Metodi matematici - Foglio 6 - Esercizi Serie di Fourier: convergenza

FOGLIO 6

SERIE DI FOURIER: CONVERGENZA PUNTUALE ED UNIFORME

a) Si consideri la funzione f: ℝ→ℝ, periodica di periodo T=2π, dispari, definito da

• 1, t ∈ [0, π/2)
• -1, t ∈ [π/2, π)
• 0, t ∈ [π, 2π)

b) Scrivere la serie di Fourier della funzione

c) Studiare la convergenza della serie alla funzione

GRAFICO DI f(t)

CONDIZIONI

• f(t) limitata dunque ∈ L²(ℝ)
• f ∫₀²π |f(t)|dt < ∞
• f(t) dispari dunque a₀=aₙ=0
• f(t) = ∑ (bₙ)sin(nt)

COEFFICIENTI DI FOURIER SENO f

bₙ = 2/π ∫₀π f(t) sin(nt) dt =

S(t) = ∑ 2(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾ / πn sin(nt)

FOGLIO 6

SERIE DI FOURIER: CONVERGENZA PUNTUALE ED UNIFORME

a) Si consideri la funzione f: R → R, periodica di periodo T = 2π, dispari, definita da

• 1, t ∈ [0, π/2[
• (π/2-t), t ∈ [π/2, π[
• 0, t ∈ [π/2, π]

Grafico di f(t)

Osservazioni

• f(t) continua ovunque t ∈ [0, 2π]
• ∫ |f(t)| dt < ∞
• f(t) dispari, dunque a₀, a_n = 0
• f(t) = ∑ b_n sin(nt)

Coefficiente di Fourier

b_n = 1/π ∫ f(t) sin(nt) dt = (2/π) ∫₀^π/2 sin(nt) dt + (2/π) ∫_π/2^π (π/2 - t) sin(nt) dt

= 2/(π n) (cos(n π) - cos(n π/2)) = 2/(n π) (2 sin(n π/4) + 2*sin(n 3π/4)) sin(nt)

Studio convergenza puntuale

∀ t₀ ∈ [t₁, t₂] la funzione è continua e derivabile → S(t₀) = f(t₀)

∀ t₀ ∈ [t₂, t₃] la funzione è continua e derivabile → S(t₀) = f(t₀)

∀ t₀ ∈ ]2kπ, L[ la funzione continua e derivabile e il grafico da dx a sx hanno derivata finita → S(t₀) = f(t₀)

L.∀ t₀ = 2kπ, L

1. Si considera la funzione f: ℝ→ℝ dispari, periodica di periodo T = 2π, a.c.

   f(t) = ^t⁄_a(L - t)²   t ∈ [0,^L⁄₂ ^t⁄_a(L + A - t)²   t ∈ [^L⁄₂, π]

Si ottiene lo sviluppo di Fourier di f, precisando in quali punti converge al corrispondente valore della funzione. Valutando poi la funzione in t = ^π⁄₂ e dedurre la somma di un particolare serie numerica.

Grafico di f(t)

Considerazionif(t) limitata su ogni (∈ L₂(ℝ))f(t) = ∫ ℝ |f(ξ)|² dt < ∞f(t) dispari implica a₀, d_m = 0S(t) = ∑_n=1 b_n sin(nξ)

Definizione serie Fourier

a₀ = ¹⁄_L ∫_−L^L f(t) cos(nt) dt = ∫₀^π f(t) cos(nt) dt = 4ⁿ_π(sin(nt) dt = ²⁄_n π π](t)^{2u(t)dt2⁄_a (t)2 (L)n = 0c_n(t) = 8⁄_π ∫₀π (L - θ)2(4 cos(nt) dt)2⁄_a (t)2 (t) - cos(nt) dt}