Progetto allo SLU. Trave di fondazione infinitamente rigida su suolo alla Winkler

Analisi dei dati

A MAS As Ad Ad= ·M 4.45 t mAs = − =T N T -10.52 tAd A As= + = ·M M M 7.29 t mAd As ATRATTO A-G: A GM T T MAd Ad GS GSr A= ·M 7.29 t m rAd G=T -10.52 tAD Rx t2R r2= ⋅ =R r Lm 30.55 t yr 2 A[ ]( )1= − =R r r Lm 0.70 tt 2 G A2= + − =T R R T 20.73 tGS r 2 t 2 Ad    ( ) 2Lm= + ⋅ − ⋅ − ⋅ =   ·30.74 t m.M M T Lm R R LmGS Ad GS r 2 t 2   2 3 5Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2008/2009NODO G: M G·M = 2.84 t mGN = 46.66 t TNG G MT = 20.73 tGs M T TG MGS Gs Gd Gd·M = 30.74 t mGs = − =T N T -22.93 tGd G Gs= + = ·M M M 33.58 t mGd Gs GTRATTO G-H: G HM T T MGd Gd HS HS·M = 33.58 t mGd r rG HT = -22.93 tAd Rx t3= ⋅ = RR r Lm 31.96 t r3r 3 G y[ ]( )1= − =R r r Lm 0.70 tt 3 H G2= + − =T R R T 9.73 tHS r 3 t 3 Gd    ( ) Lm 2= + ⋅ − ⋅ − ⋅ =    ·2.04 t mM M T Lm R R Lm.HS Gd HS r 3 t 3   2 3NODO H: MH·M = 2.84 t mHN =

= +r ( x ) 0 . 06 x 6 . 43

Le espressioni delle leggi T(x) ed M(x) sono le seguenti:

T(x) = 0.06x^2 + 6.43x

M(x) = 6.43x^2 + C1x + C2

imponendo le condizioni al contorno si determinano le due costanti di integrazione:

M(0) = 0, quindi C2 = 0

T(0) = 0, quindi C1 = 0

le due leggi complete sono:

T(x) = 0.06x^2 + 6.43x

M(x) = 0.03x^3 + 6.43x^2

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TRATTO A-G:

Equazioni indefinite dell'equilibrio del concio elementare:

dT/dx = 0, quindi -q(x) + r(x) = 0

dM/dx = -T(x), quindi -q(x) = T(x)

integrando le due equazioni differenziali, si ottiene:

∫ -q(x) dx = ∫ T(x) dx + C1

∫ -q(x) dx = M(x) + C2

la funzione r(x) è ricavabile dalla proporzione:

r(x) = -q(x) * (Lm/Ag)

a cui si ottiene: r(x) = 0.064x + 6.50

Le espressioni delle leggi T(x) ed M(x) sono le seguenti:
2 3 2( ) x 0 . 064 x x= + + = + + +T x 0 . 064 6 . 50 x C M ( x ) 6 . 50 C x C1 1 22 2 3 2
imponendo le condizioni al contorno si determinano le due costanti di integrazione:
( )= = → =per x 0 M 0 7 . 29 C 7 . 292( )= = − → = −per x 0 T 0 10 . 52 C 10 . 521le due leggi complete sono:
2 3 2( ) x x x= + − = + − +T x 0 . 064 6 . 50 x 10 . 52 M ( x ) 0 . 032 6 . 50 10 . 52 7 . 292 3 2
calcolo dell’ascissa di momento massimo e del valore di M corrispondente:
( ) = ⋅ + − =2↔T x 0 0 . 032 x 6 . 50 x 10 . 52 0x = 1,56 m (ascissa di momento max)T ·M(x ) = -1,17 t m (momento max)T 8
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TRATTO G-H:
Equazioni indefinite dell’equilibrio del concio elementare:
dT q= 0= − +q ( x ) r ( x )  2d Mdx ⇔ − = + r= lineare r ( x )2dM  dx= T= parabolico del 2° ordineT ( x ) dx M parabolico del 3° ordineintegrando

le due equazioni differenziali, si ottiene:( ) ∫ ∫= + = +T x r ( x ) dx C M ( x ) T ( x ) dx C1 2

la funzione r(x) è ricavabile dalla proporzione:[ ]( ) ( )− = −r x r : x r r : LmG H G

da cui si ottiene: = +r ( x ) 0 . 064 x 6 . 80

Le espressioni delle leggi T(x) ed M(x) sono le seguenti:2 3 2( ) x 0 . 064 x x= + + = + + +T x 0 . 064 6 . 80 x C M ( x ) 6 . 80 C x C1 1 22 2 3 2

imponendo le condizioni al contorno si determinano le due costanti di integrazione:( )= = → =per x 0 M 0 33 . 58 C 33 . 582( )= = − → = −per x 0 T 0 22 . 93 C 22 . 931

Le due leggi complete sono:2 3 2( ) x x x= + − = + − +T x 0 . 064 6 . 80 x 22 . 93 M ( x ) 0 . 032 6 . 80 22 . 93 33 . 582 3 2

calcolo dell’ascissa di momento massimo e del valore di M corrispondente:( ) = ⋅ + − =2↔T x 0 0 . 032 x 6 . 80 x 22 . 93 0x = 3.28 m (ascissa di momento max)T ·M(x ) = -4.68 t m (momento max)T 9

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2008/2009TRATTO H-P:Equazioni indefinite dell'equilibrio del concio elementare:

dT q= 0= - +q ( x ) r ( x ) 2d Mdx ⇔ - = r= lineare r ( x )2dM dx= T= parabolico del 2° ordineT ( x ) dx M parabolico del 3° ordineintegrando le due equazioni differenziali, si ottiene:

( ) ∫ ∫= + = +T x r ( x ) dx C M ( x ) T ( x ) dx C1 2la funzione r(x) è ricavabile dalla proporzione[ ]( ) ( ) ( )- = -r x r : x r r : Lm / 4H H Pda cui si ottiene: = +r ( x ) 0 . 06 x 7 . 10Le espressioni delle leggi T(x) ed M(x) sono le seguenti:

2 3 2( ) x 0 . 06 x x= + + = + + +T x 0 . 06 7 . 10 x C M ( x ) 7 . 10 C x C1 1 22 2 3 2imponendo le condizioni al contorno si determinano le due costanti di integrazione:

= = → =per x 0 M 0 7 . 28 C 7 . 282( )= = − → = −per x 0 T 0 8 . 38 C 8 . 381le due leggi complete sono:

2 3 2( ) x x x= + − = + − +T x 0 . 06 7 . 10 x 8 . 38 M ( x ) 0 . 03 7 . 10 9 . 38 x 4 . 882 3

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Diagramma del Taglio (parabola del 2° ordine)

T(x) (t) 20.73 9.73 7.59 HO A G P x 8.38 10.52 22.93

Diagramma del Momento (parabola del 3° ordine)

4.68 A G H P 1.17 O x 2.04 4.45 7.29 4.88 30.74 33.58

M(x) (t m) scala delle lunghezze 1:100 scala del Momento 1cm= 10 t·m scala del Taglio 1cm= 10 t

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2. PROGETTO ALLO S.L.U. DELLE ARMATURE A FLESSIONE

Caso 1: Momenti Positivi Rck 250 FeB 44k

M = 1.5*Md e: momento di progetto

Md: momento di esercizio

eMd + ·M = 3358000 daN cm

M = 5037000 daN cm

dh = 116 cm

Af (altezza utile della sezione a T rovescia)

b = 40 cm (base dell'anima)

Il momento Me è il massimo momento di esercizio (fibre inferiori tese) che sollecita la trave di fondazione. In particolare il massimo momento che si ha in corrispondenza del nodo G.

Il caso in esame è quello di una sezione semplicemente inflessa, fissati i materiali, nota la geometria della sezione e le azioni di

progetto è possibile calcolare il valore dell'armatura metallica, utilizzando la procedura nota: h ∗= = ⋅ ⋅→ →ξ → Atr e A t M bf d fM db ξ = 0 . 15h= → Dalla lettura dei dati in tabella si trova: per r =0.3269 e quindi: =t 0 . 00087M dbper cui si ottiene:ξ= ⋅ =profondità di asse neutro : ·x h 0.15 116=17.4 cm (Regione 2, armatura snervata)c = 2armatura teorica : A 12.35 cmf∗ = 2armatura effettiva: A 15.24 cm ∅ FeB 44k( 6 18)f 12Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2008/2009Sezione a T rovesciaVerifica della Rck 250 FeB 44kLa verifica consiste nel determinare il valore del momento sotto il quale la sezione si rompe.Sono noti:1) la geometria della sezione: b=40 cm; h = 116 cm;i materiali:2) ⋅ ⋅ Rck0 . 85 0 . 83σ• = = 2→ daN cmRck =250 110 . 23C 0 1 . 64300σ• = = 2→ daN cmFeB 44K 3739 . 13f 0 1 . 15la quantità di armatura:3) ∗ = 2A 15.24

cm ∅(6 18)fGli equilibri da imporre nella sezione sono 2:ψ σ σ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =b x A

01) equilibrio alla traslazione : c Co f 1 f 1( )ψ σ λ⋅ ⋅ ⋅ − =

2) equilibrio alla rotazione: b x h x Mc c uCoξ=con: x hc

A questo punto si ipotizza un assetto deformativo di rottura, fissando la profondità dell’asse neutro.

I hp: assetto deformativo con asse neutro al limite inferiore della regione 2.ψ λ