Funzioni a più variabili

Il grafico di f, può essere rappresentato in un

={ }⊆

graf f x , y , f x , y :(x , y)∈ domf R

3

riferimento cartesiano di R , o tracciando alcune delle sue curve di livello, ovvero

{( ) ( )=C

∈

x , y dom f : f x , y

insiemi del tipo dove C appartiene ad R e indica una

costante. Osserveremo spesso casi in cui n=2 o n=3.

Altra classe di funzioni importante risulta quella delle funzioni a valori vettoriali o

campi vettoriali

n m n ≥1 e m>1

con .

⊆

f : X R → R

( )

( ) ( ) ( ) ∈

=

f x f x , … , f x , x X

1 m

( ) ( )

f x , … , f x

Dove, sono m funzioni a valori scalari, da X in R.

1 m

Nel caso di n=1, gli esempi più semplici di funzioni vettoriali sono le successioni a

m m

valori in R , ovvero funzioni da N a R , e le curve parametrizzate, essenzialmente

m

funzioni da un intervallo I a R .

La teoria generale dei limiti e delle funzioni continue per funzioni a più variabili rimane

completamente analoga a quella delle funzioni scalari ad una variabile, tuttavia il

calcolo è più complicato.

Dominio naturale.

Le nozioni di dominio, dominio naturale, immagine, grafico, funzione composta ecc…

valgono anche per funzioni a più variabili, in particolare il dominio naturale di una

n n

funzione è il più grande sottoinsieme di R in cui ha senso scrivere

∋ (x)∈

R x → f R

f(x) considerando gli elementi dell’insieme.

Distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi.

n

R è uno spazio vettoriale: n

( ) ( ) ∈ ∈

=

x= x ,… , x , y y , … , y R e λ R

dati sono definite le seguenti operazioni:

1 n 1 n

Addizione: x+y=(x +y ,…,x +y );

1 1 n n )

λ x=( λ x , … , λ x

Moltiplicazione per uno scalare: ;

1 n

{ } =x

x , y y , … , x y

prodotto scalare: 1 1 n n

La norma euclidea (o modulo) di un punto x e la distanza euclidea tra due punti x

e t vengono definite da:

√

| | √ 2 2

| | = {x }=

norma: x , x x , … , x

1 n

| |

| |

( )=

d x , y x− y

distanza:

Detto questo definiamo un intorno /sferico\:

Def: +¿

n

Dati e si dice intorno sferico di raggio ε (o palla di centro x e raggio

∈

x R ¿

∈

ε R

ε) l’insieme:

{ } | |

| |

n n

( ) ( )

≔ ∈ ∈

<ε ={ < }

B x y R :d x , y y R : x− y ε

s { }

n

( ) ( )

L’insieme viene detto sfera di raggio x e raggio ε

≔ ∈ =ε

S x y R : d x , y

ε

I punti di accumulazione e i punti isolati vengono definiti come nel caso

monodimensionale n=1:

Accumulazione: ( )

n B x

si dice punto di accumulazione per E se, per ogni intorno di x esiste

∈

x R ε

¿ .

( )

∈ }

y B x

ε

Isolato:

∈

x E viene detto punto isolato di E solo nel caso in cui non sia di accumulazione per

E.

Insieme limitato: ⊆B (0)

n E

Un insieme si dice limitato se esiste r>0 tale che , ovvero se

⊆R

E ε

∈

x E

esiste un r>0 tale che ||x||<r per ogni . n

Questo concetto cambia rispetto al caso monodimensionale in quanto, R con n>1

non è un insieme ordinato.

Continua a valere il teorema di Bolzano Weierstrass.

n

Nel caso E sia un sottoinsieme limitato e infinito di R , allora esiste almeno un punto di

n

accumulazione per E in R .

¿

Sia Tutti i concetti topologici incontrati nel caso monodimensionale,

n n

⊆

E R , e CE=R

ad esclusione della definizione di insieme limitato, continuano a riscontrarsi

esattamente alla stessa maniera con le dovute traduzioni(concetto di distanza).

Punto interno: ( ) >

B x , con ε 0

n è punto interno ad E se esiste almeno un suo intorno

∈

x R ε

interamente contenuto in E

Punto esterno:

n si dice punto esterno ad E se è un punto interno a CE.

∈

x R

Punto di frontiera:

n è punto di frontiera per E se non risulta ne punto interno ad E ne punto

∈

x R

esterno ad E.

Interno: ∈ }

E={x R : x è punto interno ad E

Chiamasi interno di E l’insieme .

Frontiera: { }

∈

∂ E= R : x puntodi frontiera di E

Si dice frontiera di E l’insieme

Chiusura: ∪

E ∂ E

Chiamasi chiusura di E l’insieme E=

∈

x ∂ E se e solo se in ogni intorno di x si trovano sia i punti di E sia i punti del

complementare di E (CE), dunque ogni punto isolato appartiene alla frontiera di E,

inoltre la frontiera di E corrisponde con la frontiera del complementare di E

∂ E=∂CE .

I punti interni e quelli di frontiera non isolati sono punti di accumulazione per E a

differenza dei punti esterni, dunque:

{ } =Chiusura }

x : x è di accumulazione per E di E/{x : x è un punto isolato di E

Un punto di accumulazione può non appartenere ad E e viceversa, un punto di E può

non essere di accumulazione per E.

n

Un insieme E viene detto:

⊆

E R

n

aperto se ogni elemento di E è punto interno ad E.

¿ R

n

chiuso se il complementare di E è aperto.

¿ R n

Gli insiemi chiusi di R con n>1 vengono caratterizzati dal seguente teorema.

n

Sia , le seguenti affermazioni sono equivalenti:

⊆

E R

E è chiuso;

⊆

∂ E E

E contiene i suoi punti di accumulazione.

Segue con immediatezza dal teorema che:

E è chiuso se e solo se E coincide con la sua chiusura.

Da questo deduciamo che la chiusura di E è il più piccolo insieme chiuso contenente E.

D’altra parte se E è aperto vuol dire che è il più grande insieme aperto contenuto in E.

Insieme denso; n

Un insieme si dice denso in E se e solo se la chiusura di A è uguale a

⊆

A E⊆ R

quella di E.