Matematica per economia, tracce svolte, studi di funzione

A.A. 2020/2021

Matematica per l’economia

Esercizi svolti dalle tracce d’esame

Compito del 11-gennaio-2021

Studiare le seguenti funzioni e tracciarne il grafico

Compito 1:

f(x) = ^{x2 - 4}/_{x + 1}

Compito 2:

f(x) = √x(-2 + log x)

Compito 3:

f(x) = ^{(x - 1)2}/_|x|

f(x) = (x² - 4) / (x + 1)

Funzione razionale fratta

Dominio

• x + 1 ≠ 0
• x ≠ -1

D = ℝ - {-1} = (-∞, -1) ∪ (-1, +∞)

Intersezioni con gli assi

• 1. y = (x² - 4) / (x + 1), x = 0 ⇒ (0, -4)
• y = 0 → (x² - 4) / (x + 1) = 0
• x² - 4 = 0, x = ±2
• A (-2, 0)
• B (2, 0)
• C (0, -4)

f(x) ha 3 intersezioni A, B, C

Segno

• y>0
• (x² - 4) / (x + 1) > 0
• N>0, x² - 4 > 0, x < -2 v x > 2
• D>0, x + 1 > 0, x > -1
• f(x) > 0 in (-2, -1) ∪ (2, +∞)
• f(x) < 0 in (-∞, -2) ∪ (-1, 2)

= lim_x→10 |_x(log x − 2)|/x²

= lim_x→10⁺ √(log_x−²/_x)

dunque log_x < x nulla

perpendicolare dopo 0

m = 0 → non è asintoto obliquo.

DERIVATA PRIMA

f'(x) = √x · (log x − 2)

g'(x) = 1 / 2√ x · (log x − 2)

= [ 1 , log x − 2 ] + x · [ 1 / x ]

= log x − 2 + 1

= log x − 1 / 2√ x · (log(x) − 2)

f'(x) ≥ 0

N > 0 log x − 1 > 0

log x > 1 x > 10

N > 0

∀ x ∈ D n ≠ 10²

N.B.

Il dominio manca ad x = 10

PRIMA | f^I (x)

Sarà sempre crescente

per x < 0

f'(x) = -²/x² = ^{1 - x2}/_x²

f'(x) ≥ 0 -1 ≤ x ≤ 1

Dobbiamo: ∀ x ≥ 0 ∀ x ∈ D

f(x) ha 2 minimi:

minimo relativo in x = -1

y_m f(x) = f(-1) = 4 m_ᵪ = (-1,h)

minimo assoluto in x = 1

y_m f(x) = f(1) = 0 m = (1,0)

y = f(x)

y = x + 2

y = x - 2