Più di 60 esercizi svolti di analisi matematica 2_equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

1. pag 424 Esempio 10.1

Trovare le soluzioni di: y' = -7y

Tutte le soluzioni sono del tipo: y(x) = Ce^α(x) = Ce^-7x

1. pag 426 Esempio 10.2

y' = -8y + 3 in R

Equazione associata: y' = -8y ==> y(x) = Ce^-8x

Metodo variazione della cost.: y(x) = K(x)e^-8x

y' = -8y + 3 →

K(x)e^-8x + K(x)e^-8x (-8) = (9)

L'(x) = 3^9e3x (integrando):

∫(K(x)dx = ∫e^8xdx)

K(x) = (3/8)e^8x dx = 3 · 1^8x

Tutte le soluzioni sono: y(x) = 3/8 + Ce^-8x con C ∈ R

@ pag 425 Esempio 10.3

y' = 2xy + x² in R

y' = a(x)y + b(x)

• a(x) = 2x
• A(x) = x²
• b(x)= x²

equazione associata: y' = 2xy con φ(x) = C e^x2

Metodo variazione della con:

y̅ = k(x)e^x2 sostituendo:

k'(x)e^x2 k(x)e^x2 2x - 2x (k(x)e^x2) + x² k'(x) = x² + k'(x) - x²e^-x2

integrando: ∫ k'(x) dx = ∫ ^x2 x^-x2 dx ⇒ k(x) = ∫ x^-x2 dx poichè non si può

esprimere K in termini di funzioni semplici.

@ pag 428 Esempio 10.4

y' = 3y + t x + 8x² - x + 1 in R

y' = a(x)y + b(x)

• a(x)= 3
• b(x)= + x² - x + 1
• A(x)= 3x

y̅ = a x³ + b x² + cx + d sostituendo:

3 ax² + eb x + c = 3gx + 3bx² + 3cx + 3d + 4 x² + 4x² x + 1 =

(3a+4)x³ + (3b+2-3a)x² + (3c - 1 -2b) x + (3d + 1 -c) = 0

L'equazione si verifica f x < =>

• 3a + 4 = 0
• 3b + 2 - 3a = 0
• 3c - 1 - 2b = 0
• 3d + 1 -c = 0

Quindi: y̅ = -x³ - x² - x -₂ /₃ soluzione di y̅ = 3y + 4x² + x + 1

Integrando y̅ = -x³ - x² - x -₂ /₃ + Ce^3x con C ϵ R

Determinare l'integrale generale delle seguenti eq. omogenee:

y' = 3xy

• a(x) = 3x
• y(x) = Ce^x2

y' = 2xy

• a(x) = 2x
• y(x) = Ce^x2

y' = (x-1)² y

• a(x) = x^-1
• A(x) = ∫ x^-1 dx = log x

y' = cos x y

• a(x) = cos x
• y(x) = Ce^{sen x}

y' = -e^x y

• a(x) = -e^x
• y(x) = Ce^-ex

y' = ex x² y

• a(x) = 2x
• y(x) = Ce^x2

y' = (-tanx) y

• a(x) = -tanx
• A(x) = -log(cosx)

avugura geogia: y^'' - 2y = y

y(x) = Ce^log(x)1/x

d:x^-2

y_y = k(x)e^logx1/x

d:^1/x2 k(x)

logx^1/x:

d:detenuto:

k^(x) + d(x^-2)

= 2(

_x² (k(x)^1/x - 2 (k(x) - 2 b(x)) + 3x e^x x²

d:tve:

m(x) = w^fxt

intepondo:

m(x)

iftk)dx =

w

(^fx) + dx

d

= e_-cosx + C_x^1/x3: - 3 m(x) - 1 = 4^1/x = x = e^t

4

m_y=xe^xtcdx

(1

- (cut)

- 1 cos4^x 1^-flan

x_-4(cx)

x₄

2

• x³ =- 1 - e^{cosx + C}
• 1_+cos4
• q(-1 -
• 4c+^x2

x

x₂

d: detange

Determinare risalequesti dell'sperimentali non unugiare

e' - 3y =1

a(x)=3

A(x)=3x

b(x)=1

o.a: y^-sy:

y(x)= Ce^8x

- d:^1/x-2ke^8x

: 8'

:3^k

e^8x =k

3^-88x:

)= e^-8x)

: ^_1/x

e^tx8x

lo(x)=1^0e-8x^8xd:^*x

d^ext: -3

8⁺

-1

.p

y(x)= -1. - e^-8x

3

g(x) = - (x² + e^x)

(g(x) = - ^{{(x2 + ex)}}/(2x) - e^x - (- (x² + e^x))² + cex

g = (x² - ^{{(x2 + ex)} - ex)}

b(x) = a^{{(x)2} 1}/(x)

a = 0 ⇒ ]0;+∞ 0 -2x + c = log |a|

... 0, δ = b(x) log

f(x) = (x² - e^x), x², x - e^x

(2)

∫8cos²xdx = ∫(8cosx₊cosx)dx

∫cos²xdx = x - ∫(8/8)dx

= x - x

y = exp x₂₀₀ x₈₀₀

= exp x₈₀₀ - exp

= exp

φ(x) = ∫(8cosx+ x)dx = ∫(8cosx + x) dx - ∫(cos²x)dx

φ(x) = 1/2cosx[(8cosx + x) + c] ∫

= 1/2(8cosx + x + c)

= [8cosx + x + c] / 4

cosx

= 1/2(8cosx + x + c)

x''y' + 3x²cosx = a(x) y' + b(x) ;

a(x) = x;

A(x) = ∫ 1/x dx = ∫ 1/x dx = log|x| = log(x)² ;

y'' = 3x² ;

o.a: y' = dy ; y' = dy ==> y(x) = ∫ e^log(x)² = Cx² = Cx²

y'' = b(x)

y = k(x)

y'' = 3e^uxx²

y(x) = 3e^uxx² + Cx²

∫(1ⁿ) = 3n²+ C1 = 8n³

r(x) = 3x²-2eu^ux-3e^(1-x)

y(x) = x(2e^ux+3e^ux)

m

e^-cosxy + ∫e^uxcosx

a(x) = -cosx A(x) = -e^ux

o.a: y' - (cosx)^2 ==> y(x) = C∫(e^-e)

e^ux + ∫(e^-ux) ∫(-cosx) = cos x · f(x) ∫(e^ux-suinx) +e^cosx+e^ux

dx = ∫(cosx) dx = e^ux - (e^ux) ∫(cosx) dx = e^ux-∫(-cosx)dx =e^ux

e^ux - (e^ux)-e^ux-e^ux

y(a)=-1+C = 0 C =1 y(x)=e^ux-1+Ce^-eux