Preparazione all'esame di Campi Elettromagnetici 2

FONDAMENTI DI ONDE ELETTROMAGNETICHE

1 – Leggi e concetti fondamentali

Maxwell: l’interazione elettromagnetica è data da sollecitazioni prodotte nell’ambiente dagli stessi

corpi interagenti. Su basi fenomenologiche definì le leggi per il campo elettromagnetico notando

che, in condizioni dinamiche, le variazioni del campo si propagano a velocità della luce radiazione

à

luminosa di natura elettromagnetica.

Il campo elettromagnetico è definito dall’insieme dei vettori

E campo elettrico

H campo magnetico

D spostamento elettrico

B induzione magnetica

funzioni continue del tempo e quasi-ovunque continue della posizione.

Equazioni di Maxwell

!" rotore del campo magnetico

∇ × # = + &

!#

!$ rotore del campo elettrico

−∇ × ( = !# divergenza dello spostamento elettrico

∇∙*=+ divergenza dell’induzione magnetica

∇∙,=0

con densità di carica carica contenuta in un volume V

+ . = + 12

∫

% 5

con J densità di corrente intensità di corrente che attraversa la superficie

3 = & ∙ 4 16

∫

&

Lamine: distribuzioni stratiformi con spessore trascurabile.

densità di carica superficiale

+

'

J densità di corrente superficiale

s (tangente alla lamina)

carica localizzata

. = + 1∑

∫ '

∑ 5 corrente attraversa linea

3 = & ∙ 8 1Λ

∫ )

*

In corrispondenza della lamina (come delle superfici di discontinuità di un mezzo) il campo è

discontinuo e le equazioni di Maxwell diventano:

+ ,

(# ) componente tangenziale di H è discontinua e uguale alla densità di

:; × − # = & ' corrente ruotata di 90° in senso antiorario

+ ,

(( ) componente tangenziale di E è continua

:; × − ( = 0

+ ,

(* ) componente normale di D è discontinua e uguale alla densità di carica

:; ∙ − * = +

' superficiale

+ ,

(, ) componente normale di B è continua

:; ∙ − , = 0

Legge di Lorentz definisce il significato dei vettori campo elettrico (E) e induzione magnetica (B)

collegandoli alla forza agente sulle cariche in moto:

forza che agisce su un elemento di carica

1> = 1.[( + @ × ,] 1. 1

Le equazioni di Maxwell non contengono informazioni riguardo all’influenza del mezzo sul campo

elettromagnetico, che vengono date dalle equazioni costitutive. Le equazioni costitutive non hanno

una forma unica ma dipendono da come il mezzo si polarizza e conduce.

. . ,4

P polarizzazione elettrica,

* = B ( + C B = ≅ ∙ 10 F/H

- - "

/ 0 123

!

$ ,5

M polarizzazione magnetica,

#= −I J = 4L ∙ 10 M/H

-

/ !

La densità di corrente che appare nelle equazioni di Maxwell è formata da due componenti:

J corrente di conduzione (dipende dall’azione del campo sui portatori di

& = & + & c

0 - carica liberi esistenti nel mezzo)

J corrente impressa (dovuta al moto di cariche estranee al mezzo, no

0

equazione costitutiva ma dato del problema)

Caso particolare: il vuoto. Il vuoto non si polarizza né conduce, quindi le equazioni costitutive sono

semplici relazioni algebriche:

spostamento elettrico legato solo al campo elettrico

* = B (

-

$ campo magnetico legato solo all’induzione magnetica

#= / ! nessuna corrente di conduzione

& = 0

0

Le equazioni costitutive diventano semplici anche se:

• il mezzo è lineare, cioè l’intensità del campo non è troppo elevata

• il mezzo è stazionario, cioè se è immobile rispetto al sistema di osservazione, con parametri

(temperatura, sollecitazioni) costanti nel tempo

• il mezzo è isotropo, cioè la polarizzaizone e la conduzione non dipendono dalla direzione dei

vettori del campo

• il mezzo è non dispersivo nello spazio, cioè la polarizzazione e la densità di corrente

dipendono solo dal campo nel punto e non dal suo intorno.

Da adesso in poi consideriamo sempre mezzi lineari e stazionari:

costante dielettrica relativa

* = B B ( B

- 6 6

$ permeabilità magnetica relativa

#= J 6

/ /

! # conducibilità elettrica (Legge di Ohm)

& = N( N

0 Si possono usare anche quando il campo varia lentamente (trascuro le derivate, pag.6) mezzo

à

non dispersivo nel tempo (o senza memoria).

Il vuoto è l’unico mezzo che soddisfa rigorosamente le condizioni: è un mezzo lineare,

stazionario, isotropo, spazialmente e temporalmente no dispersivo.

Conduzione nel plasma freddo

Plasma: gas totalmente o parzialmente ionizzato. In condizione di equilibrio elettroni e ioni positivi

sono distribuiti in modo tale che si neutralizzino (+ Se il gas è immobile e l’agente ionizzante

= 0).

(temperatura, radiazione) non varia nel tempo, il plasma si comporta come un mezzo stazionario.

La conduzione nel plasma può essere modellizzata come il moto di due fluidi dotati di carica

(elettroni e ioni). Dato che sono dotati di carica il moto dipende da forze di pressione, di attrito ma

anche da forze elettromagnetiche; se la temperatura è bassa (plasma freddo) si può trascurare le

forze di pressione.

Supponiamo che l’andamento nel tempo sia oscillante cosicchè il flusso elettronico sia molto più

ampio che quello ionico (dato che gli ioni hanno massa molto maggiore) e quindi lo ionico si possa

trascurare. Supposizione accettabile per frequenze basse (1MHz) plasma a un solo componente.

à 2

v campo di velocità del fluido elettronico

densità degli elettroni

O = O + :

- N densità in equilibrio (dipende da r)

0

n perturbazione oscillante

,.4

carica elemento del fluido, carica elettrone

Δ. = −. OΔ2 . = 1,6 ∙ 10 S

7 7 ,1-

massa elemento del fluido, massa elettrone

ΔH = H OΔ2 H = 0,911 ∙ 10 UV

7 7

La velocità con cui si muove l’elemento coincide con il valore del campo di velocità nella

Δ2

posizione occupata dall’elemento: @ = @(W , X).

- -

Per la legge di Newton (F = HY):

89

ΔH ∙ = Δ.(( + @ × ,) − Z ΔH @

8# attrito viscoso (Z frequenza di collisione)

forza elettromagnetica

Dato che la velocità dipende dal tempo (anche la posizione dipende dal tempo) l’equazione diventa:

!9 !9 !9 !9 =

$ ((

[ + [ + [ + = − + @ × ,) − Z@

: ; <

!: !; !< !# > $

Se il campo ha intensità debole (cosicché oscillazione e velocità degli elettroni siano piccole) si

possono trascurare i prodotti:

!9 =

$

= − ( − Z@

!# > $

Calcoliamo ora la densità di corrente:

(O (trascurando le oscillazioni di piccola ampiezza)

& = −. O@ = −. + :)@ ≅ −. O @

0 7 7 - 7 -

B = /> F

!? CD

&

@A $ ! $ !

% con frequenza di plasma

+ Z& = \ B ( ] = = ≅ 8,97`O Ma

0 - @ -

!# A3 A3

Il plasma si comporta come un mezzo lineare, stazionario, isotropo, non dispersivo nello spazio

ma dispersivo nel tempo.

Conservazione della carica elettrica

Consideriamo un mezzo continuo in cui abbiamo densità di carica e densità di corrente

+ &.

Sapendo che la divergenza del rotore di un campo vettoriale è nulla, riprendiamo la formula del

rotore del campo magnetico e ne consideriamo la divergenza:

!" !" !G equazione di continuità

∇ × # = + & → 0 = ∇ ∙ + ∇ ∙ & → ∇ ∙ & = −

!# !# !#

La carica varia solo quando cioè quando il campo di corrente non è solenoidale. Se la

∇ ∙ & ≠ 0

carica è costante nel tempo (caso stazionario) la densità di corrente è solenoidale.

Consideriamo un volume V contenuto nel mezzo limitato da una

superficie S e integriamo l’equazione di continuità:

V e+ 1

d ∇ ∙ & 12 = − d 12 = − d + 12

eX 1X

% % %

Applichiamo il teorema della divergenza:

1 1.

5

d &∙4 16 = − d + 12 → 3 = −

% 1X 1X

& %

' 3

Questo vuol dire che la carica che decresce per unità di tempo in un certo spazio corrisponde alla

corrente uscente dal contorno legge di conservazione della carica elettrica: la carica non si crea

à

né si distrugge. Nel caso stazionario, quindi, la corrente è uguale in tutte le

sezioni del filo (circuiti in corrente alternata a frequenza

industriale) mentre nel caso dinamico può variare nelle

varie sezioni (linee di trasmissione operanti a

radiofrequenza, certi tipi di antenne).

Significato della frequenza di plasma

!? ! ∇∙?

@A @A

% (f divergenza in entrambi i membri

+ Z& = \ f ( → + Z ∇ ∙ & = \ ∇ ∙ ()

0 - -

!# !#

Dato che in tutti i gas, e quindi anche nel plasma, il vettore polarizzazione elettrica è

C = * − f (

-

(f

trascurabile rispetto a possiamo scrivere e l’equazione diventa:

f ( ∇ ∙ () = ∇ ∙ * = +

- -

( (

"

! G !G , K# , K#

@A (W)g (W)g con

+ Z + \ + = 0 → + = ] cos(ΩX) + ] sin(ΩX) Ω ≅ \

" "

. A @

"

!# !#

(W) (W)

e sono funzioni che dipendono dal valore iniziale di e dalla sua derivata prima; dove

] ] +

. A dipende dalla densità n degli elettroni in eccesso rispetto all’equilibrio N .

+ = −. : 0

7

Il risultato dell’equazione differenziale mostra quindi che la densità della carica elettrica tende

ad annullarsi per dopo un transitorio oscillante ad una frequenza circa uguale a quella di

n = 2/Z

plasma.

Conservazione dell’energia

Le forze elettromagnetiche compiono lavoro sulle cariche in moto. Il teorema di Poynting estende

la legge di conservazione dell’energia nel sistema campo-materia. 2

vettore di Poynting [W/m ]

p=(×# !" !$

5 teorema di Poynting [W]

− p ∙ 4 16 = q( ∙ +#∙ + ( ∙ &r 12

∫ ∫

%

& % !# !#

'

flusso del vettore di Poynting entrante attraverso il contorno S del volume considerato

V

Nel caso di un campo non continuo, il vettore di Poynting soddisfa la condizione

+ ,

(p )

5 con componente tangenziale del campo elettrico. Questo vuol dire

4 ∙ − p = −( ∙ & (

L ' L

che la componente normale del vettore di Poynting è continua ovunque tranne che in

corrispondenza di una lamina di corrente; se il volume contiene quindi una lamina di corrente su

una superficie va aggiunto all’integrale di destra il termine .

∑ ( ∙ & 1∑

∫ L '

∑

Scambio energetico con un fascio di particelle cariche nel vuoto

!" !$

Vogliamo trovare il significato fisico di .

q( ∙ + # ∙ + ( ∙ &r 12

∫

% !# !#

Consideriamo un fascio di particelle di densità in moto nel vuoto con velocità v densità di

+ à

-

corrente & = + @.

- -

Il lavoro della forza elettromagnetica sulle particelle che all’istante t attraversano l’elemento di

([ (+ ([

volume dV sarà: dove il

1> ∙ 1X) = 12)(( + @ × ,) ∙ 1X) = ( ∙ + @12 1X = ( ∙ & 12 1X

- - -

lavoro della forza magnetica è nullo in quanto @ × , ∙ @ = 0.

Su tutto il volume: ultimo termine dell’integrale sopra!

es = 1X ( ∙ & 12 à

∫

% 4

Per gli altri termini consideriamo le equazioni costitutive del vuoto:

!" !$ !M !N . !(M∙M) . !(N∙N)

( ∙ + # ∙ = f ( ∙ + J # ∙ = f + J

- - - -

!# !# !# !# A !# A !#

otteniamo quindi:

!" !$ 8Q . .

A A

con

q( ∙ +#∙ r 12 = t = q f u + J M r 12

∫ ∫ - -

% %

!# !# 8# A A

Se moltiplichiamo entrambi i membri del teorema di Poynting per dt otteniamo:

!" !$

5 5

1X v− p ∙ 4 16 w = 1X v= q( ∙ +#∙ + ( ∙ &r 12 w → −1t = es + 1X p ∙ 4 16

∫ ∫ ∫

% %

& % &

!# !#

' '

U dipende dal tempo attraverso il valore che i campi (elettrico e magnetico) assumono all’istante

t nel volume V energia elettromagnetica (energia del campo presente nel volume V).

à 5

−1t = es + 1X d p ∙ 4 16

%

& Energia elettromagnetica che

' abbandona il volume attraverso

il contorno (Poynting)

Decremento Energia trasferita

energia al sistema di

elettromagnetica particelle (lavoro)

L’energia elettromagnetica nel vuoto è quindi distribuita nello spazio con densità:

1 1

A A

(W,

x(W, X) = f u X) + J M (W, X)

- -

2 2

Dissipazione per effetto Joule

Consideriamo che il volume V sia occupato da un conduttore (conducibilità attraversato da

N)

corrente continua e mantenuto a temperatura costante. Dato che il campo non dipende dal tempo,

le derivate temporali di D (spostamento elettrico) e B (induzione magnetica) sono nulle e la legge di

Ohm vale ( = &/N. "

? S potenza Q dissipata nel conduttore per effetto Joule

( ∙ & 12 = ∙ & 12 = 12

∫ ∫ ∫ J

% 0TU8 0TU8

R R !" !$

5 5

1X v− p ∙ 4 16 w = 1X v= q( ∙ + # ∙ + ( ∙ &r 12 w → −1X p ∙ 4 16 = y 1X

∫ ∫ ∫

% % S

& % &

!# !#

' '

Bilancio fra l’energia elettromagnetica entrante e l’energia termica uscente dal volume nel range di

tempo dt.

Caso conduttore cilindrico: Il campo elettrico interno è uniforme e

longitudinale, come la densità di corrente.

Immediatamente all’esterno il campo

+

elettrico (E ) ha componente tangenziale

come il campo interno e componente

normale diversa da zero.

Il campo magnetico, invece, giace sul piano

trasversale al filo.

Ne consegue che il flusso del vettore di Poynting provenga dall’esterno e penetra nel

p = ( × #

conduttore in direzione radiale. Dato che il flusso di S è negativo, la potenza elettromagnetica

entrante è positiva. 5

Per la teoria dell’elettromagnetismo, l’energia dissipata nel filo non è trasmessa dalla corrente

ma arriva dall’esterno attraverso il mezzo circostante.

Bilancio energetico in un mezzo senza memoria

$

Valgono le equazioni: * = f f ( # = & = N(

- 6 0

/ /

! # . .

A A

(W,

5

Quindi si ottiene: con

−1t = y 1X + 1X p ∙ 4 16 x(W, X) = f f u X) + J J M (W, X)

∫

S % - 6 - 6

& A A

'

Bilanciamento energetico in un dielettrico polare con memoria

Valgono le equazioni: , = J# & = 0 V !Y .

mentre il campo elettrico segue l’equazione differenziale ( = + C.

W X !# W X

! $ ! $

5

Quindi si ottiene: con:

−1t = y 1X + 1X p ∙ 4 16

∫

8 %

& '

A

V !Y

• perdita dielettrica, potenza dissipata nel mezzo

y = z z 12

∫

8 % W X !#

! $ diversa da zero solo in condizioni dinamiche

"

Z . .

A A

• energia, dipende da E, da H e anche da P

t = q + f u + J M r 12

∫ - -

% AW X A A

! $

Gli esempi ci fanno capire che il teorema di Poynting va interpretato caso per caso dopo aver

definito le equazioni costitutive del mezzo.

Dato che il vettore di Poynting è la densità di potenza trasportata, la potenza elettromagnetica

transitante nel verso positivo attraverso una superficie (non necessariamente chiusa) è

Ω

5 .

{ = p ∙ 4 1Ω

∫

[

Onde piane uniformi nel vuoto

Onda: propagazione nello spazio delle variazioni temporali di un campo. Il caso più semplice sono

le onde che si propagano nel vuoto, nelle quali il campo assume lo stesso valore in tutti i punti di

tutti i piani perpendicolari alla direzione di propagazione (consideriamo l’asse z) onda piana

à

uniforme. spostamento elettrico

* = f (

- induzione magnetica

, = J #

-

Nuove equazioni di Maxwell:

!M !N

rotore c. magnetico rotore c. elettrico

∇ × # = f −∇ × ( = J

- -

!# !#

divergenza c. elettrico divergenza c. magnetico

∇∙(=0 ∇∙#=0

Espandiamo in coordinate cartesiane sapendo che le derivate rispetto a x e y sono nulle: 6

Si nota che si possono dividere le equazioni in quattro sistemi:

hanno forma:

!\ !]

− = f E H caso (a)

- x y

!< !# E -H caso (b)

!] !\

− = J y x

-

!< !#

campi costanti nel tempo e nello

spazio

Derivando la prima rispetto a t, la seconda rispetto a z ed eliminando la derivata mista otteniamo:

" "

! ] . ! ] . ^

equazione delle onde velocità della luce

− = 0 |= ≅ 3 ∙ 10 H/~

" " "

!< 0 !# W /

C ! !

La soluzione dell’equazione delle onde è:

con f e g funzioni continue arbitrarie

u = ](a − |X) + V(a + |X)

e valgono le relazioni:

!_(<,0#) !_(<,0#) !`(<+0#) !`(<+0#)

e

= −| =|

!# !< !# !<

Se sostituiamo la soluzione delle onde nelle espressioni dei sistemi (a) e (b) e usiamo le relazioni

appena scritte, otteniamo:

! _(<,0#) `(<+0#)

vM − + w=0 _(<,0#) `(<+0#) . /

!< a a !

! ! con

M= − • = J | = =Ä ≅ 377Ω

- -

! _(<,0#) `(<+0#) a a W 0 W

vM − + w=0 ! ! ! !

!# a a impedenza caratteristica del vuoto

! !

quindi anche il campo magnetico è costituito da due onde che si propagano in verso opposto.

Primo caso:

onda pol. linearmente secondo x

(] = 0)

;