Più di 40 esercizi svolti di analisi matematica 2 equazioni differenziali

© pag 85

1. y'² = x_y

   Equazione non lineare, omogenea a variabili separabili

   dy/dx = x/f → ydy = xdx → ∫ ydy = ∫ x dx → y²/2 = x²/2 + C →

   y = ± √(x² + C)

2. y' = 1 + y²

   dy/dx = y² - 1 → dy/y² - 1 = dx → ∫ 1/(y² - 1) dy = ∫ dx → arctang y =

   x + C → y(x) = tan_g (x + C)

4y = 0 ⟹ λ² + 4 = 0 ⟹ Δ = b² - 4ac = -16 < 0

λ² = -4 ⟹ λ = ±2i

y(x) = e^μx(αcos(ωx) + βsen(ωx)) =

y(x) = αcos(βx) + βsen(βx)

4y = 0 ⟹ λ² - 4 = 0 ⟹ Δ = b² - 4ac = 16 > 0

λ² = 4 ⟹ λ = ±2

y(x) = αe^2x + βe^-2x

y(x) = de^x + fe^-2x

3y + 2y = 0 ⟹ λ² - 3λ + 2 = 0 ⟹ Δ = 9 - 8 = 1 > 0

λ₁/λ₂ = 3±√9-8

λ₁ = 2

λ₂ = 1

y(x) = αe^2x + βe^x

y(x) = de^x + βe^αx

y + 5y = 0 ⟹ λ² + 2λ + 5 = 0 ⟹ Δ = b² - 4ac = -4 - 20 < 0

χ_1/2 = -2 ± √-16 = -1 ± √-12

χ = -1 ± 2i

y(x) = e^-x(αcos(βx) + βsen(βx))

. y(x)=(A_{1}+B_{1}x)e^{-3x}+(A_{2}+B_{2}x)e^{-x}

@ pag 44 Esercizio 10.23

y''+10y'+9y=e^{-3x}log(1+x²)      x∈ℝ

Eq. caratteristica, a indici associati: l² + 10 l +9=0      Δ= 36 -36 = 0

λ=-9₅ = -3      y(x) = Ae^-3x+Bxe^-3x    

.1 Change of variable:

[A₁ - 9 x   log(1+x²)]      [A₂ - B₂ x]      l=[-x log(1+x²)]

.2 [X₁ dx + [x log(1+x²)] dx => A(x) = -∫ x log(1+x²)]

∫x e^t = ∫- dt      = +1₁∫ dt

[A(x)= -∫(e log(1+t)) dt]

₁- x log (1+x)= [log (1+t²)] +1/2 log (t+1)/t dt

Substituting:

a) pag 208 3.3

1. y' = x y   ⇒   dy/dx = x y   ⇒   dy/y = x dx   ⇒   ∫₁^ydy/y = ∫₁^x x dx

   log|y| = x²/2 + c   ⇒   e^log|y|= e^x²/2+c   ⇒   |y| = e^x²/2 * e^c

   y(x) = e^x²/2 * c

2. y' = y / x   ⇒   dy/dx = y / x   ⇒   dy/y = dx/x   ⇒   ∫₁^ydy/y = ∫₁^x dx/x

   log|y| = log|x| + c   ⇒   e^log|y| = e^log|x|+c   ⇒   y = x e^c

3. y' = - x / y   ⇒   dy/dx = - x / y   ⇒   y dy = - x dx   ⇒   ∫y dy = ∫- x dx

   y² / 2 = - x² / 2 + c   ⇒   y² = - x² + 2c   ⇒   y(x) = ±√-x² + 2c

b) pag 209 5.4

1. x y' - tan(y) = 0   ⇒   y' - tan(y)/x = 0   ⇒   dy/dx = tan(y)/x   ⇒   dy/tan(y) = dx/x

   ∫cos(y) dy/∫sin(y) = ∫ dx/x = log|x| + c = e^log|y/x|+c = e^c(log|sec| - x)

   ⇒ y = e^c ⇒ g(x) = sec(y) (x^c)

2. y' tan(x) = g   ⇒   y' = 1/tan(x) * y   ⇒   dy/y = 1/x dx/tan(x)   ⇒   ∫ dy/y = 1/tan(x)

© pag 96

y'' - 3y' + 8y = 8x³ - x² +1

λ² - 3λ + 8 = 0       Δ = b² - 4AC = 9 - 8 = 1 > 0

x₁,₂ = ^{-b ± 3-1}⁄₂

      = ^{3 ± 1}⁄₂

         = 1         2

y_c(x) = d e^x + β e^2x + v_o(x). Per determinare v_o(x):

∫(x) = x e^x x - 1      p(x) = ^x1⁄_0^x

     p(x) = e^x μ(x) = e^{0 ⋅ x}⁄β₃(x)   quindi λ = 0, μ = 3

Poicvne γ = 0 cons è polinomio dell’equ. caratteristica,

v_o(x) = x^x⁄β_u(x) = v_o(k) = e^ex(Ax³+ βx²+ Cx + p)   quindi

y = Ax³ + βx² + Cx + d ;   y’ = 3Ax² + 2βx + C ;   y’’= 6Ax + 2β. Pon aquesdo:

8Ax + 2β = (3Ax² + 2βx + C) + d ( Ax³ + βx² + Cx + d) = 8x³ - x² + 1  

6Ax + 2β = 9Ax - 6βx - 3c + 8Ax² ⋅ 8βx² + βx + d β e x + α + da_o - dx³ - x² - x − 1_t  

       (8A) x³_a ( -\sdot; 9A + ⋅8β) x²&sdot(t)(6A - 6β + 8C)X + (2β-3c + 8β) - d x³ - x² − x − 1

1. 2A = 2
2. -9A + 8β = -1
3. 6A- 6β + 2C = 0
4. 8β - 3C + 8D = 1

1. 9 - 2β = -1 →     8β → β = 4   → →
2. 6 - 2&szeta; + 8C = 0 →  c = 3
3. 8 - 27 ⋅ 3C₁ = 1 →   2C → \cdot t   C →

v₀(x) = x³ + 4x² + 9x + 10     quindi:

y₀(k) = de^x + βe^x + s³ + x² + 9x + 10

PC: pag 1 eserc. 1

Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali

1. \(y' = 3x^2, \quad y = 8x^3\)

   \(dy = 8x^2dx \quad y = a(x) b(x)\)

   \(\int dy = 8x^2dx \Rightarrow \int y dy = 3 \int x^2 dx \Rightarrow \)

   \(k(x) = x^3, \quad \phi(y) = x^5\)

   \(\Rightarrow \phi = \pm \sqrt{\frac{x^5}{2}} + c\)

2. \(y' = xy + x\)

   \(y' = a(k) \phi + b(k)\)

   \(a(x) = x \quad A(x) = \frac{x^2}{2}\)

   \(o.g. = y' = xy \quad \psi(x) = ce^{-\frac{x^2}{2}}\)

   \(k(x) = x, \quad e^{-\frac{x^2}{2}} \quad + x\)

   \(t(x) = x \int e^{\frac{x^2}{2}} \quad -xe^{\frac{x^2}{2}}dx \quad -e^{-\frac{x^2}{2}}\)

   \(\tilde{y} = -\frac{1}{e^{-\frac{x^2}{2}}}-1\)

   \(y(x) = -1 + ce^{\frac{x^2}{2}}\)

3. \(xy' = 3y - 4 \Rightarrow y' = \frac{3}{x}y - \frac{4}{x}\)

   \(y' = a(k) \phi + b(k)\)

   \(a(x) = \frac{3}{x} \quad A(x) = 3 \int dx = 3\log x\)

   \(o.a. = y' = \frac{3}{x} y \quad \psi(x) = ce^{3\log x}\)

   \(y = \frac{c}{x^3}\)

   \(\tilde{f}(x) = \int \frac{4}{x} dx = \frac{1}{3} x^3\)

   \(y(x) = \frac{1}{3}x^{-3} \quad -c - 4\)

   \(y(x) = \frac{1}{3}x + C\)