Progetto allo SLU. Trave di fondazione infinitamente rigida su suolo alla Winkler

Seconda Università degli Studi di Napoli

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in: Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio

a.a. 2008/2009

Corso di

TECNICA DELLE COSTRUZIONI 1 (6 CFU)

Prof. Ing. Pasquale Malangone

ELABORATO NUMERICO 4

Trave di fondazione infinitamente rigida su suolo alla Winkler

• Diagrammi v(x), r(x)

• Caratteristiche della sollecitazione M(x), T(x)

• Progetto allo S.L.U. delle armature a flessione e a taglio

L’allieva: Perrotta Daniela

matr: 835/165

Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2008/2009

1. TRAVE DI FONDAZIONE INFINITAMENTE RIGIDA

SU SUOLO ALLA WINKLER

DIAGRAMMI v(x,) r(x), M(x) e T(x)

M M M

A G H

N N N

A G H

0 A G P

H

Dati:

B =1,20 m larghezza della trave di fondazione

t

K =1000 t/m3 costante di sottofondo del terreno

t

L =4,70m; L /4=1,175m lunghezze parziali della trave

m m

L=11,75 m lunghezza totale della trave

M =M =M =2844,8 daN momenti indotti dalle forze orizzontali (telaio shear-type)

A G H

N =N =18117,74 daN sforzi normali indotti dai carichi verticali (telaio a nodi fissi)

A H

N =43664,52 daN sforzo normale indotto dai carichi verticali (telaio a nodi fissi)

G

Calcolo del risultante R degli sforzi verticali:

equilibrio alla traslazione verticale: R = N + N + N =79900 daN

A G H

·d ·d ·d

R·d= N + N + N + M + M + M

equilibrio alla rotazione rispetto ad O: A 1 G 2 H 3 A G H

da cui si ricava d=5,98m , la distanza del punto di applicazione di R dal punto O.

1

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Il baricentro G della superficie di contatto trave-terreno, dista da O di una quantità pari ad L/2, cioè

5,875 m. Il risultante R è posto all’interno del nocciolo centrale d’inerzia, essendo la sua

eccentricità rispetto a G minore di L/6, questo significa che l’intera sezione a contatto con il terreno

è tutta compressa. Essendo tuttavia R uno sforzo normale eccentrico, il diagramma degli

abbassamenti v(x), risulta trapezoidale, quindi gli spostamenti variano con legge lineare, perché la

trave di fondazione viene considerata rigida e poggiata su suolo elastico alla Winkler.

β·v(x)

In base alla relazione r(x)= al diagramma degli abbassamenti v(x) dovrà corrispondere un

diagramma delle reazioni del terreno r(x) sulla trave, dello stesso tipo.

β

Il parametro è detto parametro meccanico del terreno, ed è funzione della larghezza Bt della trave

di fondazione e della costante Kt, attraverso la seguente relazione lineare:

β=B ·K

t t

2

β=1200

dunque è : t/m .

Il diagramma delle reazioni r(x) del terreno può essere visto come somma di un diagramma

rettangolare avente risultante R applicato a distanza L/2 dal punto P, e di un diagramma triangolare

r

di risultante R applicato a distanza L/3 dal punto P. Le risultanti dei due diagrammi valgono quindi:

t

= ⋅

R r L

r 0 [ ]

( )

1

= −

R r r L

t P 0

2

Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale e quello alla rotazione rispetto al punto G, delle

azioni agenti sulla trave di fondazione, si ottengono i valori di queste due risultanti:

+ − − − =

Equilibrio alla traslazione verticale: R R N N N 0

r t A G H  

L L

+ + − + − − =

M M M N Lm N Lm R 0

Equilibrio alla rotazione intorno a G:  

A G H A H  

2 3

t

Risolvendo le due equazioni si ricava:

= =

R 75542 daN 75 . 54

t

r = =

R 4358 daN 4 . 36

t

t

Calcoliamo ora le reazioni del terreno in corrispondenza dei punti: O,A,G,H e P partendo da O e da

P.  R

= ⋅ = =

 r

R r L r 6 . 43

t / m



 

r 0 0 L

⇒

 

[ ]

( )

1

= − 2 R

R r r L

  = + =

t

t P 0 r r 7 . 17 t / m

2  P 0

 L

Attraverso semplici proporzioni è possibile determinare i valori delle reazioni anche in

corrispondenza degli altri punti. 2

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reazioni del terreno

Diagramma delle :

O A G P

H x

=6.43 =6.50 =6.80 =7.10 =7.17

0 A G H

r P

r

r r r

R t

R r

r(x) (t/m)

( ) ( ) ( )

− = − =

 

r r : L r r : Lm 4 6

.

50 /

r t m

P 0 A 0 A

 

( ) ( ) ( )

− = − =

⇒

r r : L r r : L / 2 r 6

.

80

t / m

 

P 0 G 0 G

[ ]

( ) ( ) ( )

 

− = − − = =

r r : L r r : L Lm / 4 r 7

.

10

t / m r



 P 0 H 0 H max r

σ = ≈ 2

max 0

.

59 daN / cm

La massima tensione di compressione si ha nel punto H: t B

t

Noti i valori delle reazioni, è possibile calcolare anche gli abbassamenti v(x):

β

= =

 v r mm

/ 5 . 34

o o

 β

= =

v r mm

/ 5 . 42

 A A β

 = =

v r mm

/ 5 . 67

G G

 β

= =

v r mm

/ 5 . 92

 H H

 β

= =

v r mm

/ 5 . 97

 P P abbassamenti della trave

Diagramma degli :

O A G P

H x

=5.34 =5.42 =5.67 =5.92 =5.97

0 A G H P

v v v

v v

v(x) (mm) 3

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Definite tutte le azioni si possono ricavare i valori del taglio e del momento nei 5 punti caratteristici

delle trave di fondazione sopra visti, attraverso considerazioni di equilibrio.

M M M

A G H

N N N

A G H

O A G P

H

=6.43 =6.50 =6.80 =7.10 =7.17

0 A G H

r P

r

r r r

R t

R r

M = M = M = 2,84 t m

A G H

N = N = 18.11 t

A H

N = 43.66 t

G 4

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A

O

TRATTO O-A:

T =0 T M

O AS AS

M =0 T

O M

r T

0 A

Lm

= ⋅ =

R r 7 . 55

t

r 1 0 4 R R

r1 t1

 

( )

1 Lm

= − =

R r r 0 . 04

t

 

t 1 A 0



2 4

= + =

T R R 7 . 59

t

AS r 1 t 1

     

2

Lm Lm Lm

= ⋅ − ⋅ − ⋅ =

     

M T R R . 4 . 45

t

AS AS r 1 t 1

    

 4 8 3 4

NODO A:

= M

·

M A

2.84 t m

A =

N 18.11 t N

A A

=

T 7.59 t

As M T T

A M

AS As Ad Ad

= ·

M 4.45 t m

As = − =

T N T -10.52 t

Ad A As

= + = ·

M M M 7.29 t m

Ad As A

TRATTO A-G: A G

M T T M

Ad Ad GS GS

r A

= ·

M 7.29 t m r

Ad G