Limiti e continuità, verifica su funzioni definite a tratti, grafico probabile, ricerca degli asintoti

Analisi matematica

Calcolo dei limiti

Esercizi svolti

Funzioni continue

Classificazione dei punti di discontinuità

Ricerca degli asintoti grafico probabile novembre 2021.

Disegna il grafico delle funzioni, verificando che sono continue nei punti segnati a fianco. Rappresenta la funzione e indica se è continua nel suo dominio.

Determina i valori dei parametri affinché le seguenti funzioni siano continue in tutto R. Discontinua. Discontinua continua in c f(x) non è definita.

• Specie punto di
• Specie eliminabile
• Infinito

Disegna il grafico delle funzioni, verificando che sono continue nei punti segnati a fianco. La funzione è definita per casi. Il grafico è costituito da due semirette che hanno origine in.

lim lim 1 → → → se allora la funzione è continua. lim lim 2 2 0→ → lim lim 1 0→ → i limiti sono uguali tra loro e all’immagine di f in, quindi la funzione è continua.

Il grafico è formato da un tratto lineare per x < 1 e un tratto di curva logaritmica per. Verifichiamo se sussiste l’uguaglianza dei due limiti destro e sinistro.

lim lim 2 1 1→ → lim lim 0→ → i limiti sono diversi e finiti. La funzione presenta una discontinuità in x=1.

Determina i valori dei parametri affinché le seguenti funzioni siano continue in tutto R.

Calcolo l’immagine di f in 3 3 3 6 0. Impongo che sia uguale al limite destro: lim 0→ ∗→ lim ! 0→ 3 ! 0→ 2.

Calcolo l’immagine di f in 2 2 ! Impongo che sia uguale al limite destro: lim 2 !→→ lim 2 !→8 2 !→ le due equazioni risolventi: 3 +! =0 !=3 !=6# →# →#8+ =2 +! 4 =8 =2.

L’espressione della funzione è: + −6 ≤ −3= % 2 + 6 −3< ≤2+2 ≥2=2.

Calcolo l’immagine di f in 2 =3 =3. Impongo che sia uguale al limite sinistro: lim =3→ +→ lim ( )=3→2+ =3→ =13−→ +1 *+ <2= %3 − *+ ≥23.

Se lim = lim = 0 → è -./0 1→ → lim [ln 1 − −2 ] = 1 − 2 = −2→ cos − + cos − 1 + 1 − +lim =2 2→ cos − 1 + − 1 cos − 1 + −1= lim − = lim − lim8 92 2 2 2→ → →1 cos − 1 1 + −1= lim − lim2 2→ →1 1 1= lim ⋅ 0 − lim ⋅1=−2 2 2→ → uguagliamo: 1 1 1−2 = − →a = →a=±2 4 2.

Disegna i grafici delle seguenti funzioni nell’intervallo indicato a fianco, controlla le ipotesi del teorema di Weierstrass e, quando è possibile, determina il massimo M e il minimo m della funzione. Nell’intervallo indicato la funzione è continua.

• È combinazione lineare di due funzioni elementari entrambe continue.
• Il dominio è un intervallo chiuso e limitato.
• Il teorema di Weierstrass è applicabile, quindi esiste massimo M e minimo m. >2; 4.

La funzione quadratica ha per grafico una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate e vertice. Nell’intervallo indicato la funzione assume sempre valori negativi. 0→ 0 0- il massimo è in 2,- il minimo, in corrispondenza del vertice, si ha in dove la funzione assume valore -4.

La scrittura per indicare massimo e minimo valore assunti da f(x): min 4 max 0 20;: 44 → C.

Verifica della continuità

lim lim → → lim lim 2 1 2 1 1→ → lim lim 1 √ F→ → lim G lim → → i due limiti sono finiti e diversi, la funzione ha una discontinuità di prima specie, presenta un salto. Il teorema di Weierstrass.