMI SOLLECITAZIONI

taglio V [KN]

momento M [KN m ]

torsione T [KN m]

PROGETTO ARMATURA AFLESSIONE

Le sezioni critiche sono tre: i due incastri alle estremità della trave e la sezione di

mezzeria nella rampa. Con le prime due si progettano le armature per i due

pianerottoli e con la terza l’armatura della rampa.

Ipotizzo il campo di rottura 2.

Af C

T

Af T

δ

Si imposta un sistema di due equazioni in due incognite (xc, Af): le due equazioni

sono equazioni di equilibrio.

Mmax = Mult.

σoc σ’f

* b * 0,8 * Xc + * Af – fyd * Af = 0

σoc σ’f δ)

* b * 0,8 * Xc * (d – 0,4 * Xc) + * Af * (d – = Mmax

dove:

α = 1 (mezzeria)

α = 0,5 (incastro)

l’equazione di equilibrio alla rotazione è definita scegliendo come polo il baricentro

dell’armatura tesa.

b = 300mm

il campo ipotizzato è il 2a (armatura superiore non snervata) e l’espressione che lega

σ’f con xc è la seguente:

σ ε δ

= × = × − −

' E 0

, 01 ( x ) /( d x ) x 206000

f f c c

Di seguito sono riportati i calcoli effettuati per ogni sezione critica:

EQ.

TRSL 0

EQ. 143920586

ROT. ,1

SEZ. A

143920586

Md= ,1 Nmm

b= 300 mm

h= 600

d= 560

δ= 40

13,421052

σ0c= 63

391,30434

fyd= 78

Ef= 206000

α 0,5

694,13226

Af= 26

347,06613

A'f= 13

0,0006230

ε'f= 16

70,496841

Xc= 83

4,075E-

10

EQ. 1308041

ROT. 79

SEZ. D 1308041

Md= 79 Nmm

b= 300 mm

h= 600

d= 560

δ= 40

13,4210

σ0c= 53

391,304

fyd= 35

Ef= 206000

α 0,5

628,601

Af= 76

314,300

A'f= 88

0,00052

ε'f= 31

65,8496

Xc= 38

EQ.

TRSL 0

EQ. 6274631

ROT. 2

SEZ. BC

6274631

Md= 2 Nmm

b= 300 mm

h= 600

d= 560

δ= 40

13,4210

σ0c= 5

391,304

fyd= 3

Ef= 206000

α 1

293,639

Af= 4

293,639

A'f= 4

ε'f= -6,1E-05

Xc= 36,8154

Si sono scelte le seguenti armature:

tratto AB: armatura superiore 4φ16, armatura inferiore 2φ16.

Tratto BC: armatura superiore 2φ16, armatura inferiore 2φ16.

Tratto CD: armatura superiore 4φ16, armatura inferiore 2φ16.

VERIFICA E PROGETTO DELL’ARMATURA A TAGLIO E TORSIONE

De

Be h1

hs

Ricoprimento C = 20 mm

Φ8

Staffe Φ16

Ferri longitudinali

Φ8 Φ16

hs = 2 * ( C + + / 2 ) = 36,67 mm

h1 = 600 – 2*δ = 520 mm

De = 300 – 2*δ = 220 mm 2

Be = h1 * De = 114400 mm

Perimetro Ue = 2 (h1 + De) = 1480 mm

δ

d = H – = 560 mm

Nel caso di sollecitazioni composte di taglio e torsione il D.M. 9 gennaio 1996

prevede la verifica delle bielle compresse attraverso la seguente relazione:

Tsdu Vsdu

+ ≤ 1

Trdu Vrdu

I valori di TRdu ed VRdu li calcolo nota la geometria della trave

1

= ⋅ ⋅ ⋅ =

Trdu f B h 33

,

11

KNm

cd e s

2

= ⋅ ⋅ ⋅ =

Vrdu 0

,

30 f b d 795

,

79 KN

cd

Mentre i valori di Tsdu ed Vsdu, li ricavo dal calcolo delle sollecitazioni:

VERIFICA CLS

COMPRESSO

Trdu= 33115789 Nmm

Vrdu= 795789,5 N

SEZ. A VERIFI 0,79941

Tsdu= 20993244 CA 6 <1 OK!!!

Vsdu= 131688,7

SEZ.

B VERIFI 0,81392

Tsdu= 24402477 CA 7 <1 OK!!!

Vsdu= 61310,11

SEZ.

C VERIFI 0,79260

Tsdu= 24402477 CA 7 <1 OK!!!

Vsdu= 44344,42

SEZ.

D VERIFI 0,78242

Tsdu= 20993244 CA 4 <1 OK!!!

Vsdu= 118166,2 PROGETTO ARMATURA TRASVERSALE

TRATTO BC

Verificata la condizione per il calcestruzzo compresso si procede al calcolo delle

armature trasversali e longitudinali.

Le staffe saranno calcolate separatamente per il taglio e la torsione.

Per il calcolo dell’armatura minima si fa riferimento alle seguenti prescrizioni, che

permettono di calcolare il valore del passo da adottare: fra tutti si sceglie il valore di s

più piccolo, ovvero la condizione più restrittiva.

In presenza di torsione l’armatura trasversale minima prevista dalla normativa vale:

Aws

( ) =2b

1. min

Con:

s = passo

Aw = area bracci di una staffa F8

b = base della trave, 300 mm

101

( )

=2∗300 s ≤ 16,67 cm

s s < Ue / 8 s ≤ 18,5 cm

2. s ≤ 20 cm

3.

Per il taglio, in prossimità di attacco trave – pilastro (in presenza di carico

concentrato)

Φlongitudinale

s < 12 * s ≤ 19,2 cm

La condizione più restrittiva è la prima, pertanto si assume s ≤ 16 cm

min

Occorre verificare se l’armatura trasversale minima è sufficiente per l’intera trave,

ovvero determinare i tratti di trave che richiedono una specifica armatura trasversale

tenendo conto del taglio e della torsione.

Considero il tratto inclinato di lunghezza l=313,8cm e trascurando il contributo del

calcestruzzo in trazione, ai fini del taglio si ha:

A

≤ ⋅ ⋅

sw

V f 0

,

9 d

sdu yd

s

da cui si ottiene:  

  3

10

 

−