Limiti e continuità, verifica su funzioni definite a tratti, grafico probabile, ricerca degli asintoti

Dominio: ≠ -2 ∧ ≠ 1

I =] -∞, -2[∪] -2, 1[∪] 1, +∞[ Semplificando il fattore +1: L = +2g(x) è una funzione uguale a f(x) in tutti i punti tranne in 1 dove non è definita. La funzione f(x) presenta una discontinuità di terza specie eliminabile, infatti abbiamo semplificato. La funzione f(x) è uguale a -2. Classifichiamo la discontinuità in x = 1 mediante il calcolo dei limiti: lim(x→+1) f(x) = lim(x→+1) -2 = +∞ lim(x→-1) f(x) = lim(x→-1) -2 = -∞ La funzione presenta una discontinuità di II specie. Il punto x = 1 va verificato per la continuità: lim(x→1) f(x) = 2 = lim(x→1) f(x) Se i limiti destro e sinistro sono uguali e valgono 2, allora la funzione è continua. Verifichiamo: lim(x→1) f(x) = lim(x→1) 2 = 2 La funzione presenta una discontinuità di II specie.

Perché il limite destro è un punto di infinito. Determina le equazioni degli eventuali asintoti obliqui della funzione.

La funzione è definita in: I = { x ∈ ℂ | x ≠ -2 } ± ∞ ∞,

Se i limiti a sono punti di allora cerchiamo gli eventuali asintoti.

Per le equivalenze asintotiche, abbiamo:

lim (5x - 3 + 2) / (2x + 4) = ~ = 2 + 4 / 2 = 2

quindi i due limiti agli estremi del dominio sono effettivamente punti di infinito.

lim (5x - 3 + 2) = ± ∞

x → ± ∞

Calcoliamo i parametri m e q relativi alla retta asintotica:

m = lim (5x - 3 + 2) / (2x + 4) = lim (5x - 3 + 2) / (2x + 4) = 2

q = lim (5x - 3 + 2) - 2(2x + 4) = lim (5x - 3 + 2) - 2(2x + 4) = -13 + 2 = -11

La retta asintotica ha equazione: y = 2x - 11

13 == -2 2 = 2

La funzione presenta anche un asintoto verticale di equazione

Il Dominio della funzione: 1 ≤ x ≤ ∞

I 4 ∪ 12∪41; ∞21∉I

In questo punto c'è asintoto verticale, verifichiamo:

lim x→∞ 1/0 = ∞

lim x→-∞ 1/0 = -∞

I limiti agli estremi del dominio:

lim x→∞ ~ ∞

lim x→-∞ ~ -∞

Calcoliamo i parametri m e q:

lim x→T 1^x = T

lim x→T 1/x = T

G(x) = 0 → x = 1

La retta asintotica è la bisettrice del II e IV quadrante con equazione: y = x

La funzione è definita in tutto R: x ≥ 0 ∀ x ∈ R

I = C =] -∞; +∞[

lim x→±∞ (1 + x) = ±∞

Calcoliamo i parametri m e q:

U = lim x→T 1/(d e1 + f) = ∞

|x + 1| ≤ √(1 *+)

−∞#= lim = lim = lim +1 *+ → +∞→T →T →T[ ]−XW = lim→T_b= lim +1+ `→ T→ −∞per _b= lim + 1 + = +∞ − ∞ g. h`→ TRazionalizziamo: +1 −i√ j_b _blim + 1 + = lim +1 + `⋅` +1 −i√ j→ T → T+1−= lim +1 −i√ j→ T ⎡ ⎤1 1 1⎢ ⎥ = lim ( )= =0= lim −2 +∞⎢ ⎥1→ T → T| |d1 + –⎣ ⎦L’ordinata all’origine è nulla.La retta asintotica è la bisettrice del II e IV quadrante con equazione:==−→ +∞Discorso analogo perLa retta è la bisettrice del I e III quadrante: ==Dominio della funzione: 1 1r≠c8 −1≠0→ → ≠8 21I = C t u2\1 1I = (−∞; ) ∪ ( ; +∞)2 2= è un punto di discontinuità, ci aspettiamo un asintoto verticale, verifichiamo:1 151 −1− ^ 16 16lim = lim = = = −∞8 −1 0 0→ →

1 151 −1− ^ 16 16= lim = = = +∞lim 8 −1 0 +M→ →= è effettivamente asintoto verticale per f(x)

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

Osserviamo che la funzione è un rapporto tra due infiniti di cui quello al numeratore di ordine superiore,

1− 1^ ^= ~−8 −1 81~− 81lim = lim − =∓∞8→±T →±Til limite è infinito.

Calcoliamo i parametri m e q:

1 1 1U = lim = lim − ⋅ →U=−8 8→T →±T 1 1[ ]W = lim − X = lim + \→W=0[− 8 8→T → TL’ordinata all’origine è nulla.

La retta asintotica ha equazione: 1==− 8

Dominio della funzione: G02 4 G0→2 2 G0→# G2I ∞; 0 ∪ 0; 2 ∪ 2; ∞0∧ 2 sono punti di discontinuità, in essi la funzione non è definita, calcoliamo i limiti2 0lim lim 2 4 0→ →Scomponiamo la frazione algebrica:2 2 1 22 2 2 2 24 1 2 1w+x

→0→ 2 2 20La discontinuità in è di III specie, eliminabile.2 4lim ∞lim 2 4 0→ →2 è asintoto verticale per f(x)Calcoliamo ora i limiti agli estremi del dominio.Osserviamo che la funzione è un rapporto tra due infiniti di cui quello al numeratore di ordine superiore,w+x → <∞2 1→ ~2 4 21~ 21lim lim <∞2→<T →<Til limite è infinito.Calcoliamo i parametri m e q:2 1 2 1U lim lim ⋅ lim2 4 2 4 2→T →T →Tpoichè:2 1 1~2 4 2 22 4W lim X→T −2 1= lim Y − Z2 −4 2→T −2 1 −2 − +2 2 −2 2 −1= lim Y − Z = lim Y Z = lim Y Z = lim2 −2 2 2 −2 2 −2 2 −2→T →T →T →T−1= lim =1−2→TL’ordinata all’origine è q=1La retta asintotica ha equazione: 1== +12Traccia il grafico probabile• Dominio• Simmetrie (pari o dispari)• Intersezionecon gli assi

• Studio del segno
• Limiti agli estremi del dominio per la ricerca degli asintoti
• Grafico

1) Dominio della funzione: 0→ G < 3−9 ≠ I ∞; 3 ∪ 3; 3 ∪ 3; ∞ → Il dominio D è simmetrico rispetto all’origine la funzione è dispari, verifichiamo !! 3∧ 3 sono punti di discontinuità, in essi la funzione non è definita. 2) Simmetrie: 2 2 → è z0*w x09 9 il grafico risulta quindi simmetrico rispetto all’origine. 3) Intersezioni con gli assi: 2 2 0 0=∩ **+ : →t →t → | 0; 0% 9 = 0 = 0= 0 2 0%= = 0∩ **+ : →% → | 0; 09 9} 0 0 La funzione interseca gli assi solo nell’origine. 4) Studio del segno: € 0•~ 2 € 0 € 0→## 9€ 0 ' 3∨ € 3= € 0 0 3; 0 ∪ 3; ∞= ' 0 0 ∞; 3 ∪ 0; 3 5) Limiti: ~•~ Per la simmetria di e per l’ordine di infinito: 2 2 2 2 lim lim ( ) lim ( ) 0 lim lim ( ) lim ( ) 0 M 9 9→T → T → T →MT →MT →∓= 0 è asintoto orizzontale per la funzione. L'asse delle ascisse Non cerchiamo asintoto obliquo in presenza di asintoto orizzontale< 3: Situazione analoga per i punti 2 6 2 6lim lim ( ) ∞ lim lim ( ) ∞9 0 9 0 M→ → → →2 6 2 6lim lim ( ) ∞ lim lim ( ) ∞9 0 9 0 M→ → → →3 + 3 sono asintoti verticali 6) Grafico Traccia il grafico probabile 1) Dominio della funzione: 6 G 0→ 6 G0→ G0∧ G 6+I ∞; 6 ∪ 6; 0 ∪ 0; ∞0∧ 6 sono punti di discontinuità, in essi la funzione non è definita. 2) Simmetrie 1 G → . è w x06G → . è z0*w x0 Non ci sono simmetrie. 3) Intersezioni con gli assi 1 11 0‚=∩ **+ : →t →t →ƒ 1; 06 = 0= 0= 02%=∩ **+ : ∅ ∉I9} 0RICORDA !!!0 ∉ I, ∅ Quando l'intersezione è La funzione interseca l'asse delle ascisse in A. 4) Studio

del segno1 €06 € 1 € 11€0 →t →#t 6 €0 ' 6∨ €06 €04 40;= € 0 0 6; 12 ∪ ∞24 4= ' 0 0 ∞; 62 ∪ 1; 025) Limiti 1lim lim lim lim <∞8 96→<T →<T →<T →<Tnon ci sono asintoti orizzonatli.1 6 1 217lim lim ∞6 6⋅0 0 M→ … → … M ‡ ‡lim lim ∞r M… …⋅→ … → …6 è asintoto verticale1 1lim lim ∞6 0→ → 1 1lim ∞lim 6 0 M→ →0 è asintoto verticaleCerco l’asintoto obliquoCalcoliamo i parametri m e q:1 1U lim lim ⋅ lim →U 16→T →T →T12 4W lim X lim Y Z6→T →T1 6lim Y Z6→T 1 6 6Y Z lim 6→W 6lim 6→T →TLa retta asintotica ha equazione: = 6è una retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante e con intercetta a -6.6) GRAFICO Traccia il grafico probabile1) Dominio della funzione:

La funzione è definita in tutto R perché il denominatore non può essere uguale a zero.