Metodi matematici - Foglio 5 - Esercizi risolti serie di Fourier: convergenza ed identità di Parseval

FOGLIO 5

SERIE DI FOURIER - CONVERGENZA NEL SENSO DELL'ENERGIA E IDENTITÀ DI PARSEVAL

1) DETTA f LA FUNZIONE 2π-PERIODICA DISPARI DEFINITA DA CONDIZIONE

f(t) = A(t² - πt²)      PER 0 ≤ t ≤ π

1. SCRIVERE LA SERIE DI FOURIER DI f
2. UTILIZZANDO L'IDENTITÀ DI PARSEVAL, CALCOLARE LA SOMMA DELLA SERIE NUMERICA Σ_n=1^∞ 1/n⁶

a) f È INTEGRABILE IN SERIE DI FOURIER?

A È DISPARI, DUNQUE |f|² È PARI

∫_-π^π |f|² dt = ∫₀^π (At² - A(π-₂))² dt = 2 ∫₀^π (t³ - tπt)² dt = 2 ∫₀^π (t⁶ + t²π⁴ - 2t⁴π) dt =

= 2 [t⁷/7]₀^π + [t³π⁴/3]₀^π - 2 [t⁵π/5]₀^π = 2 [π⁷/7 + π⁵/3 - 2 π⁵/5] = 2 [(1795 π⁷ - 27)/105-π⁵] < π

QUINDI f INTEGRABILE

POICHÈ f È DISPARI, LO SVILUPPO IN SERIE COMPRENDE SOLO COEFFICIENTI b_n

AN = 1^∞ b_n sin(nt)

b_n = 2/π ∫₀^π f(t) sin(nt) dt = 2/n [f(3u) + (π-u) sin(nt) dt =

= 2/π [t³ - t²] cos(nt)/n + 2/π [t² - t] sin(nt) dt (UEG. PER PARI)

= 2/π (3t² - π²)] - A = m3π /n3 cos(nt)/n + 2/π sin(nt) dt/π

cos(nt) = 12

[= cos nt]/n3 - 1]

= 12 /n3 a=Σ 2/n³ 12/π³]' (1 - cos nt)

a=⇒Σ = 2/π Σ 12/π³(1-cos nt)

FOGLIO 5

SERIE DI FOURIER (CONVERGENZA NEL SENSO DELL'ENERGIA E IDENTITÀ DI PARSEVAL)

1) DETTO f LA FUNZIONE 2π - PERIODICA DISPARI, DEFINITA IN [0, π) DA

f(t) = A(t² - πt²) PER 0 ≤ t < π

1. SCRIVERE LA SERIE DI FOURIER DI f
2. UTILIZZANDO L'IDENTITÀ DI PARSEVAL CALCOLARE LA SOMMA DELLA SERIE NUMERICA ∑_n=1^∞ 1/n⁴

f È INTEGRABILE IN SERIE DI FOURIER?

f È DISPARI, UNICO |f|² È PARI.

∫_-π^π |f|² dt = 2∫₀^π (A(t² - πt)²) dt = 2∫₀^π (A² (t³ - t^-2)²) dt = 2∫₀^π (A² (t⁶ + t⁴ π⁴ - 2t⁴ π²)) dt

= 2[π⁷/7] - [2π⁵/5] + [π³/3] = 2/(π⁷/7) - 2/(7π⁵) + 2/(5π³) + 2/(3π) + ≥ 1

= 8.2865 - 2.5 = 5.7865 = 2.57.135 - 27 + π ⁶ = 5.60 PUNTO

QUINDI f(t) È INTEGRABILE

POICHÉ f(t) È DISPARI, LO SVILUPPO DOVRÀ COMPRENDERE SOLO COEFFICIENTI a₀ = 0, a_n = 0

f = ∑_n=1^∞ b_n sin(nt)

b_n = (2/π) ∫₀^π f(t) sin(nt) dt = 2/π ∫₀^π (3t² + 2tπ) sin(nt) dt

= 2/π ∫₀^π (t³ - t²) cos(nt) dt = (2/n) [3(cos(nt) - cos(nt/2))]

= 12/π [2/π sin(nt)] = 12/n⁴ ∫(1/n) sin(nt)

= 1/n³ (1/n) sin(nt) dt

= (1/n²) (1/n) = 12/n⁴ cos(nt) = 12/n⁶ - 1/n²

a => ∫ S = ∑_n=2^∞ 2/n³ (a_n sin(nt)

∫^π_−πf(t)dt = 2^a0_π2

∫^2π₀ e^−3tdt

∫ⁿ₁ = ∫ f(t) cos(nt)dt

f(t) = e^−3t per |t| < π

a0 = ... a2 = ... b2 = ...

a0 = ... a2 = ...

a2 = ... b2 = ...

a2 = ...

a2 = ...

a12 = ... b12 = ...

f è sviluppabile

a0 = ... a1 = ...

a1 = ...

a2 = ... b2 = ...

a2 = ... b2 = ...

a2 = ... a2 = ...

a2 = ...

a2 = ... a2 = ...

a2 = ...

a2 = ...

a2 = ... a3 = ...

a3 = ...

b3 = ...

b3 = ...

b3 = ...

∑¹_∞

f è sviluppabile?f è nulla

f è nulla

)nulla

f è nulla

f è nulla

n è nulla

- lim ∫_-λ^λf(λ)sin(nt)dt = ∫_-λ^λe^-3tsin(nt)dt = 1₇λ^-n(cos(λn)-1) = = ∫_-λ^λe^-3t

n

       n

           2λ   n   n

            n

                     7

                     η

7|            n   n            ∞|1

∫           n|_n   n

e³ⁿ - (cos(λn)), λ|            1

∫           n      n

            n

η     η

                 η

           π|_n |    n  (e³ⁿ-e³ⁿ)-1)     1

             2n ∫_-λn^λe^3tcos(nt)e^-tdt

n

1|     cos(kn)(e^3x - e^3x)

∫            η

       η

        1    cos(kn)t     ∫_-π^πe^3xcos(nt)e^-ћtdt

             n

a) = Σ= ¹a(e^3x - e^3x) + ⁹|  n²     ∞  a_m  a_m|

6(n⊂!)  ∫  ∫

     n₁

^∞ ∫_-λ^λf