Matematica

Matematica

Massimo assoluto e minimo assoluto

Sia y=F(x) una funzione con Dom(f). Diciamo che X₀ è un punto di massimo assoluto per la funzione e che F(X₀) è il massimo assoluto della funzione per ogni X appartenente al Dom risulta che F(X) <= F(X₀).

Sia y=F(x) una funzione con Dom(f). Diciamo che X₀ è un punto di minimo assoluto per la funzione e che F(X₀) è il minimo assoluto della funzione per ogni X appartenente al Dom risulta che F(X) >= F(X₀).

Massimo relativo e minimo relativo

Sia y=F(x) una funzione con Dom(f)= R. Diciamo che X₀ è un punto di massimo relativo per la funzione se c’è almeno un intorno B tale per cui ogni x appartenente a questo intorno F(X) <= F(X₀).

Sia y=F(x) una funzione con Dom(f)= R. Diciamo che X₀ è un punto di minimo relativo per la funzione se c’è almeno un intorno B tale per cui ogni x appartenente a questo intorno F(X) >= F(X₀).

Un punto di massimo o minimo è relativo se determina localmente il più grande o il più piccolo valore di ordinata della funzione. Un punto è di massimo relativo se esiste un intorno del raggio r tale che la funzione calcolata in x* assume un valore più grande di f(x). (Teorema di Weierstrass)

I punti di massimo e minimo assoluti sono anche punti di massimo e minimo relativi, ma non è necessariamente vero il contrario.

Funzione iniettiva, suriettiva e biettiva

Una funzione si dice iniettiva quando ogni elemento del dominio appartiene ad un elemento distinto del condominio. Possiamo dire che A₁ (diverso) A₂ e di conseguenza F(x)₁ (diverso) F(x)₂. Esempio: f(x)= 4x + 5.

Una funzione si dice suriettiva quando ad ogni elemento del condominio è associato almeno un elemento del dominio tale per cui f(a)= b.

Una funzione dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Forme indeterminate

• 0/0
• Infinito/infinito
• 0 * infinito
• 1^infinito
• Infinito - infinito
• X⁰
• Infinito⁰

Punti di un insieme

→ Punti interni → 0 | I (x) A x A∃ ⊂ ∈

→ Punti esterni → 0 | I (x) A = x A∃ ∩ ∅

→ Punti di frontiera → 0 y₁, y₂ | y₁, y₂ I (x) e y₁ A, y₂ A

→ Punti isolati → 0 | I (x) A = ∀ ∃ ∈ ∈ ∃ ∩ {x}

→ Punti di accumulazione → 0 | I (x) - {x} A ∀ ∩ ∅

Limiti notevoli

Scala degli infiniti

La funzione si dice infinitesimo per x → X₀ se F → 0 per x → X₀. La funzione si dice infinito per x → X₀ se f → + infinito per x → X₀.

Prendo la X con il maggior grado sia sopra che sotto così mi esce f(x)/g(x).

Punti di discontinuità

Si definisce punto di discontinuità di f(x) ogni punto di accumulazione per X, nel quale la funzione non è definita oppure è definita ma non è continua.

• Prima specie o salto: si ha se in X₀ esistono finiti i limiti destro e sinistro sono diversi.
• Seconda specie: se in X₀, per x → X₀ almeno uno dei due limiti è infinito o non esiste.
• Terza specie o eliminabile: se in X₀ esiste finito il limite con x → X₀ e la funzione o non è definita oppure lim f(x) diverso lim f(X₀).

Punti di non derivabilità

Qualora una funzione sia continua in un punto x₀ ma non sia derivabile per il punto (x₀,f(x₀)) si possono verificare diversi casi: (faccio limite destro e limite sinistro)

• Punto angoloso: esistono le derivate destra e sinistra, di cui almeno una finita, e sono diverse. Tale che F⁺(X₀)' diverso F^-(X₀)'.
• Cuspide: esistono le derivate destra e sinistra infinite e sono diverse. Tale che + infinito, -infinito verso il basso e - infinito +infinito verso l’alto.
• Punto a tangente verticale: esistono le derivate destra e sinistra infinite e sono uguali, in tal caso nel punto in cui si ha un cambio di concavità si dice punto di esso a tangente verticale + infinito, + infinito = esso ascendente, - infinito, -infinito esso discendente.

Punti di flesso

Si ha che la curva di equazione y= F(x) presenta un punto di flesso se in tale punto la curva cambia concavità.

• Essi possono essere: o a se la tangente nel punto non è parallela a uno tangente orizzontale degli assi o a se la tangente nel punto è parallela all'asse x o a tangente verticale ascendente se la tangente nel punto è parallela all'asse y o se la curva volge la concavità verso il basso a sinistra del punto di flesso verso l’alto a destra, se la curva volge la concavità verso l’alto a sinistra del punto di flesso e verso il basso a destra.

Derivabilità implica continuità

Se una funzione è derivabile in un punto X, allora è anche continua in quel punto.

Derivabilità condizione necessaria per la continuità.

Ipotesi: f definita (a,b) compreso in tutto R derivabile in X₀ appartenente in (a,b).

Tesi: f è continua. Dimostrazione per assurdo negando la tesi e trovo qualcosa di contraddittorio (quindi se è continua è anche derivabile) FALSO.

Calcolo il limite della mia funzione ausiliaria, poi spezzo in tre limiti, lim (h→0) di h=0 e quindi i primi due membri si annullano.

Il rapporto incrementale si calcola con F(X₀) + H - F(X₀) per il primo e secondo principio di equivalenza posso moltiplicare e dividere per H. Si fa il limite (h→0) di f(x₀+h)= lim (h→0) di f(x₀+h)-f(x₀)*lim (h→0) di h+lim (h→0) di f(x₀).

Se f non è continua in x con zero allora non è derivabilità in x con 0. lim→ X₀ è uguale alla funzione calcolata nel punto.

Teorema sulle funzioni crescenti e decrescenti

Una funzione crescente su un intervallo è una funzione che assume valori crescenti al crescere dei valori di ascissa; al contrario una funzione decrescente è una funzione che assume valori decrescenti al crescere dei valori di ascissa nell’intervallo.

Dimostriamo che la funzione è crescente. Se f’>=0 allora questa è crescente. Presi due punti X₁ e X₂ (continui e derivabili) sappiamo che X₁<X₂ nell’intervallo di (a,b). Vale il teorema di Lagrange dove F(X₀) continua in (a,b) e derivabile allora esiste almeno un punto in X₀ tale che F(b) - F(a)=F’(X₀) * (b-a). F’(X₀)= f(b) - f(a) / (b-a). Il numeratore e denominatore possono essere positivi e negativi.