Metodi matematici - Foglio 8 - Esercizi Trasformata di Fourier in L1(R) e L2(R)

FOGLIO 8

Trasformata di Fourier in L²(R) e L¹(R), Teorema di Paley-Wiener, Teoremi principali:

1. Calcolare la trasformata di Fourier di f(t)

f(t) = ^t/_t²+4 [ x − u sgn(2t x)]

A(t) = ^t/_t²+4 [ x²+4 ] A(t) −−−− g(0, t)

A(x) = g(²/_2x³) [ −− ^ff/_{a g/π} ]

R(njrxj) = ^d/_dw [ x (^a/_{a x²+dj}) ]

−− ¹/_n ^ri/_jn (²/_njsin(ωu))

−− ¹/_n y (^l/₂) rijωxg(w)

−− n ¹/_n cij(ωx)g(w)

g(t)x = n, g x/^t a ( g(u(t)) [ − ²/_t

• stum(dt) multf(f(xt al/e−2/ft xj/u2 −x)

^X(nj)f =

Riunificando il tutto

1. Data il parametro a ≥ 0 si considera una funzione f_a: R → R definita da

f_a(t) =

• a + t, t ∈ [−a, 0)
• a − t, t ∈ (0, a)
• 0, t ≥ a

calcolato F(a(w)) e trasforma

f_(t) = (t-iΔ)e ^(π/(2q)) [trasformata (1/4)]

f(x) =₂ f²cos(ax)

oscillazioni di interessi

= ∫₀^∞[1 - cos(at)] - cos(b(t)) dt =

∫₀^∞ [2 f_α(w)f_e(w)] dw =

∫₀^∞ f_α(w)f_e(w) dw

∫ ^{2 m}f_{α(e) + fa}

trasporto avanza

∫πⁿ/Σ⁰_qn f_α f_τ dt = Σ₀∆ ^{Σ π} + a_(a)

...

calcolare il trasformatore a fpertrasporto di ^primo

F̂AC(u)w + B(u)w = ⌠d² d(w²) ⌡ stw(u/w²) e^tln(w₂)/i dm/w dw ⌠ d² dw²⌡ es( u/w₀²) ln(s₁/u) log₂ dm(w/₂) dw

Pr [ predicate: 〈〉 ,

〉] Pr [ f̂(A₁C)(µ₂, w₃) = u ²d² dw²(u/w₆) log₂

7) DATA CA FUNZIONE F: R→IR, DEFINITA DA

F(T) = 1 /(t²+4)(t+u)

1. VERIFICARE CHE ₣ϵ Ĥ-TRASFORMABILE ê UTILIZARE ₣h(u) Ð PUNTOĞ
2. CALCULARE f(u)
3. UTILIZARE IL RISULTATO PRECEDENTE PER CALCULARE ∫_∞₀ 1 / (t²+4)^³ dt

PROPRIETA PRECITURATA FF(T)

• ⌠(∫ R_1/4^R)((t