Funzioni a più variabili

Analisi delle funzioni reali di più variabili

Vediamo le funzioni reali di più variabili a valori scalari: \( f : X \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), con \( n > 1 \).

Esempi di funzioni

\( f(x, y) = 3x + 2 \sin y + \log x \); \( g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \).

Queste sono rispettivamente funzioni a due e tre variabili i cui "domini naturali" risultano essere:

• dominio di \( f(x, y) \subseteq \mathbb{R}^2: y > 0 \)
• dominio di \( g(x, y, z) = \mathbb{R}^3 \)

Rappresentazione grafica

Il grafico di \( f \) può essere rappresentato in un riferimento cartesiano di \(\mathbb{R}^3\), o tracciando alcune delle sue curve di livello, ovvero insiemi del tipo \(\{(x, y) \in \text{dom } f : f(x, y) = C\}\) dove \( C \) appartiene a \(\mathbb{R}\) e indica una costante. Osserveremo spesso casi in cui \( n=2 \) o \( n=3 \).

Funzioni a valori vettoriali

Un'altra classe di funzioni importante è quella delle funzioni a valori vettoriali o campi vettoriali con \( n \geq 1 \) e \( m > 1 \), f : X \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \).

\( f(x) = (f_1(x), \ldots, f_m(x)), \, x \in X \)

Dove, sono \( m \) funzioni a valori scalari, da \( X \) in \(\mathbb{R}\).

Esempi di funzioni vettoriali

Nel caso di \( n=1 \), gli esempi più semplici di funzioni vettoriali sono le successioni a valori in \(\mathbb{R}^m\), ovvero funzioni da \(\mathbb{N} \) a \(\mathbb{R}^m\), e le curve parametrizzate, essenzialmente funzioni da un intervallo \( I \) a \(\mathbb{R}^m\).

Teoria dei limiti e continuità

La teoria generale dei limiti e delle funzioni continue per funzioni a più variabili rimane completamente analoga a quella delle funzioni scalari ad una variabile, tuttavia il calcolo è più complicato.

Dominio naturale

Le nozioni di dominio, dominio naturale, immagine, grafico, funzione composta etc., valgono anche per funzioni a più variabili. In particolare, il dominio naturale di una funzione è il più grande sottoinsieme di \(\mathbb{R}^n\) in cui ha senso scrivere \( f(x) \) considerando gli elementi dell’insieme.

Distanza e intorni

\(\mathbb{R}^n\) è uno spazio vettoriale: dati \( x = (x_1, \ldots, x_n), \, y = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n\) e \(\lambda \in \mathbb{R}\)

• Addizione: \( x + y = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \)
• Moltiplicazione per uno scalare: \( \lambda x = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n) \)
• Prodotto scalare: \( x \cdot y = x_1 y_1 + \ldots + x_n y_n \)

Norma e distanza euclidea

La norma euclidea (o modulo) di un punto \( x \) e la distanza euclidea tra due punti \( x \) e \( y \) vengono definite da:

Norma: \( \|x\| = \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} \)