Funzioni di più variabili

Intorno sferico o circolare

B_ε(x₀) = {x ∈ R^m : |x-x₀| < ε}

x ∈ R^m

Punto interno

x₀ ∈ X

Esiste B_r(x₀) t.c. B_r(x₀) ⊂ X

Punto esterno

x₀ interno a X^c (complementare di X)

Punto di frontiera

x₀ non interno e non esterno

∂X frontiera di X

X insieme aperto

⇔ ogni x ∈ X è p.to interno

Chiuso

X^c = aperto

Limitato

Esiste M > 0 t.c. |x| ≤ M ∀ x ∈ X (contenuto in un intorno circolare dell'origine)

Compatto

Chiuso e limitato

Convesso

∀ x, y ∈ X il segmento {(1-t)x + ty, 0 ≤ t ≤ 1} è incluso in X

Esempi :

• Insieme convesso
• Insieme non convesso

Differenziale di funzioni

DEF. df(x)(h) = df_x(h) = (Df(x), h) = ∑_i=1^m f_xi(x) h_i =

= ∑_i=1^m f_xi(x) dx_i

   caso m=2     f_x(x,y) dx + f_y(x,y) dy

ESEMPI

1. f(x,y) = x² + y². Differenziale: 2x dx + 2y dy.
2. f(x,y) = x² - xy. Differenziale: df(x,y) = (2x - y) dx - x dy.

2) Non esistenza

delle lim.

lim (x,y) -> (0,0) x⁴y

x⁴ + y⁴

f(x,y) = f(t,mt)

g = mx²

lim f(t,mt) = 0

t -> 0

x = t

y = mt

f_y = lim_y f(x,mx²)

x -> 0

Derivate parziali: 1) f_x(x,y) f_x(x,y) = sen(xy)

f_y(x,y) = y cos(xy)

f_y(x,y) = x cos(xy)

2)∂f(x,y) = e^xy ∂ (x²) = y ∂(x,y) y

∂x ∂y

f(x,xy) = i e ^x f_y(xy) = x · e ^-x

3) f(x,y) = x⁴ + y⁴ non ammette derivate parziali in (0,0) in generale

lim f(h,0) - f(0,0)

h -> 0 h

lim 1

h -> 0 h non esiste

lim f(0,h) - f(0,0)

h -> 0 h

lim |h|

h -> 0 |h|

Esercizio proposto: calcolare il gradiente della funzione

f(x,y,z) = x²e^x2

- xye

Risol. Df(x,y,z) = (∂f, ∂f, ∂f)

∂x ∂y ∂z

4) f(x,y) = ∂(f_xf_y(f_x(x,y))

(x² + y²)

Calcolare il gradiente:

Risolv. f_x(x,y) =∂ - 2 e

(x² + y²)²

x² + y²) f_y(x,y) = - 2xy

(x² + y²)²

f(x,y) = ye^{x2 + xye}x²...

lim_h→0 [f_x(x₀+h,y₀)-(f_x(x₀,y₀))/h = f_xx(x₀,y₀)

se esiste finito

∂/∂x (∂f/∂x)

lim_h→0 [f_x(x₀+h,y)-(f_x(x₀,y))/h = f_xx(x₀,y)

se esiste finito

Funzioni di più variabili:

pag. 5

Teorema Schwarz

(sull'invertibilità dell'ordine di derivazione)

A s.s.l.r (punto, intorno) 

f: Ω → R derivabile 2 volte in un intorno di (x₀,y₀) → f_xy (x₀,y₀) = f_yx (x₀,y₀)

Matrice hessiana

f derivabile 2 volte in x x assi

matrice hessiana D²f:

D²f(x₀,y₀) → f_xx   f_xy f_yx   f_yy

Funzione armonica

ƒ reali → ℝ, ammette derivate seconde

ƒx_x + ƒy_y = 0

Equazione di Laplace

ESEMPI:

1. ƒ(x,y) = e^x·sin(y), 1) ƒ_x(x,y) = e^x·sin(y),   ƒ_y(x,y) = e^x·cos(y)

1) ƒ_yy(x,y) = -e^x·sin(y),   ƒ_xy(x,y) = e^x·cos(y)

ƒ_xx + ƒ_yy = e^x·sin(y) - e^x·sin(y) = 0

2. ƒ(x,y) = e^xy, ƒ_xy(x,y) = y · e^xy , ƒ_xy(x,y) = x · e^xy

∂/∂y (e^xy) = x² (e^xy) ,   ∂/∂x (e^xy) = 2_x (e^xy) = e^xy

= e^xy

= e^xy

3. Proposta:  

1)   ƒ_xy, ƒ_yx

∂/∂y (∂²y),   ∂/∂x (∂²y)

Lo spazio R^m, spazio vettoriale reale di dim. m

Insieme di tutte le m-ple di numeri reali: (x₁, x₂, ..., x_m)

VETTORE o punto : elemento di R^m

SOMMA

• x, y ∈ R^m
• x + y = (x₁ + y₁, ..., x_m + y_m)

PRODOTTO

• λ ∈ R, x ∈ R^m
• λx = (λx₁, ..., λx_m)

ELEM. NEUTRO

0 = (0, ..., 0)

Distanza dall'origine o MODULO |x|

|x| = (∑_i=1^m x_i²)^1/2 = ‖x‖

Distanza tra x, y ∈ R^m

|x - y| = d(x, y) = (∑_i=1^m (x_i - y_i)²)^1/2

PRODOTTO SCALARE

x, y ∈ R^m

(x, y)_def. = ∑_i=1^m x_iy_i

=(x, x) = ∑_i=1^m x_i²

NORMA euclidea

‖x‖ = (x, x)^1/2

Proprietà

• ‖x‖ ≥ 0 , ‖x‖ = 0 ⟺ x = 0
• ‖λx‖ = |λ| ‖x‖
• ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

|(x, y)| ≤ (x, x)^1/2 (y, y)^1/2 = ‖x‖ ‖y‖