Tracce svolte Analisi Matematica 2

D

dove D é il dominio

2 2 2 2

D = (x; y) : 1 x + y 9; x 0 [ f(x; y) : 1 x + y 9: y xg:

Svolgimento:

Passando alle coordinate polari risulta

Z

Z 3 2

2 d d

2

4+

3 1

4

Dunque

Z h i

3 3

5 4 5 3 1

5

2 d = 2 8 arctg 1 4arctg + 4arctg :

=

2

4 4 + 4 2 2 2 2

1

1

Esercizio 10: !

p 2 2

x + y

Calcolare il ‡usso del campo vettoriale = uscente dalla

F k

z

2 2

porzione del paraboloide de…nita da x + y 3z 9:

Svolgimento: 1 2 2

La super…cie assegnata x + y z 3 la si puo’ vedere come unione

3

delle due seguenti super…ci S che rappresenta il parabolide

1

1 2 2 2 2

di equazione z = x + y ; dove (x; y) 2 D = f(x; y) : x + y 9g ed

3

S che rappresenta il piano di equazione z = 3; dove

2 2 2

(x; y) 2 D = f(x; y) : x + y 9g: Calcoliamo i vettori relativi alla prima

ed alla seconda super…cie. Nel caso di S risulta:

1

8 x(u; v) = u

< y(u; v) = v

S : ;

1 : 1 2 2

z(u; v) = u + v

3

2 23

dove (u; v) 2 D; otteniamo ' = (1; 0; u); ' = (0; 1; v); da cui

v

u 3

i j k 2

2

2

1 0 u

' ^ ' = u) + v) +

= j( k:

i(

u v 3 3 3

2

0 1 v

3

Nel caso di S si ha che

2 8

< x(u; v) = u

y(u; v) = v

S :

1 : z(u; v) = 3

8

0 0

dove (u; v) 2 D; otteniamo ' = (1; 0; 0); ' = (0; 1; 0); da cui

u v

i j k

0 0 1 0 0 =

' ^ ' = k:

u v 0 1 0

Il ‡usso uscente dalla super…cie sarà la somma dei ‡ussi uscenti dalle due

superi…ci considerate. Cominciamo a calcolare quello

uscente dalla superi…cie S ; per il quale occorre invertire il segno al vettore

1

normale alla superi…cie per ottenere il ‡usso uscente dalla

super…cie e non quello entrante:

Z

= v) [ (' ^ )] dudv

'

F(u;

1 u v

D !

p

Z 2 2 2 2

u + v

= 3 u) + v) + dudv

k i( j( k

2 2

u + v 3 3

D

Z 1

p

= 3 dudv

2 2

u + v

D

a questo punto passiamo alle coordinate polari ed otteniamo:

Z Z

2 3

=3 d d = 18 :

1 0 0

Calcoliamo adesso il ‡usso uscente dalla superi…cie S :

2

Z 0 0

= v) (' ^ ) dudv

'

F(u;

1 u v

D

Z p

1 2 2

= u + v dudv

3 D

a questo punto passiamo alle coordinate polari ed otteniamo:

Z Z

2 3

1 2

= d d =6 ;

2 3 0 0

da cui = 24 :

Per il secondo esercizio facoltativo, dalla applicazione del secondo Teorema

di Guldino ne discende che Z 64 :

Area = 2 y L( ) = 2 y ds =

G 3

(G = baricentro di )

9

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO

Svolgimento della prova scritta di Matematica II

12 Gennaio 2010

Esercizio 1

4

In si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

R 4

V = h(1; 0; 1; 2) ; (3; 1; 0; 2) ; (5; 1; 2; 2)i , W = (x; y; z; t) 2 j x 3y + 2t = 0

R

calcolare la dimensione e una base ortonormale di V ;

a) ?

calcolare la dimensione e una base di V + W ;

b) dire se V \ W = f0g.

c) Svolgimento

a) Si osservi che 1

0 1 0 1 2 A

@ 3 1 0 2 = 2 = dim V

rk 5 1 2 2

e una base di V è data da B = f(1; 0; 1; 2) ; (3; 1; 0; 2)g. Applicando il

V

procedimento di Gram-Schmidt a tale base, si ha:

(1; 0; 1; 2) 1 1 2

p p p

v = = ; 0; ;

1 j(1; 0; 1; 2)j 6 6 6

1 2 1 1 2

1

0 p p p p p p

; 0; ; ; 0; ; =

v = (3; 1; 0; 2) (3; 1; 0; 2)

2 6 6 6 6 6 6

1 1 1 2

p p p p

= (3; 1; 0; 2) + ; 0; ; =

6 6 6 6

1 1 2

= (3; 1; 0; 2) + ; 0; ; =

6 6 6

1 5

19 ; 1; ;

= 6 6 3

0 12

v 19 1 5 38 12 2 20

2 =

v = ; 1; ; = ; ; ;

2 0

jv j 79 6 6 3 79 79 79 79

2 0

Una base ortonormale di V è data da B = fv ; v g .

1 2

V

?

b) Ricordando che V + W = hB [ B i e osservando che B =

? ?

V W W

f(1; 3; 0; 2)g e che

0 1

1 0 1 2

@ A ?

3 1 0 2

rk = 3 = dim V + W

1 3 0 2 1

? .

abbiamo che una base di V + W è data proprio da B [ B ?

V W

c) Osservando che dim W = 3 e che dim V + W 4, ricordando la relazione

di Grassman, abbiamo

4 dim V + W = dim V + dim W dim V \ W = 2 + 3 dim V \ W

=) dim V \ W 1

da cui concludiamo che V \ W 6 = f0g. 2

Esercizio 2 3

Data l’endomor…smo f di , la cui matrice rappresentativa è data da:

R 0 1

1 2 0

@ A

2 1 0

A = ;

1 1 0

calcolare la dimensione e una base di ker f e Im f ;

a. dire se f è diagonalizzabile su e su

R C;

b. dire se f è ortgonalmente diagonalizzabile su R;

c. calcolare una base per ogni autospazio reale

d. calcolare l’inversa di A, se possibile.

e.

Svolgimento

a) Osservando che jAj = 0 e che jA j =

6 0, si ha dim Im f = rkA =

1;2;1;2

2 e una base di Im f è data dalle prime due colonne di A, cioè B =

Im f

f( 1; 2; 1) ; (2; 1; 1)g. Ne segue che dim ker f = 1 e una base di ker f

si ottiene risolvendo il sistema lineare ridotto:

x + 2y = 0

ker f : 2x y = 0

le cui soluzioni sono ker f = f(0; 0; z) j z 2 da cui una base di ker f è

Rg,

B = f(0; 0; 1)g.

ker f

b) Calcoliamo gli autovalori di A attraverso il polinomio caratteristico:

2

jA hIj = h h + 2h + 5 = 0

da cui si ricavano gli autovalori 0, 1 2i, tutti gli molteplicità 1. Ne segue

che f non è diagonalizzabile su (perché non tutti gli autovalori sono reali),

R

mentre è diagonalizzabile su (perché ci sono tre autovalori complessi distinti).

C

c) L’endomor…smo non è ortogonalmente diagonalizzabile su perché A

R

non è simmetrica.

d) L’unico autospazio reale V corrisonde al ker f , quindi è già stato calcolato

0

al punto a).

e) Perché la matrice data sia invertibile, dev’essere det A 6 = 0 quindi, dai

calcoli svolti al punto a), possiamo concludere che nel caso in esame, A non è

invertibile.

Esercizio 3

Studiare la convergenza e, se possibile, calcolare la somma della seguente

serie numerica: +1

X (7n + 5)

n

( 1) 2

n +3

n=1

Svolgimento:

La serie assegnata è a segni alterni, in…nitesima e decrescente dunque con-

vergente per il criterio di Leibnitz. In particolare è decrescente, poiché:

0 0

7(n + 1) + 5 7n + 12 (7n + 5)

a = = = a ;

n+1 n

2 2 2

(n + 1) + 3 n + 2n + 3 n + 3

3

ed è in…nitesima essendo: 7n + 5

lim = 0;

2

n + 3

n!1

di conseguenza in base al criterio di Leibnitz risulta convergente.

Esercizio 4

Determinare i punti di massimo e minimo assoluti e relativi della funzione

p 2 2

x + 3y

f (x; y) =

Svolgimento

Calcoliamo il gradiente della funzione, esso risluta: !

2x 6y

p p

rf = ;

2 2 2 2

x + 3y x + 3y

di conseguenza l’unico punto critico risulterebbe il punto (0; 0) che però

rende nullo anche il denominatore, di conseguenza, non appartienendo al campo

di di¤erenziabilità della funzione, non è un punto accettabile. In realtà il punto

O(0; 0) è un punto di minimo relativo ed assoluto poiché la funzione in O assume

2

valore nullo ed inoltre essa è sempre positiva: f (x; y) 0; 8(x; y) 2 R :

Esercizio 5

Risolvere i seguenti problemi:

a. Determinare l’integrale generale della seguente equazione di¤erenziale:

p p 2

0000 000 00 0 2

8

y 6y + 10y 6y + 9y = 81 cos x 3 sin x

b. Determinare l’integrale generale della seguente equazione di¤erenziale:

0 0 0

x(2y 1) + 2y(1 2y ) 2(3y + 8) = 0

Svolgimento

a. Per calcolare l’integrale generale della equazione di¤erenziale seguente:

p

p 2

0000 000 00 0 2

8

y 6y + 10y 6y + 9y = 81 cos x 3 sin x;

che equivale a p 2

0000 000 00 0 2

y 6y + 10y 6y + 9y = 3 cos x sin x ;

+ p

0000 000 00 0

y 6y + 10y 6y + 9y = 3 cos 2x

consideriamo l’equazione omogenea associata:

0000 000 00 0

y 6y + 10y 6y + 9y = 0

4

da cui l’equazione caratteristica risulta:

4 3 2

6 + 10 6 +9=0

le cui soluzioni sono = i; = 3; di conseguenza la soluzione della

1;2 3;4

omogenea sarà: 3x 3x

y (x) = C e + C xe + C cos x + C sin x

o 1 2 3 4

A questo punto occorre individuare la soluzione particolare, che sarà del

tipo: y (x) = A cos 2x + B sin 2x

p

calcoliamone le derivate:

0

y (x) = 2B cos 2x 2A sin 2x

p

00

y (x) = 4A cos 2x 4B sin 2x

p

000

y (x) = 8A sin 2x 8B cos 2x

p

0000

y (x) = 16A cos 2x + 16B sin 2x

p

da cui segue p

0000 000 00 0 3 cos 2x

y 6y + 10y 6y + 9y =

+

16A cos 2x + 16B sin 2x 6(8A sin 2x 8B cos 2x) + 10( 4A cos 2x 4B sin 2x)+

p

6(2B cos 2x 2A sin 2x) + 9(A cos 2x + B sin 2x) = 3 cos 2x

da cui risulta che p p

5 4

3x 3x

y(x) = C e + C xe + C cos x + C sin x 3 cos 2x + 3 sin 2x

1 2 3 4 507 169

Calcolare l’integrale generale della equazione di¤erenziale seguente:

b. 0 0 0

x(2y 1) + 2y(1 2y ) 2(3y + 8) = 0

Innanzitutto, possiamo riscrivere l’equazione come segue:

5

0

y (2x 4y + 6) = x 2y + 16

+ x 2y + 16

0

y = 2(x 2y + 3)

le due rette sono parallele, per cui facciamo la seguente posizione

u = x 2y

da cui x u d x u(x) 1 1

0 0

y = ) y = = u

2 dx 2 2 2

che sostituendo nella equazione di¤erenziale assegnata, diviene:

1 u + 16

1 0

u =

2 2 2(u + 3)

+

1 u + 16 1 0

= u

2 2(u + 3) 2

13 0

= u

(u + 3)

di conseguenza trattandosi di una equazione a variabili separabili risulta:

Z Z

(u + 3)du = 13dx

+

2

u + 3u = 13x + C

+

2

(x 2y) + 3(x 2y) = 13x + C

Esercizio 6:

Assegnata nel piano la forma di¤erenziale lineare seguente

y 2 y

!(x; y) = (2xe 5y)dx + (x e 5x)dy;

se ne studino l’insieme di de…nizione, la chiusura e l’esattezza, e se ne deter-

minino, se il caso, le primitive. Si determini poi il suo integrale lungo la curva

di estremi (1; 0) e (3; 0) orientata nel verso delle x crescenti.

Svolgimento 2

Si tratta di una forma di¤erenziale de…nita su R , inoltre calcolando le

derivate ad incrocio, risulta: 6 y

@a(x; y) @(2xe 5y) y

= = 2xe 5

@y @y

2 y

@b(x; y) @(x e 5x) y

= = 2xe 5

@x @x

la forma di¤erenziale risulta chiusa ed essendo tale in un aperto semplice-

mente connesso, sarà anche esatta. Calcolia