Preparazione all'esame di Campi Elettromagnetici 2

Intensità di corrente e densità superficiale

XI è uguale all'intensità di corrente che attraverserebbe il segmento AB se la corrente fosse concentrata sulla superficie con densità superficiale >?.

Nei metalli ad alta conducibilità, anche a frequenze dell'ordine dei MHz, lo spessore della pelle è talmente piccolo da permettere di considerare il campo di corrente come una lamina concentrata sulla superficie del conduttore. Inoltre, con uno spessore pelle infinitesimo, il campo magnetico va bruscamente a zero appena si attraversa la superficie del conduttore.

A ridosso della superficie: (1 O)@ >?[ + ×C X 2(* )9=ä = 0(1[ + O) ÖC C ma la componente tangenziale del campo elettrico/magnetico immediatamente all'esterno del conduttore è uguale a quella interna, quindi vale anche per × 9 = [ + O)@ * = 0C X

La potenza media dissipata per effetto Joule nello strato pellicolare in un elemento della superficie è uguale alla potenza

media che entra nel conduttore attraverso Δå Δå:& &|@ | |Ö |X CΔé = b Δå = [ Δå = [ Δå[ C C2 2 21Effetto pelle – generalizzazioneConsideriamo un corpo metallico qualsiasi supponendo che la frequenza sia tanto alta da assumereche:• spessore della pelle < tutte le dimensioni del corpo• spessore della pelle < più piccole distanze dove si vedono le variazioni del campo .@ XAllora, attorno ad un generico puntoP, si può pensare che il campo e ladensità di corrente siano come nelcaso unidimensionale; basta sostituire< >?nelle espressioni a e un’ascissa sè(con origine in P) a z.In questo caso si parla di effetto pelle spinto.Il campo di corrente può essere assimilato ad una lamina superficiale di densità< < dove è il campo magnetico immediatamente all’esterno del corpo.Ö = @ × è =@×è

Inoltre, campo elettrico e magnetico sulla faccia esterna soddisfano la condizione di Leontovic: (1< .è × 9 = [ + O)

La potenza media dissipata nel corpo conduttore vale: è = [ hà = [ hà∫ ∫[ C C] ]& &Conduttore perfetto

Se il metallo ha conducibilità molto elevata è possibile considerarlo come un conduttore ideale a conducibilità infinita, conduttore perfetto, dove: lim Ç = 0 lim [ = 0.CY→Z Y→I• Dato che lo spessore della pelle si annulla, il campo passa bruscamente da essere diverso da zero all'esterno ad essere uguale a zero all'interno del corpo metallico corpi metallici à impenetrabili dalle onde elettromagnetiche.• Dato che la resistenza di superficie si annulla, la condizione di Leontovic diventa la condizione di parete elettrica: il campo elettrico tangenziale alla superficie è × 9 = 0 à del conduttore perfetto è nullo.

22Dato che la velocità di fase non dipende dalla posizione, la distanza (in direzione normale) tra le superfici equifase è sempre la stessa. Le linee normali alle superfici vengono dette raggi e non sono altro che le linee di flusso del vettore di Poynting; i fasci di raggi costituiscono congruenze rettilinee normali. Inoltre la polarizzazione non cambia lungo lo stesso raggio. Possiamo quindi dire che utilizzare l'approssimazione dell'ottica geometrica (OG) significa studiare la propagazione tracciando i raggi e studiando l'andamento dell'ampiezza e della fase dei campi lungo di essi.

Variazione del campo lungo i raggi

Se si conosce il campo in un punto è possibile determinarlo lungo tutto il raggio che passa da quel punto. Consideriamo il fascio di raggi che attraversa un elemento di superficie attorno a P.

Ω

Dato che il fascio di raggi è un "tubo" di flusso del vettore di Poynting, la potenza che attraversa tutte le

sezioni è la stessa: potenza che attraversa = potenza che attraversa (punto Q spostato di d rispetto a P). Quindi: hΩ hΩ_ ` Ha /con fattore di divergenzab hΩ = b hΩ → b = è b è=_ _ ` ` ` `_ _ `_ Ha 0Dato che la densità di potenza è proporzionale anche al quadrato del modulo del campo:!1./ QH &B|9| |9|= Eè → 9 = 9 Eè 5 ritardo di faseZh = qh3,` `_ _ ` _ `_ R ,!1./ QH cammino otticoqh|@| |@|= Eè → @ = @ Eè 5 3,` `_ _ ` _ `_Il campo in un generico punto Q è ottenuto partendo dal valore del campo in P, da cui esce il raggio passante per Q. Se, però, non si rispettano le ipotesi di base, nell’approssimazione OG appare il fenomeno della diffrazione.L’approssimazione OG non è ammissibile quando la sezione del fascio intorno al raggio si annulla.I risultati dell’OG non sono accettabili in prossimità dicaustiche e fuochi. L’OG continua

piano xz piano di incidenza angolo di incidenza

L'onda incidente è rappresentata da: '(∙*$%&&'( -.$ = ) + + ) !" ∥," (+ ) − ' )" ∥ '(∙*$%&/= . !1!

con: ) )(=3( 9:2 sin(! + cos(!! !, ) )( ( ( 9:+ =2 × ' = −3 cos(! + sin(!! !A [E ) )](> 2 ∙ @ = C sin(θ + G cos(!! ! ! !B

componente normale campo elettrico nell'origine) " componente parallela campo elettrico nell'origine)

La relazione tra e determina la polarizzazione dell'onda.) )" ∥+ + ++ ++

Chiamiamo e i campi dell'onda riflessa e e i campi dell'onda trasmessa; sapendo che le$ / $ /componenti

tangenziali sono continue sull'interfaccia deve valere che:

+ ,++ -+ -++J + J = J J + J = J

- con eI G = 0 ∀E, O,+ ,++ -+ -++K + K = K K + K = K

-dove il campo nel mezzo 1 è dato dalla somma del campo incidente e del campo riflesso.

• L'ampiezza del campo incidente è costante su tutta l'interfaccia. [C• )]La fase dipende dalla coordinata x sin(! E + BPQRà ! !/(la costante rappresenta la fase di o a seconda della componente considerata)) )" ∥Perché si verifichino, anche il campo riflesso e il campo trasmesso devono avere lo stessoandamento sull'interfaccia.Onda riflessa +,′) ) )( ( 9:2 = 3 sin(! − cos(!∥+"+ '(+∙*$%&&'( -.$′ = ) + + ! ! !, ) )( ( ( 9:+′ = 2′ × ' = 3 cos(! + sin(!" """10 2 $3(2 ! !'(+∙*$%&# ∥/′ = . A! [E ) )](′> 2 ∙ @ = C sin(θ − G cos(!4 ! ! ! ! !B ( (L'onda

Riflessa si propaga parallela al piano di incidenza in direzione simmetrica a rispetto2′ 2all’asse z legge della riflessione.à 25

Onda trasmessa ∥" "", ++ ) )"++ '( ( ( 9:++ ++2 + $%& ∙* 2 = 3 sin(! + cos(!($ = &' ) + + -. % 5 5, ++ ++ ) )( ( ( 9:+ =2 × ' = −3 cos(! + sin(!,T ∥+++ "++ ()+ ) − ' ′ 5 5A$%& '(++∙*/′′ = . % [E ) )](> 2′′ ∙ @ = C sin(θ + G cos(!1 5 5 5 55 BAnche l’onda trasmessa è un’onda piana uniforme che si propaga parallelamente al piano di(incidenza secondo una direzione inclinata rispetto all’asse z di un angolo che deve soddisfare2′′ !5) ).la legge di Snell: C sin(! = C sin(!5 5 !