Preparazione all'esame di Analisi 2

Esercizio 2

γ(t) = (3sen t, t, 2+3cos t) t ∈ [0, 2π]

Versore della tg in un suo punto.

P(t)

P(t)= (t₀) + t−t₀ T(t₀) t₀ ∈ [0, 2π] retta

Ad esempio pongo t₀= π/2

P(π/2) = (3, π/2, 2) + (0, -4, -3) (t−π/2) = (3, π/2, 2) + (0, -4t, -3t) − (0, 2π, + 3π) = (3, 4(π/2), 2-3t+3π)

retta t₀

Integrale curvilineo (I specie)

∫γf 1 = ∫₀^2π [3sen t (1) (t 2+3cos t) - 5 dt + 60 ∫₀^2π (2tsen t + 3t²cos t) dt - 60 ∫₀^2π (2tsen t dt + 3tsup>2tcos t) + 4 ∫₀^2π cost dt + 500[ -

[170 (-3t) + 0] + [-9π + 0] - 2L0π - 90π = -330π

Esercizio 2

Consideriamo la regione D:

• (x,y,z) ∈ ℝ³
• x² + y² + z² ≤ 5
• (x-1)² + y² + z² ≥ 3

Scrivere una parametrizzazione di ∂D, forse un disegno qualitiativo.

• ∂D = S₂ ∪ Sᵤ₅

S₁: (y,z) ∈ D √(√y²+z²) - y - z² y,z

S₂: (y,z) ∈ D √(√y²+z²) - y - z² y,z

Con x proiezione di S₁, S₂ sul piano y,z.

Per determinando consideriamo l'intersezione sfera-cubo.

x² + y² + z² = 9

√(y² + z²) = 5/3

x = y - z²

⇒ O proiezione e la circonferenza centro (0,0) e raggio 5/3

• D* = {(y,z) ∈ ℝ¹: √(y² - z²) ≤ 5/3}

Utiliamo ci viene chiesto una parametrizzazione di S¹, Sₜ

• Sₗ = σ_z(y,z) = ^{√(√y²+z²)} _y,z ∈ D
• Sₜ = σ_z(y,z) = √(√y²+z²) ^y,z ∈ D*

Ora al completo.

Perché c'è parametrizza viene chiesto di determinare una funzione σ.

Vettore verticello distante (nei punti regolai): (senso non intersec di S₁,S₂)

S₁:

N_y(x,y,z) = ¹/₃ ^(√(√3)/_√3

N_2x(x,y,z) = ¹/_√y²+z² ^x,y,z

Nota questa formule appco portano per orteseme

±(-¹/_√y²+z² ^{√(√y²+z²)}₀)

Diviso!

_(τα)

• Esercizio 1

H(x,y) = (1/(1+xy) - xy, x/(1+xy))

• Determinare se è irrotazionale:

∂F2/∂x = (1+xy) - (-xy)_-2

∂F1/∂y = -(1+xy)_-2

=> ∂F2/∂x = ∂F1/∂y => è irrotazionale

• Determinare se il campo è conservativo ed eventualmente calcolare il potenziale nel dominio:

Dom(F) = (x,y) ∈ R² | xy ≠ 1, ∀1 ± y

Tale dominio è un'unione di insiemi connessi; per le ipotesi semplicemente concavo.

⇒ Dom(F) semplicemente connesso.

U(x,y) = ∫ F1(x,y) dx - ∫ y/(1+xy) dx = ⌠1/1+xy + C'(y) ∫ x/(1+xy) = log|1+xy| + C'(y)

∂U/∂y = x/1+xy = C'(y) ⇔ C'(y)=0 ⇔ C(y)=c, c∈R

=> potenziale U(x,y) = log|1+xy| + c, c ∈ R

in particolare, se C = 0 => U(x,y) = log|1+xy|

• Considera la curva τ(t)=(cos(t),sen(t)) t∈[0, 1/2] (⇒ arco circolare) Calcolare l'integrale curvilineo (I tipo) del campo vettoriale F.

Potrei calcolare tramite la formula, ma una soluzione elegante è quella di usare il potenziale appena trovato.

Prego voi dico che τ(t) giri tutto in una delle 3 regioni del dominio (che τ(t) non interseca y = 1/x)

⇒ Posso procedere

∫F · dτ = U(τ(1/2)) - U(τ(0)) = U(0,2) - U(1,0) = 1 - 0 - 0 - ◯

Esercizio 6

paraboloide iperbolico

ellissoide

D:_∫(x,y,z)

y² + z² < 5 + x²

(x² + y² + z² < 25)

Parametrizzazione ∂D e disegno qualitativo

Intersez. paraboloide iperbolico

• y² + z² = 5 + x²
• y² + z² = 25 <=> z0:
• x ± 2.5

∂D: S₁ ∪ S₂

Parametrizzazione S₁

σ₁(x,θ) =

• (x, √(25-x²) cos(θ), √(25-x²) sin(θ))
• Intersec. ellissoide con x
• y=0 => x²
• 2 ≤ x ≤ 5/√2, θ ∈ [0,2π]

Parametrizzazione S₂

σ₂(x,θ) =

• (x, √5 + x² cos(θ), √5 + x² sin(θ))
• |x| ≤ √2, θ ∈ [0,2π]

Determinare il vettor normale uscente in un punto di intersez

N(^5/2,0.0) = (1,0,0)

elementi:

M(^5/2,0,0).σ₁(x,0,0).σ₂(x,0,0)

Determinare il volume di D

Vol(D) = ∫∫∫ dx dy dz = 2 ∫ dx

• dx ∫ dy dz + ∫ π/4^π ∫
  • 5 + x² dx
• -Z ∫^5/√2 2 ∫ 0 Z ∫ π
• ^π (5 + x² dx) = 30π