Appunti/Progetto Fondazione e Iterazione Terreno

Esercitazione n. 3

Progettazione della trave di fondazione

Si progetti la trave di fondazione rappresentata schematicamente in figura, poggiante alla profondità di 3 m dal piano di campagna su un banco di sabbie e ghiaie mediamente addensate, aventi le seguenti proprietà fisiche e meccaniche: t 2γ; c=0; φ=33°; E kg/cm=1,8 =500ed3m. Lo spessore del banco di sabbia e ghiaia è di 7,5 m a partire dal piano di posa della fondazione; il banco poggia a sua volta su una formazione praticamente indeformabile. Il pelo libero della falda si trova alla profondità di 3 m dal piano di campagna.

Studio dell’interazione

Lo studio dell’interazione va condotto modellando il sottosuolo come:

• Mezzo alla Winkler
• Semispazio elastico
• Strato elastico di spessore finito

Le forze agenti vanno considerate come valori caratteristici E degli effetti delle azioni.

kL = 15,00 m 1,50 m 3,00 m 6,00 m 3,00 m 1,50 mp.c. 270 t 270 t Terreno di riporto: 175 t 175 t D = 3,00 m = 1,50 t/m 2u = 0 A B C D Sabbie e ghiaie 7,50 m mediamente addensate: = 1,50 t/m 2 = 33°E = 500 kg/cm ed 2 Strato indeformabile Figura - Schema del problema.

Indagini svolte

• Fori di sondaggio (determinazione dei litotipi).
• Misure piezometriche (posizione della falda).
• Prove meccaniche in sito (poiché si è in grana grossa non è possibile campionamento indisturbato).
• La determinazione di γ è avvenuta su campione non indisturbato. (L’incertezza su tale dato risulta meno rilevante rispetto, ad esempio, a quella su φ).

Progetto di una trave di fondazione

Il progetto di una trave di fondazione prevede:

1. Calcolo del carico limite e verifica della capacità portante;
2. Calcolo dei cedimenti;
3. Studio dell’interazione terreno – fondazione (si ottengono i diagrammi di T ed M, necessari per il dimensionamento strutturale).

Le prime due operazioni, richiedono la conoscenza dell’area d’impronta. Dunque, per prima cosa, si fissa la B della fondazione. Ricordando che la fondazione è una trave, si assuma che B sia tale che: B =0,1L. Poiché L = 15 m, si pone: B=1,5 m.

Verifica capacità portante

1.1 Verifica secondo D.M. 14.03.1988

Tenendo conto del fatto che B/L = 0,1 bisogna introdurre una terna di coefficienti di forma. Si applica la formula trinomia di Terzaghi (il secondo termine è nullo poiché c = 0):

B' 'lim q ζ N c ζ N γ ' ζ¿=N + +q 0 q c c γ γ2q ¿

Coefficiente di carico limite, funzioni di φ’:

I coefficienti di forma:

• Bζ ∙ tanφ'=1,06
• Bζ ∙=1+q_L N_{B q}ζ ∙=1+ =1,07c_LN_c
• Bζ ∙=1−0,4 =0,96γ_L

Il sovraccarico: ' 2(1)q D=1,5 ∙3=4,5 t=γ /m0 sat. Poiché il calcolo è in tensioni efficaci, nel terzo termine si utilizza: ' 3(2)γ t=γ −γ =1,80−1,00=0,80 /m sat w.

Non occorre apportare altre correzioni, poiché la simmetria dei carichi fa in modo che la risultante sia centrata (e=0); tale risultante, risulta evidentemente verticale; infine piano di campagna e piano di posa sono orizzontali. A rigore, essendo in condizioni drenate, l’allontanamento dall’ipotesi di comportamento rigido – perfettamente plastico andrebbe verificato, ed eventualmente tenuto in conto mediante un’ulteriore terna di coefficienti. Tuttavia, in questa fase si può evitare di considerare la possibilità di punzonamento, poiché, ammesso che il terreno sia molto deformabile, nella fase di studio e calcolo dei cedimenti, sarà analizzato in maniera più precisa il comportamento deformativo del terreno.

Dunque:

1 Si noti che i coefficienti correttivi sono prossimi all'unità, poiché B/L = 0,1.

B 1,5' ' 2lim q ζ N γ ζ 4,5 ∙ 1,06+35,19 ∙ 0,80∙ ∙ 0,96=124,44+ 20,27 t¿=N + =26,09∙ ≅145 /mq 0 q γ γ2 2q ¿

In termini di forze: lim ∙ B ∙ L=145 ∙ 1,5∙ 15=3262 t¿ lim ¿=q ¿Q ¿

Il carico agente risulta: V 175+270 t( )=890=Q =2es.

La verifica secondo il D.M. 11.03.1988 impone che: Q lim ¿ ≥ 3Q es SF=¿.

Nel caso in esame: Q 3262lim ¿ ,66> 3= =3Q 890es ¿

Pertanto la verifica risulta soddisfatta. È importante notare che in questa fase conviene sempre mantenere un certo margine di sicurezza, poiché, una volta che la geometria della trave sarà perfettamente definita, bisognerà aggiungere il peso proprio della trave stessa.

1.2 Verifica secondo D.M. 14.01.2008 – Approccio DA2

L’approccio DA2 prevede l’uso dei coefficienti (A1 + M1 + R3). Come visto nella prima esercitazione, i coefficienti M1 (relativi alla riduzione dei parametri meccanici del terreno), sono unitari. Quindi bisogna semplicemente ridurre il carico limite trovato nel 1.1 (il quale, seguendo questo approccio, rappresenta una sorta di carico limite caratteristico) con il coefficiente γ letto R nella colonna R3 (pari a 2,3). Inoltre occorre amplificare il carico fornito (che la traccia suggerisce essere assimilabile al valore caratteristico) mediante i coefficienti A1 per le azioni.

La combinazione da adottare è:

E ∙ G ∙ Q=γ +γd G 1 1 Q 1

Con: γ =1,3G 1 γ =1,5Qi Poiché nei dati a disposizione non viene fatto un distinguo tra carichi permanenti e carichi variabili, si considera un valore forfettario pari alla media dei due coefficienti: γ =1,4F.

Dunque, indicando il carico agente con V, si ottiene:

E ∙ V ∙890=1246 t=γ =1,4d F k

Inoltre:

Q 3262klim ¿ = =1418tγ 2,3R R =¿d

La verifica secondo il D.M. 14.01.2008 impone che: E ≤ Rd do, equivalentemente, scritto in forma di rapporto: R d ≥ 1E d.

Nel caso in esame: R 1418d,14= =1 >1E 1246d

Pertanto la verifica risulta soddisfatta.

1.3 Verifica secondo D.M. 14.01.2008 – Approccio DA1

Utilizzando questo approccio (A2 + M2 + R2), bisogna apportare penalizzazioni anche ai parametri del terreno. Dunque il carico limite non è lo stesso di quello calcolato nel 1.1 (ed utilizzato anche nel 1.2). γ Il coefficiente forfettario cambia, poiché cambiano i coefficienti legati alle azioni (risultano inferiori). In particolare: γ =1,0G 1 γ =1,3Qi Considerando per i motivi prima evidenziati un valore medio come coefficiente forfettario, risulta: γ =1,15F.

Si perviene a:

E ∙ V 890=1024 t=γ =1,15∙d F k

I parametri da utilizzare, intesi come valori caratteristici, sono: φ ' °=33k 2c ' =0t /mk. Bisogna dunque intervenire solo sulla tangente dell’angolo d’attrito, ottenendo il valore di progetto: tanφ ' tan 33 °ktan φ ' φ ' 0,519 °( )=27,45= = =0,519→ =arctand dγ 1,25'φ 2.

I coefficienti N, N, N risultano pari a:

Il rapporto B/L non cambia: B 1,5= =0,1L 15. I coefficienti di forma risultano:

• Bζ ∙ tan φ'=1+ =1,05q dL NB qζ ∙=1+ =1,06c L N c

Con una riduzione dell’angolo d’attrito di meno di 6° (da 33° a 27,45°) i coefficienti di carico limite risultano praticamente dimezzati, a conferma del fatto che una piccola variazione di φ’ determina notevoli variazioni del carico limite. Ciò è dovuto alla struttura esponenziale delle relazioni che legano l’angolo d’attrito a tali coefficienti. Bζ ∙=1−0,4 =0,96γ L. Il sovraccarico: ' 2(1)q D=1,5 ∙3=4,5 t=γ /m0 sat. Poiché il calcolo è in tensioni efficaci, nel terzo termine si utilizza: ' 3(2)γ t=γ −γ =1,80−1,00=0,80 /msat w.

Dunque:

B 1,5' ' 2lim q ζ N γ ζ 4,5∙ 1,05+15,44 ∙ 0,80 ∙ ∙ 0,96=65,48+8,89 t/m¿=N + =13,86∙ ≅74q 0 q γ γ2 2q ¿

In termini di forze: lim ∙ B ∙ L=74 ∙ 1,5 ∙15=1665 t¿ klim ¿ =q ¿Q ¿ E dunque: Q 1665klim ¿ t= =925γ 1,8R R =¿d. Il carico agente di progetto (calcolato in precedenza) risulta: E t=1024d. La verifica secondo il D.M. 14.01.2008 impone che: E ≤ Rd do, equivalentemente, scritto in forma di rapporto: R d ≥ 1E d. Nel caso in esame: R 925d, 90<1= =0E 1024d. Pertanto la verifica risulta NON soddisfatta.

Si supponga di aver seguito l’approccio DA2, e cioè di aver verificato la capacità portante della trave di fondazione. Il passo successivo è il calcolo dei cedimenti.

Calcolo dei cedimenti

Si è in presenza di un terreno a grana grossa. In tali terreni, non è possibile operare una distinzione temporale tra il cedimento distorsionale w ed il cedimento volumetrico w. Esistono 4 metodi, di natura sostanzialmente empirica, che consentono il calcolo dei cedimenti in tale tipologia di terreni:

• Estensione del metodo di Terzaghi riguardante i terreni a grana fine
• Metodo di Schmertmann
• Metodo di Terzaghi e Peck
• Metodo di Burland e Burbidge

Come evidenziato, il primo di essi è stato “pensato” per terreni a grana fine. Dunque, poiché per terreni a grana grossa non è possibile disporre di una prova di compressione edometrica di laboratorio su campione indisturbato, il metodo assume un carattere fortemente empirico. Non è possibile portare in conto la dipendenza di E dallo stato tensionale. La conseguenza operativa è che la fase di calcolo delle tensioni geostatiche preesistenti diviene priva di senso, e quindi scompare. I valori del modulo edometrico vengono correlati ai risultati di prove meccaniche in sito. Si noti che, evidentemente, in assenza di prova edometrica, non è possibile valutare il grado di sovraconsolidazione del terreno. Nel prosieguo si effettuerà il calcolo mediante questo metodo.

Il cedimento finale risulta: ∑ iw w=w =w =f c ed ed. L’aliquota di cedimento riferita allo strato i-esimo: '∆σi zw ∆ z=ed iE ed.

Per quanto riguarda gli incrementi di tensione verticale efficace, il diagramma che fornisce la legge di tali incrementi al variare della profondità (molto spesso espressi mediante grandezze adimensionalizzate e tabellati), deriva dalla teoria del semispazio linearmente elastico, ed ha solitamente un aspetto simile a quello riportato nella figura seguente (Fig.2):

3 L’ipotesi formulata da Terzaghi di condizioni edometriche (ε = ε = 0), unita alla definizione di condizioni non x y drenate (ΔV/V = 0), comporta che il cedimento non drenato w sia nullo.0= / qz z n= z / B.

Figura 2 - Diagramma degli incrementi di tensione adimensionalizzato.

dove: λ : incremento di tensione adimensionalizzato rispetto al carico netto q q – γD; z n =ζ : profondità adimensionalizzata rispetto alla dimensione B della fondazione. Con tale legge a disposizione, una volta suddiviso il banco di terreno in vari strati, diventa possibile assegnare ad ogni strato un diverso incremento, letto appunto sul diagramma o in tabella (è il procedimento utilizzato nella precedente esercitazione). In genere, tuttavia, la necessità di suddividere il sottosuolo in vari strati non è tanto dovuta all’esigenza di seguire con precisione questa curva, quanto alla contingenza di studiare strati di terreno con moduli edometrici variabili. Nel caso in esame, invece, i dati disponibili suggeriscono che il terreno abbia un modulo edometrico costante. Di conseguenza, non vale la pena seguire “scrupolosamente” il diagramma.

Risulta dunque lecito linearizzare la curva, a partire dal punto (1;0) sul grafico adimensionalizzato4 (corrispondente ad una Δσ = q ), fino al punto (0;2). Sulla retta così ottenuta, si può individuare il z n 4 La scelta di tale punto discende dalla considerazione che gli effetti del carico sul piano limite si estinguono ad una profondità z assimilabile a 2B. Perciò il valore di ζ = z/B risulta pari a 2. valore che λ assume in corrispondenza del baricentro dello strato, situato alla profondità ζ = 1 (o, in altre parole, alla metà della profondità della fondazione).