Matematica

TEOREMA SULLE FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI

Una funzione crescente su un intervallo è una funzione che assume valori crescenti al crescere dei valori di ascissa; al contrario una funzione decrescente è una funzione che assume valori decrescenti al crescere dei valori di ascissa nell'intervallo.

Dimostriamo che la funzione è crescente. Se f' >= 0 allora questa è crescente. Presi due punti X1 e X2 (continui e derivabili) sappiamo che X1 < X2 nell'intervallo di (a,b). Vale il teorema di Lagrange dove F(X0) continua in (a,b) e derivabile, allora esiste almeno un punto in X0 tale che F(b) - F(a) = F'(X0) * (b-a). F'(X0) = f(b) - f(a) / (b-a). Il numeratore e denominatore possono essere positivi e negativi.

TEOREMA DI FERMA

Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo I e derivabile in un punto c interno all'intervallo I, allora se il punto c è un punto estremante di f, risulta f'(c) = 0 (derivata della funzione).

annulla→lanei punti estremanti

La funzione F(X0) è derivabile in X0. Prendiamo caso che X0 sia un punto di Max.relativo—>f(X0 + h) - f(X0) <=Considerando che F è derivabile le due espressioni devono essere uguali ovvero quando entrambisono =0 (derivata destra e derivata sinistraEs: y = x3 (cubica) esso→- 6.

0

fl fiT

)

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE (TORRICELLI)

Se una funzione f(x) è continua in [a;b], allora esiste la derivata della sua funzione integrale

F(x)= ∫xf(t)dt a

Per ogni punto x dell’intervallo [a;b] ed è uguale a f(x), cioè: F’(x)=(x),ovvero F(x) è una primitiva di f(x).

-teorema fondamentale del calcolo integrale, quattro de nizioni di limite che asintoti hanno 7fi4 DEFINIZIONI DI LIMITI

Per ogni intorno di l esiste un intorno di x0 tale che per ogni x appartenente all’intorno del p.tointersecato con x meno il p.to stesso si ha che: f(x) appartiene all’intorno di l.lim

x—>X0 (fx) = L1) (epsilon valore molto piccolo)Abbiamo un limite finito che da come risultato un limite finito. Nel modulo tra le differenze della |F(x)-L| < epsilon.Il limite da come risultato L se per ogni epsilon > 0 esiste un’insieme di X0 tale per cui |f(x)-L|<epsilon. Questo si verifica solo per ogni X (diverso) X0lim x—> nito = + infinito2)Dice che questo limite fa infinito se per ogni M (numero molto grande)>0 appartenente all’insieme(X0) tale per cui F(X)>M. Si possono trovare X che con la loro F(X) è sempre maggiore di M.Questo si verifica per tutti i valori che stanno intorno al valore di X0 senza prenderlo.lim x—>infinito (fx)= l3)Tendo all’infinito ma arrivo ad un certo punto dove si trova un valore finito.Questo vale per ogni epsilon>0 esiste un c(punto sulle x e identica f(c)>0 tale che |f(x)-l|<epsilonLa distanza tra l e f(X) < di epsilonBisogna cercare un’intorno nelle X e trovarsi

nell'intorno Y (c appartiene all'intorno). Per cui posso prendere una X che sta dopo la c. lim x->infinito (fx)= infinito

Se per ogni M>0 appartenente a N>0 tale che f(x)>M, per ogni X>N. La mia F(x) deve essere più grande di ogni M>0. Posso modificare i miei valori ed ottenere sempre che questa condizione si verifichi. Sposto il valore sull'asse delle X la mia funzione sarà sempre più grande (+infinito-infinito, -infinito+infinito)

TEOREMA DI ROLLE

Enunciato:

Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] tale che f(x) è continua in [a;b] (compresi) e f(x) è derivabile in (a;b) (non compresi) e f(a)=f(b) (hanno la stessa Y), allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo tale che f'(c)=0 (o c è un massimo o un minimo).

Dimostrazione:

Dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass sappiamo che

La funzione y=f(x) assume un massimo in [a;b] un massimo M e un minimo m assoluti abbiamo due possibilità:

1. Se il massimo e il minimo coincidono la funzione è costante (retta parallela all'asse delle x) diconseguenza f'(x)=0 per ogni punto interno all'intervallo e il teorema vale sicuramente.
2. Se invece m è minore di M poiché nella nostra ipotesi f(a)=f(b) almeno uno dei due valori m o M è assunto dalla funzione in un punto c interno all'intervallo. Es: f(c)=M dunque c è un punto estremante è per il teorema di Fermat risulta che f'(c)=0 abbiamo così la tesi.

TEOREMA DI LAGRANGE O VALORE MEDIO

Enunciato:

Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] tale che f(x) è continua in [a;b], (compresi) f(x) è derivabile in (a;b), (non compresi) allora esiste un punto c interno all'intervallo per cui vale la relazione f'(c)= f(b)-f(a) (c'è almeno

un punto in cui la retta tangente è parallela alla retta passante per a e b.

Dimostrazione:

Per ogni c appartenente all'intervallo (a,b) tale che F(b) - F(a) / b - a = F'(c) dove il numeratore rappresenta l'incremento del valore destro e sinistro mentre il denominatore ci indica l'ampiezza dell'intervallo. Prendiamo così il risultato che è l'incremento medio.

Per la dimostrazione possiamo utilizzare il teorema di Rolle.

F(x) = F(x) - kx e poniamo F(a) = F(b) dove F(a) - ka = F(b) - kb dove K = F(b) - F(a) / b - a

Usiamo F'(x) = F''(x) - F(b) - F(a) / b - a sostituendo con il teorema ed inserendo la C otteniamo che F''(c) = f'(c) - F(b) - F(a) = 0

TEOREMA DI CAUCHY

Enunciato:

Data una funzione f(x) e g(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] tale che f(x) e g(x) continue in [a;b], (compresi) f(x) g(x) derivabili in (a;b), (non compresi) g'(x) 0 per ogni x interno ad [a;b] allora esiste almeno un punto c interno ad [a;b] in cui si ha f(b) - f(a) =

f'(c) (il rapporto tra gli g(b)-g(a) g'(c) incrementi delle funzioni nell'intervallo [a;b] è uguale al rapporto tra le rispettive derivate calcolate in un punto c interno all'intervallo).

Dimostrazione:

Si considera una funzione ausiliaria h(x)= [f(b)-f(a)] per g(x) - [g(b)-g(a)] per f(x). Abbiamo che H(x) è continua in [a;b] e derivabile in (a;b) perché è una differenza di funzioni continue moltiplicate per delle costanti=numeri.

Poniamo H(a)=H(b) tale per cui H'(c)= F(b) - F(a) per G'(c) - G(b) - G(a) per F''(c)=0 quindi abbiamo che F(b) - F(a) per G'(c) = G(b) - G(a) per F''(c).

Per il teorema di Rolle possiamo affermare che F(b) - F(a) / G(b) - G(a) = F''(c) / G''(c).

Facendo la h(a)= [f(b)-f(a)]*g(a)- [g(b)-g(a)]*f(a)=E la h(b)= [f(b)-f(a)]*g(b)- [g(b)-g(a)]*f(b)= quindi la funzione h(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle e applicandolo h''(c)=0

h''(x)= [f(b)-f(a)]*g''(x)-

f'(c) / g'(c) se x -> x0 anche c -> x0 quindi passando al limite scriviamo lim (x-> x0) di f(x) / g(x) = lim (c-> x0) di f'(c) / g'(c), ma poiché questa equivalenza vale, possiamo scrivere che: lim (x-> x0) di f(x) / g(x) = lim (x-> x0) di f'(x) / g'(x)

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Se consideriamo una f(x) con dominio e un punto di accumulazione X0 appartenente al dominio. Se il limite x->x0 di f(x) esiste finito o infinito, allora il valore di tale limite è unico. Lim x->X0 (f(x)) = L appartenente a R (+ infinito - infinito è compreso) dove L è unico.

1) Dobbiamo risolvere questo teorema per assurdo e andiamo a verificare che la tesi sia falsa (L non sia unico). Lim f(x) = L e Lim f(x) = L' entrambi sono finiti e L (diverso) L'.

2) L < L' e scegliamo epsilon tale che epsilon < L' - L / 2. |f(x) - L| < epsilon per ogni x appartenente a I, |f(x) - L| < 3) Applichiamo la definizione di limite e otteniamo una contraddizione.

Definizione di limite epsilon per ogni x appartenente a I’ (devono valere contemporaneamente). Sappiamo che I intersecato I’ sono intorni di X. Confrontiamo (L<L’) e epsilon < L’ - L / 2. La negazione della tesi è falsa, e se esiste il lim x—>x0f(x) = L unico. 11≠ fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi

TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO: Sia f(x) con dominio sia compreso + in nito - in nito un punto di accumulazione appartenente al dominio. Se il limite x—> c f(x)= L appartenente a R, allora esiste un intorno di C contenuto nel dominio di f(x) in cui f(x) assume lo stesso segno del limite.

Lim x—> c f(x)= L, scelto un epsilon qualsiasi ma positivo, deve essere per forza essere |f(x) - L| < epsilon L-(+L) < f(x) < 2L. Poniamo: epsilon = |L| dove L>0 dove con f(x)>0 L - L < f(x) < L + (-L) L < 0 = con f(x) < 0

TEOREMA DEI CARABINIERI O DEL CONFRONTO: Siano h(x), f(x) e g(x) tre funzioni definite in uno stesso intorno H di x0,