Appunti/Progetto Fondazione e Iterazione Terreno

B

ζ ∙ tan φ'

=1+ =1,05

q d

L N

B q

ζ ∙

=1+ =1,06

c L N c

2 Con una riduzione dell’angolo d’attrito di meno di 6° (da 33° a 27,45°) i coefficienti di carico limite risultano

praticamente dimezzati, a conferma del fatto che una piccola variazione di φ’ determina notevoli variazioni del carico

limite. Ciò è dovuto alla struttura esponenziale delle relazioni che legano l’angolo d’attrito a tali coefficienti.

B

ζ ∙

=1−0,4 =0,96

γ L

Il sovraccarico:

' 2

(1)

q D=1,5 ∙3=4,5 t

=γ /m

0 sat

Poiché il calcolo è in tensioni efficaci, nel terzo termine si utilizza:

' 3

(2)

γ t

=γ −γ =1,80−1,00=0,80 /m

sat w

Dunque: B 1,5

' ' 2

lim q ζ N γ ζ 4,5∙ 1,05+15,44 ∙ 0,80 ∙ ∙ 0,96=65,48+8,89 t/m

¿=N + =13,86∙ ≅74

q 0 q γ γ

2 2

q ¿

In termini di forze:

lim ∙ B ∙ L=74 ∙ 1,5 ∙15=1665 t

¿ k

lim ¿ =q ¿

Q ¿

E dunque:

Q 1665

k

lim ¿ t

= =925

γ 1,8

R R =¿

d

Il carico agente di progetto (calcolato in precedenza) risulta:

E t

=1024

d

La verifica secondo il D.M. 14.01.2008 impone che:

E ≤ R

d d

o, equivalentemente, scritto in forma di rapporto:

R d ≥ 1

E d

Nel caso in esame

R 925

d , 90<1

= =0

E 1024

d

Pertanto la verifica risulta NON soddisfatta.

Si supponga di aver seguito l’approccio DA2, e cioè di aver verificato la capacità portante della

trave di fondazione. Il passo successivo è il calcolo dei cedimenti.

2. CALCOLO DEI CEDIMENTI

Si è in presenza di un terreno a grana grossa. In tali terreni, non è possibile operare una distinzione

temporale tra il cedimento distorsionale w ed il cedimento volumetrico w . Esistono 4 metodi, di

0 C

natura sostanzialmente empirica, che consentono il calcolo dei cedimenti in tale tipologia di terreni:

- Estensione del metodo di Terzaghi riguardante i terreni a grana fine

- Metodo di Schmertmann

- Metodo di Terzaghi e Peck

- Metodo di Burland e Burbidge

Come evidenziato, il primo di essi è stato “pensato” per terreni a grana fine. Dunque, poiché per

terreni a grana grossa non è possibile disporre di una prova di compressione edometrica di

laboratorio su campione indisturbato, il metodo assume un carattere fortemente empirico. Non è

possibile portare in conto la dipendenza di E dallo stato tensionale. La conseguenza operativa è

ed

che la fase di calcolo delle tensioni geostatiche preesistenti diviene priva di senso, e quindi

scompare. I valori del modulo edometrico vengono correlati ai risultati di prove meccaniche in sito.

Si noti che, evidentemente, in assenza di prova edometrica, non è possibile valutare il grado di

sovraconsolidazione del terreno. Nel prosieguo si effettuerà il calcolo mediante questo metodo.

3

Il cedimento finale risulta :

∑ i

w w

=w =w =

f c ed ed

L’aliquota di cedimento riferita allo strato i-esimo:

'

∆σ

i z

w ∆ z

=

ed i

E ed

Per quanto riguarda gli incrementi di tensione verticale efficace, il diagramma che fornisce la legge

di tali incrementi al variare della profondità (molto spesso espressi mediante grandezze

adimensionalizzate e tabellati), deriva dalla teoria del semispazio linearmente elastico, ed ha

solitamente un aspetto simile a quello riportato nella figura seguente (Fig.2):

3 L’ipotesi formulata da Terzaghi di condizioni edometriche (ε = ε = 0), unita alla definizione di condizioni non

x y

drenate (ΔV/V = 0), comporta che il cedimento non drenato w sia nullo.

0

= / q

z z n

= z / B

Figura 2 - Diagramma degli incrementi di tensione adimensionalizzato.

dove:

λ : incremento di tensione adimensionalizzato rispetto al carico netto q q – γD;

z n =

ζ : profondità adimensionalizzata rispetto alla dimensione B della fondazione.

Con tale legge a disposizione, una volta suddiviso il banco di terreno in vari strati, diventa possibile

assegnare ad ogni strato un diverso incremento, letto appunto sul diagramma o in tabella (è il

procedimento utilizzato nella precedente esercitazione). In genere, tuttavia, la necessità di

suddividere il sottosuolo in vari strati non è tanto dovuta all’esigenza di seguire con precisione

questa curva, quanto alla contingenza di studiare strati di terreno con moduli edometrici variabili.

Nel caso in esame, invece, i dati disponibili suggeriscono che il terreno abbia un modulo

edometrico costante. Di conseguenza, non vale la pena seguire “scrupolosamente” il diagramma.

Risulta dunque lecito linearizzare la curva, a partire dal punto (1;0) sul grafico adimensionalizzato

4

(corrispondente ad una Δσ = q ), fino al punto (0;2). Sulla retta così ottenuta, si può individuare il

z n

4 La scelta di tale punto discende dalla considerazione che gli effetti del carico sul piano limite si estinguono ad una

profondità z assimilabile a 2B. Perciò il valore di ζ = z/B risulta pari a 2.

valore che λ assume in corrispondenza del baricentro dello strato, situato alla profondità ζ = 1 (o, in

z

termini dimensionali, z = B). Tale valore risulta evidentemente pari a λ = 0,5 ( cioè Δσ = 0,5 q ).

z z n

In Figura 3 si riportano in forma grafica le considerazioni appena fatte.

= / q z

z z n

0,5 1 0,5 q q

n n

1 B

2 2B

z

= z / B

Figura 3 - Diagramma degli incrementi di tensione (in termini dimensionali ed adimensionali) linearizzato.

Dunque, in quest’ottica estremamente semplificata, quella che prima era una sommatoria, risulta

esprimibile come un unico termine:

' '

∆ σ ∆ σ

∑ ∑

i z z

w w ∆ z ≡ ∆z

= =

ed ed i

E E

ed ed

Nella quale Δz è lo spessore del “monostrato” di terreno considerato, e quindi:

∆ z=2 B

Inoltre l’incremento di tensione nel baricentro, come visto, risulta:

∆ σ ' ∙q

=0,5

z n

dove: V 890 2

(1) (1)

q D= D= ∙3=35,05 t

=q−γ −γ −1,5 /m

n sat sat

B∙ L 1,5 ∙ 15 2 2

Considerando che il modulo edometrico E è costante e pari a 500 kg/cm , cioè 5000 t/m , si ha:

ed

'

∆ σ 0,5 q q 35,05

z n n

w ∆ z≡ ∙ 2 B= ∙ B= ∙ 1,5=0,0105 m=1,05 cm cm

=w = ≅1

f ed E E E 5000

ed ed ed

L’ordine di grandezza del cedimento assoluto è quindi di 1 cm.

A questo punto, bisogna conoscere il cedimento differenziale. A tal fine, si impiega un diagramma

prodotto da Bjerrum (Figura 4) su base empirica.

Figura 4 - Correlazione statistica tra il massimo cedimento assoluto ed il massimo cedimento differenziale.

Il diagramma è stato ottenuto a partire da coppie di valori di w e δ osservate su edifici in vera

max max

grandezza. Le linee riportate rappresentano l’inviluppo dei dati relativi a edifici su terreni incoerenti

e su argille; per quest’ultimo caso, distinguendo fra edifici e manufatti con struttura rigida e con

struttura flessibile. Il diagramma fornisce una semplice, ma utile informazione: per un certo edificio

in progetto, per il quale è stato calcolato un cedimento w, il cedimento differenziale che si ottiene

dalla curva inviluppo relativa alla situazione in esame rappresenta il massimo valore di δ che ci si

può attendere, sulla base dell’ esperienza finora accumulata. Si ottiene quindi una stima del limite

superiore del cedimento differenziale atteso.

Come si vede, nei terreni incoerenti i cedimenti sono minori in valore assoluto, ma i cedimenti

differenziali sono proporzionalmente più elevati. In particolare risulta che:

δ w

≅

max max

Dunque, nel caso in esame:

δ w cm

≅ =1

max max

Una volta ottenuto il cedimento differenziale, esistono diversi criteri di ammissibilità per stabilire se

tale valore di δ è tollerabile dalla struttura in elevazione. Tali criteri possono riferirsi a vari

max

parametri geometrici caratterizzanti la deformata di una fondazione (Figura 5).

Grandezze cinematiche

significative:

w = cedimento assoluto

δ = cedimento differenziale

∆ = inflessione = w - w

rigido

∆/L = curvatura (o rapporto di inflessione)

β = ∂∆/ ∂x = distorsione angolare

(o rotazione relativa)

Figura 5 - Definizione dei parametri geometrici caratterizzanti la deformata di una fondazione.

In genere, quale parametro di riferimento, si utilizza la distorsione angolare β.

E’ evidente che a parità di cedimento, il valore di β è tanto più grande (e quindi pericoloso per la

struttura), quanto più piccola è la luce della trave. Quindi, ad esempio, se il cedimento differenziale

massimo valutato si verifica tra due pilastri vicini, ci possono essere problemi. Quanto più essi sono

lontani, tanto minori saranno gli effetti sulla struttura (in termini di sollecitazioni “parassite”).

Nel caso in esame (Fig. 1), considerando i punti di applicazione delle forze concentrate come

posizioni dei pilastri, la situazione più sfavorevole si verificherebbe se il cedimento differenziale si

realizzasse tra il primo ed il secondo a partire da destra (o, data la simmetria dei carichi, tra il primo

ed il secondo a partire da destra), poiché la luce risulta essere più piccola. In particolare:

L m=300 cm

=L =L =3

min AB CD

5

E quindi :

δ 1

max

β = =

max L 300

min

Questo valore corrisponde proprio alla soglia massima di ammissibilità (secondo Skempton e

McDonald, per strutture intelaiate) affinché non si abbiano danni ai tompagni, oltre che alle

strutture (Tab. 1).

5A rigore la rotazione relativa (o distorsione angolare) è definita puntualmente come ∂Δ/∂x, intendendo per Δ

l’inflessione della struttura di fondazione. L’inflessione non porta in conto l’aliquota rigida della deformata. Il

cedimento differenziale tra due punti porta invece in conto anche tale contributo. Il massimo cedimento differenziale è

sempre maggiore della massima inflessione. Inoltre il rapporto considerato ha al denominatore una luce, quindi si

avvicina di più alla definizione di curvatura che a quella di rotazione relativa. β

Valori ammissibili di

Skempton Polshin e

Struttura Tipo di danno e Meyerhof Bjerrum

Tokar