Preparazione all'esame di Fisica 2

Campo magnetico :

a) generato da un filo conduttore rettilineo infinito

B = ₀ I / 2 r

• ₀ = costante di permeabilità magnetica nel vuoto
• I = corrente che passa nel filo
• r = distanza tra un punto e il filo

B = ∫d = ∫₀I / 4 ∫ d × r / r³

|d| = ₀I / 4 ∫ d × r / r³ = ₀ I d sin / 4 c²

• = arco di => d = dd / cos
• dB = ₀ I / 4 ∫ d / cos² sin cos / c²

dB = ₀ I / 4 d_l cos / a

B = ∫ ₀ I / 4 a cos d = ₀ I / 4 cos d = ₀ I / 4 _a

• cos = R /
• = R² + z²

dB = ₀ I / 4 d_s / r²

dB = 2 dB cos = 2 ₀ I / 4 d_s / r² cos

dB = ₀ I / 2 R² d / r³ B₂ = ₀ I / 2 R² / r³ ∫ d

B = ₀ I / 2 R²π / r³

B = ₀ mm / 2 z³

Campo Magnetico:

a) Generato da un filo conduttore rettilineo infinito

B = ₀I / 2 r

• ₀ = costante di permeabilità magnetica nel vuoto (4 10^-7 Tm/A)
• I = corrente che passa nel filo
• r = distanza tra un punto e il filo

B = ∫ ₀I / 4∫ . de x r / r³

|dB| = ₀I / 4∫ . dp x r / r² = ₀I dl . sen / 4∫ r²

l: arcoad => de = d_{cos2 l}

dB = ₀I / 4∫ . dl . cos /

B = ∫ ₀I / 4 ∫ , ∫ cos dd

dd = ₀I / 4∫ .

b) Generato da una spira sul suo asse

dB = ₀I / 4∫ . ds x r / r³

ds x r = ds . r. sen 1

dB₂ = ₀I / 4∫ . R² d / r³

B₂ = ₀I / 2∫ .

B = ₀I / 2∫ . R² /

B = ₀ m^m / 2∫ z³

FORZA di LORENTZ

Ipòtezziamo di avere un circuito percorso da corrente stazionaria I e individuiamo su di esso un pezzetto con dℓ. Se avviciniamo un'altro circuito percorso da corrente a questo notiamo che estremi sono soggetti ad una forza che sarà proporzionale alla corrente I e alla lunghezza del filo dℓ. Inoltre questa forza avrà direzione ortogonale a dℓ. Dal momento che i circuiti percorsi da corrente generano campi di induzione magnetica la forza sarà data da:

d^→F = I d^→ℓ × ^→B

sappiamo che:

I·d^→ℓ = ^→J·d^→τ          d^→τ = ds·dℓ

I·d^→ℓ = ^→J·ds·dℓ = m q v_d ds dℓ           ponendo che dN = m ds dℓ

I·d^→ℓ = dN q v_d ^→

e quindi: d^→F = dN·q v_d × ^→B

Ipotezziando di avere nel circuito un unico portatore di corrente di carica q (quindi dN = 1) otteniamo la formula generale per calcolare la forza di Lorentz:

^→F = q ^→v × ^→B

dal momento che ^→F &lower;perp;> d^→ℓ, il lavoro di tale forza sarà sempre nullo.

CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA

^→B = ^→F ÷ q ^→v

[^→B] = \[\frac{Forza}{carica \cdot velocità}\] = \[\frac{[N]}{[C] \cdot [m/s]}\] =

= \[\frac{[N] · [s]}{[C]}\] = \[\frac{[V] [s]}{[m]}\] [V] =

= \[\frac{[Wb]}{[m²]} \] = [T] (Tesla)

Equazioni di Maxwell nel caso stazionario:

I ∇ \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}   \phi(\vec{E}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}   (divergenza del campo elettrico)

II ∇ \times \vec{E} = 0   \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0   (rotore campo elettrico)

III ∇ \cdot \vec{B} = 0   \phi(\vec{B}) = \int \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0   (divergenza del campo magnetico)

IV ∇ \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}   \int \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{conc.}   (rotore campo magnetico)

III equazione: Flusso del campo magnetico nullo

Essendo le linee di forza del campo B chiuse, si può dimostrare che, per qualunque superficie chiusa, vale che:∇ \cdot \vec{B} = 0 ovvero \phi(\vec{B}) = \int \vec{B} \cdot ds = 0

IV equazione: legge di Ampère per la circuitazione del campo magnetico

∇ \times \vec{B} = \int \vec{B} \cdot dl nel caso in cui ci troviamo davanti ad un sistema in cui un filo rettilineo percorso da corrente genera un campo magnetico, utilizzando Biot-Savart otteniamo che:

\int \vec{B} \cdot d\vec{e} = \int \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \cdot d\ell = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \cdot \int d\ell = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{conc.}

Questo risultato è valido qualunque sia il percorso considerato di campo magnetico.

Se si compiono N giri attorno al filo si ha che: \int \vec{B} \cdot d\vec{e} = N \cdot \mu_0 I

Enunciato: La circuitazione di B lungo una qualunque linea chiusa è pari alla corrente con cui la linea si conturna moltiplicata per μ₀.

LEGGE DI FARADAY HEINMANN LENZ

Ogni qual volta si verifica una variazione del flusso del campo magnetico si genera in un circuito una forza elettromotrice indotta pari a:

ε = f.e.m. = -dΦ(B)/dt

dove Φ(B) = ∫_SB⃗ ∙n̂ ds

(Faraday)

L'effetto della f.e.m. indotta deve sempre opporsi alla variazione del flusso. Per questo motivo ε = -dΦ(B)/dt

(Lenz)

CAMPO ELETTRICO INDOTTO

Se il circuito ha resistenza R avranno che

i = ε/R = -1/R ∙ dΦ(B)/dt

ε = -dΦ(B)/dt

inoltre

ε = -∮E⃗ ∙ dℓ⃗ = -dΦ(B)/dt = -d/dt ∫_SB⃗ ∙ ds⃗

da ciò ∫E⃗ ∙ dℓ⃗ = -d/dt ∫_SB⃗ ∙ ds⃗

La variazione del flusso del campo magnetico genera un campo elettrico indotto.

LEGGI DI MAXWELL FORMA GENERALE (caso non stazionario):

1. ∇⃗ ∙ E⃗ = ρ/ε₀

⇒ Φ_S(E⃗ ) = ∮E⃗ ∙ dS⃗ = Q_int/ε₀

(E⃗ è generato da cariche Q)

2. ∇⃗ ∙ B⃗ = 0

⇒ Φ_S(B⃗ ) = ∮B⃗ ∙ dS⃗ = 0

(Le linee di forza di B⃗ sono chiuse.)

3. ∇⃗ × E⃗ = -dB/dt

⇒ Λ_ℓ(E⃗ ) = ∮E⃗ ∙ dℓ⃗ = -d/dt ∫_SB⃗ ∙ ds⃗

(Il campo E⃗ è generato da una variazione di B⃗ )

oss. Nel caso stazionario non vi è variazione di B⃗ dunque dB/dt = 0 ⇒ ∇⃗ × E⃗ = 0

4. ∇⃗ × B⃗ = μ (J⃗_conc + ε₀ dE/dt)

⇒ Λ_ℓ(B⃗ ) = ∮B⃗ ∙ dℓ⃗ = μ (J_conc + ε₀ dE/dt)Φ(E⃗ )

oss. Nel caso stazionario dE/dt = 0 ⇒ Λ_ℓ(B⃗ ) = μ I_conc

Legge di Gauss per il campo elettrico (I legge di Maxwell)

Tr. Φ(E_t) = Q_int/Ɛ_o

dΦ(E_o) = E_o·dS = 1/4πƐ_o · Q/r² dS·cosθ =

= 1/4πƐ_o Q/r² r̂n̂ ·dS_m=

= Q/4πƐ_o ·dS_m/r²

dS_m/r² = dΩ

otteniamo: dΦ(E_o) = Q/4πƐ_o · dΩ

integrando: Φ(E_o) = ∫ Q/4πƐ_o dΩ = Q/4πƐ_o ∫ dΩ

= Q/4πƐ_o · 4π = Q/Ɛ_o

Legge di Gauss per il campo magnetico (II legge di Maxwell)

Tr. Φ(B̅) = 0

Effetto: non può esistere un monopolo magnetico.

Circolazione del campo elettrico (III legge di Maxwell)

Tr. Λ_e(E̅) = -d/dtΦ(B̅)

Conseguenze: Il campo elettrico è generato da variazioni di flusso del campo magnetico.

La II e la III non vanno dimostrate.