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4.2 Calcolo delle sollecitazioni

I carichi ottenuti sono già stati moltiplicati per l’interasse, quindi si considerano gravanti su

un singolo travetto. Ora il metodo allo stato limite ultimo prevede di massimizzare le

caratteristiche della sollecitazione applicando ai carichi opportuni coefficienti, con lo scopo

di amplificarli. Questi coefficienti, indicati dalla normativa, valgono:

! =&1,3

# • G1&&

! =&1,5

• G2&&

! =&1,5

• Q&&&&

Si ottiene quindi:

G1 4,13 * 1,3 5,37 kN/m

G2 2,38 * 1,5 3,57 kN/m

Q 3,96 * 1,5 5,94 kN/m

Conoscendo i carichi agenti sulla struttura si possono calcolare le caratteristiche della

sollecitazione, applicando cinque diverse combinazioni di carico in modo da ottenere la

peggiori condizioni possibili di sollecitazione nei diversi punti della struttura. Ricordando

che i carichi permanenti restano invariati si hanno le seguenti combinazioni:

1- Carico variabile su entrambe le campate

2- Carico variabile solo su campata sinistra

3- Carico variabile solo su campata destra

4- Unica campata con incastri agli estremi e carico totale

5- Unica campata con semi incastri agli estremi e carico totale

Andiamo a determinare le sollecitazioni utilizzando il metodo iterativo di Cross, con tale

metodo vengono morsettati tutti i nodi interni, ricavando le reazioni di incastro perfetto

2

(pari a ql /8) ai morsetti stessi. A questo punto la struttura è congruente ma non

equilibrata. Quindi occorrerà liberare ad uno ad uno i morsetti che ripartiranno il momento

risultante agente su di essi alle aste vicine in modo proporzionale alla rigidezza delle

stesse. Il metodo è approssimato quindi sta a chi esegue il calcolo interrompere

l’iterazione dopo aver raggiunto un grado di approssimazione accettabile, in modo che i

momenti residui da ripartire risultano trascurabili. Il momento agente su ogni nodo si ricava

sommando le reazioni di incastro perfetto, le ripartizioni cambiate di segno ed i momenti

trasmessi. Nella 4° combinazione le luci delle aste sono state considerate al netto delle

travi, ipotizzate 30cm di larghezza. Per la 4° e 5° combinazione i momenti valgono

2 2

rispettivamente ql /12 e ql /24. 29

Calcoliamo le rigidezze e i coefficienti di ripartizioni delle relative aste:

Aste Rigidezza Coeff. ripartizione

d = 5,4 m K = 3/d = 0,56 f = K / K = 0,55

d d d tot

e = 6,6 m K = 3/e = 0,45 f = K / K = 0,45

e e e tot

Combinazione 1

• q = 14,88 kN/m M’ = -54,24 kNm M = -14,73 kNm M = -68,97 kNm

d d rd d

M = -26,78

r kNm

q = 14,88 kN/m M’ = 81,02 kNm M = -12,05 kNm M = 68,97 kNm

e e re e

Combinazione 2

• q = 14,88 kN/m M’ = -54,24 kNm M = 3,06 kNm M = -51,18 kNm

d d rd d

M = 5,56

r

kNm

q = 8,94 kN/m M’ = 48,68 kNm M = 2,5 kNm M = 51,18 kNm

e e re e

30 Combinazione 3

• q = 8,94 kN/m M’ = -32,59 kNm M = -26,64 kNm M = -59,23 kNm

d d rd d

M = -48,44

r kNm

q = 14,88 kN/m M’ = 81,02 kNm M = -21,8 kNm M = 59,23 kNm

e e re e

• Combinazione 4

luci [m] carico q [kN/m] Momento estremi [kNm]

d 4,95 14,88 30,38

e 6,15 14,88 46,90

• Combinazione 5

luci [m] carico q [kN/m] Momento estremi [kNm]

d 5,4 14,88 18,08

e 6,6 14,88 27,01 31

Sovrapponendo i grafici si ottengono i diagrammi di inviluppo di M e T. Per quanto riguarda

il taglio si prende il valore al netto delle travi, mentre il grafico di inviluppo del momento è

stato incrementato longitudinalmente di una quantità pari a:

0,9 • d = 0,9•(h-c) = 29,7cm

4.3 Progetto dell’armatura

Ottenuto l’inviluppo del momento dalle 5 combinazioni si procede con la scelta dei ferri i

quali avranno il compito di assorbire il momento stesso.

Deve essere rispettata la seguente relazione:

Dove il momento resistente è quello relativo ai ferri e quello sollecitante viene dedotto

dall’inviluppo. Dalle seguenti formule possiamo ricavare l’area minima necessaria e il

momento resistente di ogni singolo ferro:

32 A = Area ferro

r #

c# = copriferro 3cm

d# = Altezza utile (h-c)

f = Tensione di snervamento decrementata da normativa = 391,3 MPa

yd#

Per il solaio ad uso magazzino si è scelto di utilizzare ferri di diametri 10 e 14 mm . Si

ottiene: 2

Diametro mm Area cm M kNm

resistente

10 0,79 9,18

14 1,54 17,9

E nelle rispettive sezioni: Armatura

M A A M

S min r R

SEZ. M > M

R S

2 2

[kNm] [cm ] [cm ] [kNm]

ø10 ø14

A 30,2 2,6 4 - 3,16 36,72 VERIFICATO

B 35,9 3,1 4 - 3,16 36,72 VERIFICATO

C 68,5 5,89 2 4 7,74 89,96 VERIFICATO

D 53,8 4,63 2 2 4,66 54,16 VERIFICATO

E 46,6 4,01 - 4 6,16 71,6 VERIFICATO

Nel solaio del magazzino è stato utilizzato un doppio travetto, questo impone di rispettare

la simmetria nella disposizione delle barre di armatura, sia per il numero che per il

diametro scelto. Sono stati utilizzati ferri in barre di lunghezza 8m, questi vanno poi

opportunamente ancorati e sovrapposti come da normativa; inoltre nella parte inferiore del

travetto sono state prolungate 4 barre per tutta la luce del solaio.

4.4 SLU: Verifica a flessione

Il metodo di verifica allo SLU è caratterizzato da un modello di comportamento del

materiale detto di terzo stadio, ovvero si considera il calcestruzzo non resistente a trazione

e un legame tensioni-deformazioni dei materiali di tipo non lineare. La verifica a flessione

si articola in 2 fasi: la prima fase consiste nella determinazione dell’asse neutro x, mentre

la seconda consente di ottenere il momento resistente della sezione M . Utilizzando un

R

metodo iterativo, la x viene ottenuta imponendo l’equilibrio alla traslazione, nel caso di

doppia armatura di ha: 33

Facendo l’ipotesi di armatura compressa snervata, posso scrive:

Dalla quale si ottiene la x di prima iterazione:

Calcolando x/d determino il campo di comportamento

- CAMPO 2# # 0 < x/d < 0,259

- CAMPO 3# # 0,259 < x/d < 0,653

In base al campo si procede nei seguenti modi:

• CAMPO 2

L’armatura tesa è sicuramente snervata, mentre bisogna verificare se lo è anche quella

compressa. Usando semplici formule di proporzione tra triangoli simili calcolo:

Se questa risulta maggiore di ε allora anche l’armatura compressa è snervata, non

yd σ’ σ’

occorrono successive iterazione e = f . Mentre se non snervata si ha = ε’ •E e

S S

yd s S

occorre proseguire l’iterazione con la nuova x:

Inoltre occorre verificare che la deformazione del calcestruzzo non superi ε .

cu

34 CAMPO 3

L’armatura tesa è sicuramente snervata, mentre bisogna verificare se lo è anche quella

compressa:

Se questa risulta maggiore di ε allora anche l’armatura compressa è snervata, non

yd σ’ σ’

occorrono successive iterazione e = f . Mentre se non snervata si ha = ε’ •E e

S S

yd s S

occorre proseguire l’iterazione con la nuova x:

Inoltre occorre verificare che la deformazione del armatura tesa non superi ε .

yu

Una volta calcolata la posizione dell’asse neutro posso calcolare M imponendo

Rd

l’equilibrio alla rotazione, utilizzando come polo il punto di applicazione di N .

c

Infine la sezione di ritiene verificata se: 35

Di seguito si riportano i calcoli nelle relative sezioni:

DATI

b [cm] 28 ε [‰] 3,5 f [MPa] 391,3 k 0,416

cu yd .

B [cm] 66 ε [‰] 1,96 f [MPa] 14,17 0,81

yd yd

d [cm] 33 ε [‰] 10 E [MPa] 200000

yu S

c [cm] 3

• SEZIONE A - Appoggio sinistro ARMATURA 2

SEZIONE A AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA 4 - 3,16 A s

SOTTO COMPRESSA 4 - 3,16 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 0 0 2 0 - -0,9 NO -181,82 5,64

2 5,64 0,171 2 2,1 - 0,9 NO 192,98 1,95

3 1,95 0,059 2 0,6 - -0,3 NO -67,63 4,51

4 4,51 0,137 2 1,6 - 0,5 NO 106 2,81

5 2,81 0,085 2 0,9 - -0,1 NO -12,59 3,97

6 3,97 0,12 2 1,4 - 0,3 NO 66,83 3,19

7 3,19 0,097 2 1,1 - 0,1 NO 12,75 3,72

8 3,72 0,113 2 1,3 - 0,2 NO 49,18 3,51

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

3,51 38,9 30,2 VERIFICATA

36 • SEZIONE B - Campata sinistra ARMATURA 2

SEZIONE B AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA COMPRESSA - - - A’

s

SOTTO TESA 4 - 3,16 A s

x [cm] x/d CAMPO ε [‰]

c

1,63 0,051 2 0,5

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

1,63 39,97 35,9 VERIFICATA

• SEZIONE C - Appoggio centrale ARMATURA 2

SEZIONE C AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA 2 4 7,74 A s

SOTTO COMPRESSA 4 - 3,16 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 5,6 0,169 2 2 - 0,9 NO 189,78 7,56

2 7,56 0,229 2 3 - 1,8 NO 358,49 5,9

3 5,9 0,179 2 2,2 - 1,1 NO 214,02 7,32

4 7,32 0,222 2 2,9 - 1,7 NO 336,45 6,12

5 6,12 0,186 2 2,3 - 1,2 NO 232,14 7,14

6 7,14 0,216 2 2,8 - 1,6 NO 320,19 6,28

7 6,28 0,190 2 2,4 - 1,3 NO 245,51 7,01

8 7,01 0,212 2 2,7 - 1,5 NO 308,58 6,67

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

6,67 91,34 68,5 VERIFICATA 37

• SEZIONE D - Campata destra ARMATURA 2

SEZIONE D AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA - - - A’

s

SOTTO COMPRESSA 2 2 4,66 A s

x [cm] x/d CAMPO ε [‰]

c

2,41 0,075 2 0,8

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

2,41 58,35 53,8 VERIFICATA

• SEZIONE E - Appoggio destro ARMATURA 2

SEZIONE E AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA - 4 6,16 A s

SOTTO COMPRESSA 2 2 4,66 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 1,8 0,055 2 0,6 - -0,4 NO -76,92 8,62

2 8,62 0,261 3 - 9,9 2,3 SI - 8,62

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

8,62 71,97 46,6 VERIFICATA

38 4.5 SLU: Verifica a taglio

Nel caso di verifica a taglio allo SLU, per quanto riguarda gli elementi sprovvisti di una

specifica armatura trasversale a taglio, la normativa prevede la seguente formula per la

determinazione del taglio massimo V della sezione:

Rd

Dove i vari coefficienti rappresentano i seguenti contributi:

- ingranamento degli inerti (con d espresso in mm)

- effetto bietta

- sforzo assiale

Nel nostro caso quest’ultimo contributo è nullo essendo N = 0.

Ed

Il valore ottenuto và poi confrontato con il valore minimo V , pari a:

Rd’

Infine la sezione risulta verificata se: 39

Nelle relative sezioni: 2

2

SEZ. A [cm ] k DATI

l

A 3,16 1,78 0,003 b 28 cm

C 7,74 1,78 0,008 d 33 cm

!

E 6,16 1,78 0,007 1,5

c

f 25 MPa

ck

SEZ. V [kN] V [kN] V [kN] V > V

Es Rd’ Rd Rd Es

A 37,69 38,35 40,32 VERIFICATA

C 53,98 38,35 54,36 VERIFICATA

E 46,56 38,35 50,37 VERIFICATA

Nelle sezioni B e D essendo il taglio pressoché nullo non occorre effettuare la verifica.

4.6 MTA: Verifica a flessione

Questo metodo di verifica utilizza un modello di comportamento detto di secondo stadio,

ovvero calcestruzzo non resistente a trazione e legame tensioni-deformazioni di tipo

lineare. Le formule sono applicate alla sezione reagente omogeneizzata, formata dalla

sola parte compressa di calcestruzzo e dall’area delle armature che vengono

omogeneizzate tramite il coefficiente n, pari al rapporto tra i moduli elastici dei materiali o,

come in questo caso, fissato convenzionalmente pari a 15. Per la validità delle formule

sono necessarie le ipotesi di conservazione delle sezioni piane e di perfetta aderenza tra i

due materiali.

Non essendo nota a priori la sezione reagente del calcestruzzo, il primo passo consente di

determinare la posizione dell’asse neutro x, successivamente verrà calcolato il momento

di inerzia e le tensioni massime della sezione. Nel caso di flessione semplice, essendo

nullo lo sforzo normale, risulta nulla anche la deformazione del baricentro della sezione; si

ha dunque che l’asse neutro è orizzontale e passante per il baricentro della sezione

reagente omogeneizzata. Ponendo:

Ottengo un’equazione di secondo grado in x, che può essere risolta utilizzando le seguenti

formule semplificate:

40 Con:

Essendo le formule utilizzate relative ad una sezione rettangolare è necessario verificare

nelle sezioni B e D, ovvero le due campate che presentano la parte compressa sopra; se

l’asse neutro ricade all’interno della soletta oppure nell’anima. Nel caso di x>s occorre

calcolare di nuovo x utilizzando formule per la sezione a T.

Si calcola poi il momento d’inerzia della sezione:

E le tensioni massime, dove il momento viene ridotto di un fattore pari a 1,4:

Infine la verifica risulta soddisfatta se le tensioni massime nella sezione non superano

quelle ammissibili dei materiali.

Di seguito si riportano i calcoli nelle relative sezioni:

DATI

b [cm] 28 σ [MPa] 9,75

Cadm

B [cm] 66 σ [MPa] 260

Sadm

d [cm] 33 n 15

c [cm] 3 41

• SEZIONE A - Appoggio sinistro ARMATURA 2

SEZIONE A AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA 4 - 3,16 A s

SOTTO COMPRESSA 4 - 3,16 A’

s

6 4

d [cm] x [cm] I [cm ] M’ [kNm]

Gs

0,1 18 8,16 35580 21,57

σ [MPa] σ [MPa] σ’ [MPa]

Cmax S S

3,53 161,33 33,53

VERIFICATO VERIFICATO VERIFICATO

• SEZIONE B - Campata sinistra ARMATURA 2

SEZIONE B AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA COMPRESSA - - - A’

s

SOTTO TESA 4 - 3,16 A s

4

x [cm] I [cm ] M’ [kNm]

9,01 34106 25,64

σ [MPa] σ [MPa]

Cmax S

6,67 193,21

VERIFICATO VERIFICATO

42 • SEZIONE C - Appoggio centrale ARMATURA 2

SEZIONE C AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA 2 4 7,74 A s

SOTTO COMPRESSA 4 - 3,16 A’

s

6 4

d [cm] x [cm] I [cm ] M’ [kNm]

Gs

0,18 24,3 11,99 71167 48,93

σ [MPa] σ [MPa] σ’ [MPa]

Cmax S S

5,89 154,76 66,23

VERIFICATO VERIFICATO VERIFICATO

• SEZIONE D - Campata destra ARMATURA 2

SEZIONE D AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA - - - A’

s

SOTTO COMPRESSA 2 2 4,66 A s

4

x [cm] I [cm ] M’ [kNm]

10,58 46189 38,43

σ [MPa] σ [MPa]

Cmax S

8,8 199,86

VERIFICATO VERIFICATO 43

• SEZIONE E - Appoggio destro ARMATURA 2

SEZIONE E AREA [cm ]

ø10 ø14

SOPRA TESA - 4 6,16 A s

SOTTO COMPRESSA 2 2 4,66 A’

s

6 4

d [cm] x [cm] I [cm ] M’ [kNm]

Gs

0,18 20,08 10,52 61514 33,29

σ [MPa] σ [MPa] σ’ [MPa]

Cmax S S

4,07 130,32 43,63

VERIFICATO VERIFICATO VERIFICATO

4.7 MTA: Verifica a taglio

Nel caso della verifica a taglio per MTA si ha che il diagramma delle τ è parabolico con un

salto in corrispondenza dell’armatura compressa nella parte di sezione reagente, mentre

rimane costante nella parte non reagente, fino all’armatura tesa. Il procedimento consiste

nel determinale la τ della sezione, che dovrà essere poi confrontata con la τ relativa

max c0

al calcestruzzo in questione. Viene utilizzata la seguente formula:

La sezione risulta verificata se:

E nelle rispettive sezioni:

SEZ. V [kN] τ [MPa] < τ DATI

S max c0

A 37,69 0,45 b 28 cm

VERIFICATA

C 53,98 0,65 d 33 cm

NON VERIFICATA

E 46,56 0,56 τ 0,6 MPa

VERIFICATA c0

Nelle sezioni B e D essendo il taglio pressoché nullo non occorre effettuare la verifica.

44 Trave di Spina: civile abitazione

5.1 Predimensionamento della sezione

Per predimensionare la sezione della trave di procede utilizzando il modello delle tensioni

ammissibili. I carichi del solaio vanno dunque considerati non amplificati ed espressi in kN/

2

m , l’area di influenza i della trave è pari alla somma delle metà delle luci di calcolo; vanno

inoltre considerati il peso proprio della trave e del muro esterno.Supposta una trave 45x65

si ha: LUCI SEZIONE

e 6,6 m h 65 cm

d 5,4 m c 5 cm

i=e/2 + d/2 6 m d 60 cm

CARICHI kN/m

Trave 25•0,45•0,65 7,31

Muro 1,28•2,9 3,71

G1+G2 6•(2,74+1,61)/0,52 50,19

G 61,21

TOT

Q 12

TOT

Successivamente di procede con il determinare i momenti agenti sulla struttura utilizzando

un modello di comportamento semplificato. Tale modello consente di ottenere tramite

formule semi-empiriche i momenti e il coefficiente r che determina l’ammissibilità delle

tensioni presenti nel cls.Tramite i coefficienti: 45

Calcolo i momenti agenti

e utilizzando il momento più grande determino r

Nel nostro caso si ha:

LUCE MOMENTI kNm

M -181,41

1

1-2 M 162,46

2

M -214,80

3

M -143,85

4

2-3 M 96,43

5

M -143,85

6

M -177,22

7

3-4 M 118,80

8

M -177,22

9

M -214,80

10

4-5 M 162,46

11

M -181,41

12

M = M = M -214,80

max 3 10

r 0,272

Ad un r di 0,272 corrisponde una tensione del calcestruzzo di circa 9 MPa, minore e

dunque compatibile della σ definita per il calcestruzzo classe 25/30.

adm

46 5.2 Calcolo delle sollecitazioni

Per determinare le sollecitazioni occorre impostare il telaio bidimensionale composto da

trave di spina e pilastrata interna. Successivamente si risolve il telaio utilizzando il metodo

iterativo di cross già utilizzato per i solai. Essendo necessarie tutte le rigidezze, e quindi le

dimensioni, degli elementi strutturali si riporta al capitolo 7.1 sul predimensionamento della

pilastrata interna. Per quanto riguarda i carichi vanno considerate le seguenti

combinazioni:

- Pieno carico su tutte le campate

- Pieno carico su campate dispari, solo permanente su quelle pari

- Pieno carico su campate pari, solo permanente su quelle dispari

I carichi vanno prima moltiplicati per i coefficienti dell’SLU

kN/m Coeff. Carichi amplificati kN/m

!

G 38,93 1,3 50,61

G1

1 !

G 22,49 1,5 33,74

G2

2 !

Q 12 1,5 18,00

Q

Considerando tutti i nodi incastrati i momenti e le rigidezze valgono

Nel nostro caso: 4 4

I [cm ] I [cm ] E [MPa]

pilastro trave

341.718,75 1.029.843,75 31.500 47

NODO ASTA Rigidezza Asta Rigidezza Nodo Coeff. Ripartizione

1-6 4.044,00 0,27

1 1-2 6.993,85 15.081,85 0,46

1-11 4.044,00 0,27

2-1 6.993,85 0,30

2-7 4.044,00 0,17

2 23.628,27

2-3 8.546,42 0,36

2-12 4.044,00 0,17

3-2 8.546,42 0,35

3-8 4.044,00 0,17

3 24.334,19

3-4 7.699,77 0,32

3-13 4.044,00 0,17

4-3 7.699,77 0,34

4-9 4.044,00 0,18

4 22.781,62

4-5 6.993,85 0,31

4-14 4.044,00 0,18

5-4 6.993,85 0,46

5 5-10 4.044,00 15.081,85 0,27

5-15 4.044,00 0,27

L’approssimazione accettata nella risoluzione per smettere di iterare è 0.1, il coefficiente di

trasporto 1/2 e l’unità di misura kNm.

48 49

50 51

Il grafico di inviluppo del momento è stato incrementato longitudinalmente di una quantità

pari a: 0,9 • d = 0,9•(h-c) = 54cm

Il momento in mezzeria così ottenuto deve essere incrementato del 20% al fine di

modellizzare al meglio gli effetti delle deformazioni viscose.

5.3 Progetto dell’armatura a flessione

Ottenuto l’inviluppo del momento dalle 3 combinazioni si procede con la scelta dei ferri i

quali avranno il compito di assorbire il momento stesso.

Deve essere rispettata la seguente relazione:

Dove il momento resistente è quello relativo ai ferri e quello sollecitante viene dedotto

dall’inviluppo. Dalle seguenti formule possiamo ricavare l’area minima necessaria e il

momento resistente di ogni singolo ferro:

52 A = Area ferro

r #

c# = copriferro 5cm

d# = Altezza utile (h-c)

f = Tensione di snervamento decrementata da normativa = 391,3 MPa

yd#

Per il solaio ad uso civile abitazione si è scelto di utilizzare ferri di diametri 12 e 16 mm . Si

ottiene: 2

Diametro mm Area cm M kNm

resistente

20 3,14 66,35

24 4,52 95,51

E nelle rispettive sezioni: Armatura

M A A M

S min r R

SEZ. M > M

R S

2 2

[kNm] [cm ] [cm ] [kNm]

ø20 ø24

A 178,3 8,44 3 - 9,42 199,05 VERIFICATO

B 289,92 13,71 3 1 13,94 294,56 VERIFICATO

C 314,7 14,89 5 - 15,7 331,75 VERIFICATO

D 121,92 5,77 2 - 6,28 132,7 VERIFICATO

E 205,7 9,73 2 1 10,8 228,21 VERIFICATO

F 145,5 6,88 3 - 9,42 199,05 VERIFICATO

G 332,6 15,73 4 1 17,08 360,92 VERIFICATO

H 283,56 13,41 3 1 13,94 294,56 VERIFICATO

I 172,8 8,17 3 - 9,42 199,05 VERIFICATO 53

Sono stati utilizzati ferri in barre di lunghezza 8m, questi vanno poi opportunamente

ancorati e sovrapposti come da normativa; inoltre sono stati utilizzati 2 ferri nella parte

inferiore e 2 nella superiore di stesso diametro prolungati per tutta la lunghezza come

reggistaffe.

5.4 Progetto dell’armatura a taglio

Nelle travi l’entità delle sollecitazioni è molto gravosa, tanto che si ritiene necessario

armare a taglio. La fase di progetto consiste nel determinare la tipologia delle armature

che formeranno le staffe, indicandone il diametro ed il passo. Si ha:

e prendendo come valore di progetto il taglio più gravoso si ottiene la quantità minima di

armatura per metro

con s passo tra le staffe.

Scegliendo di utilizzare dei ø10 risulta più pratico impostare una tabella riportante il valore

del taglio resistente in relazione al passo:

2

Passo [cm] A [cm ] V [kN] DATI

st R

5 31,6 667,71 V 329,6 kN

MAX

10 15,8 333,85 d 60 cm

15 10,53 222,5 b 45 cm

20 7,9 166,93 f 391,3 MPa

yd

54 Si scegli quindi di disporre le staffature con:

- Passo 10cm (Φ10/10) in prossimità degli appoggi della trave dove il taglio si presenta

con maggiore intensità.

- Passo 20 cm (Φ10/20) per i rimanenti tratti in prossimità della mezzeria dove il taglio non

è critico.

Si deve infine verificare che l’armatura sia superiore della minima imposta dalla normativa:

# # 7,9 > 6,75# VERIFICATO

5.5 SLU: Verifica a flessione

Il metodo di verifica allo SLU è caratterizzato da un modello di comportamento del

materiale detto di terzo stadio, ovvero si considera il calcestruzzo non resistente a trazione

e un legame tensioni-deformazioni dei materiali di tipo non lineare. La verifica a flessione

si articola in 2 fasi: la prima fase consiste nella determinazione dell’asse neutro x, mentre

la seconda consente di ottenere il momento resistente della sezione M . Utilizzando un

R

metodo iterativo, la x viene ottenuta imponendo l’equilibrio alla traslazione, nel caso di

doppia armatura di ha:

Facendo l’ipotesi di armatura compressa snervata, posso scrive:

Dalla quale si ottiene la x di prima iterazione:

Calcolando x/d determino il campo di comportamento

- CAMPO 2# # 0 < x/d < 0,259

- CAMPO 3# # 0,259 < x/d < 0,653 55

In base al campo si procede nei seguenti modi:

• CAMPO 2

L’armatura tesa è sicuramente snervata, mentre bisogna verificare se lo è anche quella

compressa. Usando semplici formule di proporzione tra triangoli simili calcolo:

Se questa risulta maggiore di ε allora anche l’armatura compressa è snervata, non

yd σ’ σ’

occorrono successive iterazione e = f . Mentre se non snervata si ha = ε’ •E e

S S

yd s S

occorre proseguire l’iterazione con la nuova x:

Inoltre occorre verificare che la deformazione del calcestruzzo non superi ε .

cu

• CAMPO 3

L’armatura tesa è sicuramente snervata, mentre bisogna verificare se lo è anche quella

compressa:

Se questa risulta maggiore di ε allora anche l’armatura compressa è snervata, non

yd σ’ σ’

occorrono successive iterazione e = f . Mentre se non snervata si ha = ε’ •E e

S S

yd s S

occorre proseguire l’iterazione con la nuova x:

Inoltre occorre verificare che la deformazione del armatura tesa non superi ε .

yu

56 Una volta calcolata la posizione dell’asse neutro posso calcolare M imponendo

Rd

l’equilibrio alla rotazione, utilizzando come polo il punto di applicazione di N .

c

Infine la sezione di ritiene verificata se:

Di seguito si riportano i calcoli nelle relative sezioni:

DATI

b [cm] 45 ε [‰] 3,5 f [MPa] 391,3 k 0,416

cu yd .

d [cm] 60 ε [‰] 1,96 f [MPa] 14,17 0,81

yd yd

c [cm] 5 ε [‰] 10 E [MPa] 200000

yu S

• SEZIONE A ARMATURA 2

SEZIONE A AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA TESA 3 - 9,42 A s

SOTTO COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s 57

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 2,4 0,039 2 0,5 - 0,5 NO -90,28 8,23

2 8,23 0,137 2 0,6 - 1,6 NO 124,78 5,62

3 5,62 0,094 2 0,1 - 1 NO 22,8 6,86

4 6,86 0,114 2 0,4 - 1,3 NO 70 6,29

5 6,29 0,105 2 0,2 - 1,2 NO 48,04 6,55

6 6,55 0,109 2 0,3 - 1,2 NO 58 6,43

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

6,43 210,52 178,3 VERIFICATA

• SEZIONE B ARMATURA 2

SEZIONE B AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

SOTTO TESA 3 1 13,94 A s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 5,8 0,097 2 1,1 - 0,1 NO 29,52 10,2

2 10,2 0,17 2 2 - 1 NO 208,84 8,02

3 8,02 0,134 2 1,5 - 0,6 NO 116,2 9,15

4 9,15 0,153 2 1,8 - 0,8 NO 163,23 8,58

5 8,58 0,143 2 1,7 - 0,7 NO 139,25 8,87

6 8,87 0,148 2 1,7 - 0,7 NO 8,87

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

8,87 306,19 289,92 VERIFICATA

58 SEZIONE C

• ARMATURA 2

SEZIONE C AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA TESA 5 - 15,7 A s

SOTTO COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 7,1 0,119 2 1,3 - 0,4 NO 79,4 10,93

2 10,93 0,182 2 2,2 - 1,2 NO 241,7 8,96

3 8,96 0,149 2 2,8 - 0,8 NO 155,17 10

4 10 0,167 2 2 - 1 NO 200 9,46

5 9,46 0,158 2 1,9 - 0,9 NO 176,49 9,75

6 9,75 0,163 2 1,9 - 0,9 NO 189,05 9,6

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

9,6 342,88 314,7 VERIFICATA

SEZIONE D

• ARMATURA 2

SEZIONE D AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

SOTTO TESA 2 - 6,28 A s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 0 0 2 0 - -0,8 NO -166,67 6,78

2 6,78 0,113 2 1,3 - 0,3 NO 66,89 3,94

3 3,94 0,066 2 0,7 - 0,2 NO -37,82 5,22

4 5,22 0,087 2 1 - 1 NO 8,03 4,66 59

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

5 4,66 0,078 2 0,8 - 0,1 NO -12,29 4,91

6 4,91 0,082 2 0,9 - 0 NO -3,27 4,8

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

4,8 142,6 121,92 VERIFICATA

SEZIONE E

• ARMATURA 2

SEZIONE E AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA TESA 2 1 10,8 A s

SOTTO COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 3,4 0,057 2 0,6 - 0,2 NO -56,54 8,87

2 8,87 0,148 2 1,7 - 0,7 NO 151,38 6,34

3 6,34 0,106 2 1,2 - 0,3 NO 49,94 7,57

4 7,57 0,126 2 1,4 - 0,5 NO 98,04 7

5 7 0,117 2 1,3 - 0,4 NO 75,47 7,26

6 7,26 0,121 2 1,4 - 0,4 NO 85,7 7,14

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

7,14 239,92 205,7 VERIFICATA

SEZIONE F

• ARMATURA 2

SEZIONE F AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

SOTTO TESA 3 - 9,42 A s

60 A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 2,4 0,04 2 0,4 - 0,5 NO -90,29 8,23

2 8,23 0,137 2 1,6 - 0,6 NO 124,78 5,62

3 5,62 0,094 2 1 - 0,1 NO 22,8 6,86

4 6,86 0,114 2 1,3 - 0,4 NO 70 6,29

5 6,29 0,105 2 1,2 - 0,2 NO 48,04 6,55

6 6,55 0,109 2 1,2 - 0,3 NO 58 6,43

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

6,43 210,46 174,6 VERIFICATA

SEZIONE G

• ARMATURA 2

SEZIONE G AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA TESA 4 1 17,08 A s

SOTTO COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 8,2 0,136 2 1,6 - 0,6 NO 123,55 11,44

2 11,44 0,191 2 2,4 - 1,3 NO 265,24 9,71

3 9,71 0,161 2 1,9 - 0,9 NO 187,31 10,66

4 10,66 0,178 2 2,2 - 1,1 NO 229,43 10,15

5 10,15 0,169 2 2 - 1 NO 206,62 10,43

6 10,43 0,174 2 2,1 - 1,1 NO 219,08 10,28

7 10,28 0,171 2 2,1 - 1,1 NO 212,39 10,36

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

10,36 371,28 332,6 VERIFICATA 61

SEZIONE H

• ARMATURA 2

SEZIONE H AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

SOTTO TESA 3 1 13,94 A s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 5,8 0,097 2 1,1 - 0,1 NO 29,52 10,2

2 10,2 0,17 2 2 - 1 NO 208,84 8,02

3 8,02 0,134 2 1,5 - 0,6 NO 116,2 9,15

4 9,15 0,153 2 1,8 - 0,8 NO 163,23 8,58

5 8,58 0,143 2 1,7 - 0,7 NO 139,25 8,87

6 8,87 0,148 2 1,7 - 0,7 NO 151,38 8,72

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

8,72 306,19 283,56 VERIFICATA

• SEZIONE I ARMATURA 2

SEZIONE I AREA [cm ]

ø20 ø24

SOPRA TESA 3 - 9,42 A s

SOTTO COMPRESSA 2 - 6,28 A’

s

A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

1 2,4 0,04 2 0,4 - 0,5 NO -90,29 8,23

2 8,23 0,137 2 1,6 - 0,6 NO 124,78 5,62

3 5,62 0,094 2 1 - 0,1 NO 22,8 6,86

62 A’ x’

s /’

x [cm] x/d CAMPO ε [‰] ε [‰] ε’ [‰] [MPa]

S

c s s snervata [cm]

4 6,86 0,114 2 1,3 - 0,4 NO 70 6,29

5 6,29 0,105 2 1,2 - 0,2 NO 48,04 6,55

6 6,55 0,109 2 1,2 - 0,3 NO 58 6,43

x [cm] M [kNm] M [kNm] M > M

Rd Ed Rd Ed

6,43 210,46 172,8 VERIFICATA

5.6 SLU: Verifica a taglio

Nel caso di verifica a taglio allo SLU, per quanto riguarda gli elementi provvisti di specifica

armatura trasversale resistente a taglio, la normativa fornisce le seguenti formule:

Con:

A # = Area staffe

sw

s# = passo tra le staffe


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icamo

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher icamo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di tecnica delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Benedetti Andrea.

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