Metodi matematici - Foglio 7 - Esercizi Trasformata di Fourier in L1(R)

Trasformata di Fourier in L¹(R)

Studio della funzione f(t)

Data la funzione f(t), è necessario studiare a priori la sua trasformata di Fourier e calcolarla.

Definiamo f(t) = t+1 per -1 < ω ≤ 0.

Consideriamo ora la limitazione: lim_j=0∀f(t, ω³) = 2πi e^-i2ω, per ω = 0.

Calcoliamo il limite: Lim [ω=0] In giornata(t - j)² = 0 con t = 1, polo ordine 2.

La restituzione della funzione g_f è data da: RestituiRes(g_f) = df/dω con z = 1/z² e e^-iωz.

Calcolo della trasformata di Fourier

Limitiamo ora: lim iωe^-iωz/2iωw

Calcolo della trasformata specifica

Data la funzione f(t) = t e^-t2, si intende calcolare la sua trasformata di Fourier.

Studio preliminare

Assumiamo: f(t) = ∫_ℝ t e^-t2dt e consideriamo lim_n→∞ ∫_ℝ t e^-t2 dt che converge, dunque f(t) ∈ L¹(ℝ).

Inoltre: f(t) = ∫_ℝ te^-t2dt ≤ ∫_ℝ e^-t2 dt, implicando che f(t) ∈ L² e C⁰(ℝ).

Consideriamo: f(t) = t² e^-t2 = (-t e^-t2 = (-t) 1_2dt) quindi -t e e^-t2 e risulta che f(t) ∈ C¹(ℝ).

Per ogni n∈ℕ esiste M tale che f(n) ∈ L¹(ℝ) ⇒ esiste lim_n→∞ f = M (n f ∈ C¹(ℝ)).

Derivata negativa e continuità

La derivata negativa implica che f(ω) è unitaria e (ω) continua, C⁰(ℝ). La misura di f(ω) è intera per dt = 0.

Poiché f(t) è reale ed è una funzione dispari, si deduce che f(ω) è immaginaria con parte immaginaria = 0.

Calcolo della trasformata

Riconosciamo f(t) = 1: q(t) dunque per il legame delle posizioni derivate nel tempo si ottiene f(ω) = d/ω.