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Risoluzione dell'equazione irrazionale
X X$ 4 3 Y∗ 4 3 0∩ : →Y $ 0$ 0!* Risolviamo l’equazione irrazionale del tipo:S0\ S0\ ⇔NX \T 3∨ S 1Ovvero: S04 3S0 S0 3→A →## S0 3 -04 3 44la soluzione non è accettabile, non c’è intersezione con l’asse delle ascisseStudio del SegnoX 4 3 +0X 4 3+ \ S0 \ -0+\ ⇔% ∪%X S0+ \Studiamo la disequazione irrazionale del tipo:S0 -0∪,, 4 3S04 3+ -0S0 ∪,, T 3∨ S 14 3+0S0 -03 ∪, → T 3∨ S 1# T 3∨ S 1+ 4L’unione coincide con il dominio 9Analisi MatematicaLa funzione è perciò positiva in tutto il suo dominioMettiamo nel piano cartesiano dominio e segnoLimiti^Xlim 4 3 _ √∞ ∞ ∞ `. Q/ .!→)4Riscriviamo in modo da risolvere l’indeterminatezza→0dlim ^1 _ → ∞bc e Nd : ! →0:! !!→)4 ( per ! (^Xlim _!→)4 | |lim!→)4 , -0| | , , S0N.B. :lim!→)4lim 2 2 ∞ ∞!→)4 → ∞Cerco eventuale asintoto
obliquo per4 3 2√f lim lim lim 2→f 2!→)4 !→)4 !→)4hX hXg lim G lim 4 3 2 lim 4 3 ∞ ∞i i!→)4 !→)4 !→)4 4 3V√ WRazionalizziamo per risolvere la forma indeterminata^X ^Xlim 4 3 _ lim 4 3 _⋅ 4 3V√ W!→)4 !→)44 3g lim k l4 3√!→)44 3 4 3 4 3lim lim lim 2→g 2m n| | 2!→)4 !→)4 !→)4 $ 2 2La retta asintotica ha equazione: 10Analisi Matematica^Xlim 4 3 _ ∞ ∞!→84Razionalizziamo ancora per risolvere la forma indeterminata 4 3V√ W^X ^Xlim 4 3 _ lim 4 3 _⋅ 4 3 WV√!→84 !→844 3lim 4 3 WV√!→84 4 3lim 4 3 WV√!→84 4 3lim 4 3!→84 bc ^1 _ e4 3lim √!→84 4 3 4lim lim 2| | 2!→84 5→84$ 2 è asintoto orizzontale destro per la funzioneNon cerchiamo asintoto obliquo a destra in presenza di asintoto orizzontale.^Xlim 4 3 _ 3!→): ^Xlim 4 3 _ 1!→)I3 1 sono punti del domino. in essi la funzione è
continua.
GRAFICO 11
Analisi Matematica
La funzione è razionale fratta, per la ricerca del dominio dobbiamo imporre che il denominatore sia non nullo. Dominio della funzione: 0 → 6, 0 → 0∧6+6 ∈ ∞; 6 ∪ 6; 0 ∪ 0; ∞0∧6 sono punti di discontinuità, in essi la funzione non è definita.
Simmetrie
1: → /F/ è 6
1: → /F/ è 6
Non ci sono simmetrie.
Intersezioni con gli assi
1: 11 0$ :∩ : →% →% →o 1; 0N 6 $ 0$ 0! $ 02$ →∅∩ : # 9' 0
RICORDA !!! 0 ∉ ∅
Quando , l'intersezione è
La funzione interseca l'asse delle ascisse in A.
Studio del segno
1: +06 + 1 + 11+0: →% →%, 6 +0 - 6∨ +06 +0$+0 / 6; 1 ∪ 0; ∞$-0 / ∞; 6 ∪ 1; 0
Limiti
1: :lim lim lim lim ∞b e6!→ 4 5→ 4 !→ 4 !→ 4
Non ci sono asintoti orizzontali.
12Analisi Matematica
Potrebbe esserci asintoto obliquo.
1 6 1 217: :lim lim ∞6 6 ∙ 0 0) 8!→)p
5→)p; ; 1 217 217:lim lim ∞6 6 ⋅ 0 08 8!→)p 5→)p= =6 è asintoto verticale1 1:lim lim ∞6 0 )!→H 5→H; ; 1 1:lim lim ∞6 0 8!→H 5→H= =0 è asintoto verticale $ G r.Cerco l’asintoto obliquo di equazione Trovo i parametri em q:1 1: :f lim lim ⋅ lim →f 16 :!→4 !→4 !→41:G lim k lg lim 6!→4 !→41 6: :lim k l6!→4 1 6 6k l lim 6→g 6lim 6!→4 !→4 $ 6La retta asintotica ha equazione:è una retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante e con intercetta a -6.GRAFICOLa funzione interseca l’asintoto obliquo. 13Analisi MatematicaDominio∞La funzione è definita in tutto R perché il denominatore dell’esponente è sempre positivo e mai nullo.= −∞;Simmetrie )!8I %! 8I(Non ci sono simmetrie.Intersezioni con gli assi$ 0s=t s=t∩ : →Y → ∅Y s( s(=t =t$ 0$ 0! La funzione non è mai nulla.$!8If(x)
non ha zeri.
La funzione interseca l'asse delle ordinate in A.
Studio del segno !8I +0 ∀ ∈u! 8I(
La funzione esponenziale a base positiva è sempre positiva.
Limiti !8Ilim lim 1H );! 8I(!→)4 5→)4 !8Ilim lim 1v 8=! 8I(!→84 5→84$ 1 è asintoto orizzontale per f(x).
Non cerchiamo asintoto obliquo in presenza di asintoto orizzontale.
Eventuali intersezioni di f(x) con l'asintoto ? 1!8I !8I 0Y$ 1→Y →# →% →w 1; 11! 8I ! 8I( ( $ 1$ 1$ 1 $ 1
La funzione interseca l'asintoto orizzontale in B.
Analisi Matematica
Dominio∞
La funzione è definita in tutto R perché il denominatore dell'esponente è sempre positivo e mai nullo.
= −∞;
Simmetrie 1)! %4)!
Non ci sono simmetrie.
Intersezioni con gli assi1 1! ! 01 0$ 0 !∩ : →N →% →%N 4 4 $ 0! ! $ 0! $ 0 $ 01!
Il grafico passa per l'origine.
$ 0$: →,∩ # 4! 0'
Studio del segno:
1 + 1! ! + 0 → + 0, ∀ ∈ 4! + 0
La funzione è positiva per:
Essendo il denominatore sempre positivo
Limiti:
lim lim 1/4 → 1/4
lim lim 4/4! → 4/4
lim lim 4/4! → 4/4
lim lim 4/5 → 4/5
lim lim 4/∞ → 0
Id è asintoto orizzontale a sinistra per f(x) = 1
lim lim ~ lim 1/4 e! 5 → 8/4
lim lim ~ lim 1/4 e! 5 → 8/4
lim lim ~ lim 1/4 e! 5 → 8/4
1 è asintoto orizzontale a destra per f(x)
Non cerchiamo asintoto obliquo in presenza di asintoto orizzontale.
Analisi Matematica
GRAFICO
Analisi Matematica
Dominio
La funzione è logaritmica con argomento razionale fratto.
C+0 + 0
Il dominio è l’insieme dei valori reali che rendono positivo e mai nullo l’argomento:
0 →, →, → - 3 ∨ +0 + 0 < 3 ∪ 0; ∞
Simmetrie
ln ln)! !)!8: !): → la funzione non è pari
^ln _!!8: → la funzione non è dispari
Intersezioni con gli assi
ln !∩ : →∩ ∅ 0 ∉ Y !8:' 0 perché
ln∩ : # 3! $ 0 ln 0 → # 3
1 → # 3
0 1 0 → # 3
0
Ricordiamo che:log 0 → 13 |0→# 3 log +0 → + 1 +1$ 0 | selog +0 → - 1 0 - -13 |0→# →∩ ∅ se3$ 0
Il grafico non interseca gli assi cartesiani
Studio del Segnoln ^ _+03+13 31+0→ +0→ - 33 3 ∞; 3
La funzione è positiva in 17
Analisi Matematica
Mettiamo nel piano cartesiano dominio e segno
Limiti agli estremi del dominio 3 ∪ 0; ∞= −∞;lim ln ^ _ ln 1 03!→ 4$ 0 3è asintoto orizzontale per la funzione
lim ln ^ _ ln 6 7 ln ∞ ∞3 0 )!→): ; 3 è asintoto verticale sinistro per f(x)
0 8ln ^ _ ln ln 0 ∞lim b e 83 3!→H =0 è asintoto verticale destro per f(x). GRAFICO o. }.o. &. $ 0 o. }. 18
Analisi Matematica
Le funzioni goniometriche
Lo studio delle funzioni goniometriche è particolare data la loro periodicità, ovvero esse si ripetono adintervalli costanti, nel loro dominio, di ampiezza pari al periodo della funzione. Se non è dato
L'intervallo entro cui studiare una funzione goniometrica allora è opportuno determinarne il periodo e fare riferimento ad esso.
Dominio
La funzione è goniometrica fratta.
sin(x) cos(x)
Le due funzioni hanno lo stesso periodo che è anche il periodo comune e quindi il periodo è 2π.
Per la ricerca del dominio dobbiamo porre il denominatore diverso da zero:
sin(x) ≠ 0
La funzione seno assume valori compresi nell'intervallo [-1;1], essa vale 1 quando (vedi grafico della sinusoide) 2π.
Dobbiamo allora escludere dal dominio tutti questi punti, che si ripetono con periodo 2π.
I punti da escludere sono 2π.
Il dominio è il seguente insieme: x ∈ (-∞, 2π) U (2π, +∞)
Simetrie
Sappiamo che la funzione seno è dispari e la funzione coseno è pari:
cos(-x) = cos(x)
sin(-x) = -sin(x)
Sostituendo nella funzione data:
f(x) = sin(x) + cos(x)
‡ˆ‰ !8I → la funzione non è pari…†‡ !‡ˆ‰ !)I → la funzione non è dispari
Analisi Matematica
Non ci sono simmetrie
Intersezioni con gli assi
$ 1cos →,sin 1$= 0∩ : Y 0' o 0; 1cosil grafico interseca l’asse delle ordinate in$∩ : # sin 1! $ 0cos •cos 00 2ƒ•→ →# →## sin 1 2$ 0 $ 0$ 0 2ƒ• ∉ 2ƒ•‚ ‚Ricordiamo che , accettiamo solo i punti con ascissa3w 6 •; 072 2ƒ•; 0_^– ‚il grafico interseca l’asse delle ascisse nei punti 0; 2•N.B. Rappresentermo il grafico solo in un periodo compreso tra2• •‚
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