Metodi matematici per l'energia- Homework

Università di Bologna

Corso di laurea in Ingegneria Energetica

METODI MATEMATICI PER L’ENERGIA M – HOMEWORK

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(x,y) + (a+c, b+d) = (x+a+c, b+d+y)

(x,y) + (0,b) = (a+x, b+y) + (c,d) = (a+x+c, b+d+y)

(a,b) x (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

(x,y) x (ac-bd, ad+bc) = (xac-xbd-yad+yb_d, xad+^bbc+yac -ybd)

(x,y) x (a,b) = (xa-yb, xb+ya) x (c,d) = (xac-ybc - xbd-yda, xad-ybd +xbc +yac)

(x,y) x (ac,bd) = (xa+xc - yb_b, xbt+ya+yc)

(xa-by, xb+ya) x (xc-y_d, xd+yc)

xa-by + xc-y_d, xb+ya + xd+yc

(11) (u + si) x (a,1- i) = (^a/_b) (1/c,-i/d)

SOMMA:

(5,4) -> (4+1 , 5-1)

MOLTIP

[4.1 - 5.(-1) , 4 (-1) + 5.1] -> (4+5, -4 + 5) -> (0, 1)

SOTT

(4-1, 5+1) -> (3, 6)

DIV

(4,5) = (4,5) x [i,1] = (4★0.5 , 4+5) = [i, g]

(1,-1) [1+1,0]

(2,0) (2,0)

(21) x + 2y = 2

1x - y

SOTTRAZIONE: (4 - 1, 5 + 1) ---> (3, 6)

DIVISIONE: (4, 5) ÷ (1, -1) = (4, 5) × (1, 1) ÷ (1 + 1, 0) = (4 - 5, 4 + 5) ÷ (2, 0) = (-1, 9) ÷ (2, 0)

22 mag. 2

Dimostra che Re() = Im(i)

= x + iy

Se moltiplico per i ---> ix - y

ES. 3

19 mag.

-(x + iy)² = √3 + i

= -(x² - y² + 2ixy) = √3 + i ---> x² + y² - 2ixy = -√3 + i

• x² + y² = √3
• 2xy = 1 ---> x = ¹⁄_2y

¹⁄_4y² + y² = √3 ---> - ^{1 + 4y4⁄_4y2 = - √3 = -1 + 4y4 = 4√3y2}

4y⁴ - 4√3y² -1 = 0

4t² - 4√3t - 1 = 0

t = ^{4√3 + √(4√3 + 16)}⁄₈ = ^{4√3 + 8}⁄₈

^{√3 + 2}⁄₂ = y₁ = ±√^{√3 + 2}⁄₂

^{√3 - 2}⁄₂ = y₂ = ±√^{√3 - 2}⁄₂

x₁ = ±¹⁄_{2√^{√3 + 2}⁄2} = ±^√2⁄_{2√√3 + 2}

x₂ = ±¹⁄_{2√^{√3 - 2}⁄2} = ±^√2⁄_{2√√3 - 2}

ES. 7

e^{z₁+z₂}

e^{{x₁+x₂+i(y₂+y₁)}}

= e^{x₁+x₂} [ cos(y₁+y₂) + i sin(y₁+y₂) ]

= e^{x₁+x₂} [ cos(y₁)cos(y₂) - sin(y₁)sin(y₂) + i(sin(y₁)cos(y₂) + sin(y₂)cos(y₁)) ]

= e^{x₁+x₂} [ (cos(y₁) + i sin(y₁))(cos(y₂) + i sin(y₂)) ]

Per le proprietà degli esponenziali ne deriva che possiamo dire:

e^{x₁+x₂} = e^x₁ e^x₂

L'equ. diventa

e^{z₁+z₂} = e^x₁ (cos(y₁) + i sin(y₁)) . e^x₂ (cos(y₂) + i sin(y₂))

= e^z₁ e^z₂

ES. 8

cos(z+w)

cos(z+w) = (e^i(z+w) + e^-i(z+w)) / 2 = eⁱ e^i(w) + e^-i e^-i(w) / 2

=(cosz + i sin(z))(cosw + i sin(w)) + (cos z - i sin(z))(cos w - i sin(w)) / 2

=cos z cos w + i cos z sin w + i sin z cos w - sin z sin w - sin z sin w + cos z cos w

cos(z-w)

cos(z-w) = (e^i(z-w) + e^-i(z-w)) / 2 = eⁱ e^-i(w) + e^-i e^i(w) / 2

=(cosz + i sin(z))(cosw - i sin(w)) + (cos z - i sin(z))(cos w + i sin(w)) / 2

= cos z cos w - i sin z cos w + i sin w cos z + i sin w sin z + cos z sin w

Es. 11

Applicazione del Teorema di Green agli integrali nel campo complesso

Sul piano reale sia G una regione semplicemente connessa delimitata da una curva chiusa e regolare a tratti.

Siano \( p(x,y) \) e \( q(x,y) \) due funzioni reali che ammettono derivate parziali continue almeno a tratti su \( \bar{G} \). Allora vale:

\(\oint_C (pdx+qdy) = \iint_G (q_x - p_y) dxdy\)

Anche nel campo complesso si possono fare le stesse considerazioni, infatti un

integrale complesso è in realtà costituito da 2 integrali reali:

\(\oint_C f(z) dz = \oint_C (udx - vdy) + i \oint_C (udy + vdx)\)

\(f(z) = u(x,y) - iv(x,y) \) ologorfa in G se la sua derivata :

\(f' = u_x + iv_y = v_x - iu_y \) è continua in G.

Per ognuno degli integrali reali si può applicare il Th. di Green.

1) \( q= u(x,y), p= v(x,y) \)

\(\oint_C (pdy-qdx) = \oint_C (vdy-udx) \)

\(- \iint_G (v_x+u_y)dxdy\)

Ma per le condizioni di Cauchy-Riemann: \( v_x = -u_y \)

Quindi: \(\iint_G (v_x+u_y)dxdy = 0\)

2) \( p=u(x,y), q=-v(x,y) \)

\(\oint_C (pdy-qdx) = \oint_C (udy+vdx) \)

\(- \iint_G (p_x+q_y)dxdy = -\iint_G (u_x-v_y)dxdy = 0\) perché \( u_x = v_y \) per Cauchy-Riemann

Quindi se f è ologorfa in G deve rispettare le condizioni di Cauchy-Riemann

e restano entrambi gli integrali sono nulli.

ES 15 DISPENSA

ES π = 7

∫₀^∞ / x^α - x^-β dx

ESEMPIO AL CAMPO COMPLESSO

∫₀^∞ z² / z^α - k^z dz

REGOLA: LEGGE DI JORDAN:

lim (r² / z^α+3) = 0 |z| → ∞

CALCOLO PUNTI DI SINGOLARITÀ:

• z² = k → z = 0
• z = ±i e^izkπ
• z₂ = e^π / ^x
• z = X ⁰

= 0 - = R < e^iφ dφ

∫_-π³ dz z = e^izπ

∫_π^R dz / zⁱ = ∫ e^izπ eⁱ ∫_R^∞ e^iz dx

∫_-π^π/2 (−i)

CALCOLO DEI RESIDUI:

• res(z₀) / f(z) = lim z¹
• → lim (z^−z₀)
• z₂ - |z₀) = 0
• z₂ - e = π / 5 e z^±2

∫_R eⁱ dz = lim ∫₀ e^iz dz

= lim ⁱ ∫^e e^iz dx eⁱ

→ - R - ∞ ∫^e e^iz dx e^±1/3

∫₀^∞ e^ix dx = π / 3 e^1/3

= π / 3

e^iπ/3 ± 2

e^π/3 e = (5 - e^−x/3) "+"

= 2 - i ∫₀^∞ dx / e^iπ/3

± 3^√3 ± (π / 3^√3 ± π / 3

ES. 19

Dimostra la formula

m+1 >

&ln_m 1

ε(4 - |ε|)

lim_{m → ∞} ∑_k ξ^k = 1

1 - ξ

1 - ξ^m+1 = 1 - ξ^m+1

1 - ξ

= ξ^m+1 < ε

|ξ^m+1 | |ε^m+1

1 - ξ

↔ LOGARITMO

⇒

♦ &ln_m 1 - &ln 1 ⇒

|ε(1 - |ε|)| = - (m+1) &ln_m 1 + - &ln_m 1

|ε(1 - |ε|)| ⇒ (m+1) < ⇒

(m+1) > &ln_m (|ε(1-|ε|)|

ln 1 ⇒

| ε |

ES. 20

Dimostra convergenza del di integrale nella derivazio della serie di Laurent

f(z) = 1 f(xi)

2πi ∫

∑_k=0 ξ^k |ε| =

∑_k=0 ot ∑_k=0

f(xi)

| |

| |

∑_k=0

= ∞ f(ξ)

∑_k=0

∑_k=0 = −

∑_k=0

= 0