Limiti

i limiti

Introduzione

Intorno di centro x e raggio δ - l’insieme B_δ(x) = {x’ - δ < x < x’ + δ}

• L destro = B_δ⁺(x) = {x < x’ < x + δ}
• L sinistro = B_δ^-(x) = {x - δ < x < x’}

Punto interno se es ∃δ > 0: B_δ(x) ⊂ D

Porte interna (i^o) = insieme dei punti interni a D

Esterno se es ∃δ > 0: B_δ(x) ∩ D = ∅

Punto isolato se es ∃δ > 0: B_δ(x) ∩ D = {x}

Punto aderente se es ∀δ > 0: B_δ(x) ∩ D ≠ ∅

Chiusura di D (D⁻) = insieme dei suoi punti aderenti

Punto di accumulazione se es ∀δ > 0: [B_δ(x) ∩ D] - {x} ≠ ∅

x se e’ punto aderente non isolato

Def.

Sia D⊆ℝ, f: D→ℝ, x punto di accumulazione e L∈ℝ, diciamo che lim_x→x f(x) = L → ∀ε>0 ∃δ>0: x∈(B_δ(x))∩D → |f(x) - L|<ε

Lim unilateri

• L limite destro L’ = lim_x→x0⁺ f(x) <→ ∀ε > 0 ∃δ > 0: x > x₀ < x < x₀ + δ <→ |f(x) - L’| < ε
• L limite sinistro L” = lim_x→x0^- f(x) → ∀ε > 0 ∃δ > 0: x₀ - δ < x < x < x₀ → |f(x) - L”| < ε

Teorema

Sia D⊆ℝ, f: D→ℝ e f: D→ℝ e x punto di accumulazione, diciamo che lim_x→x0 f(x) = L se e solo se { lim_x→x0⁺ f(x) = L lim_x→x0^- f(x) = L

Algebra dei limiti finiti

Siano D₁⊆ℝ, F: D₁→ℝ e D₂⊆ℝ e g: D₂→ℝ e sia x punto di accumulazione, D_g∩D_f ≠ ∅

Supponiamo che lim_x→x f(x) = L e lim_x→x g(x) = L₂

1. α) L + L₂
2. β) L - L₂
3. γ) L ⋅ L₂
4. δ) L/L₂

lim_x→x0⁺ f(x) = L se e solo se ∀ε>0 ∃M&gt;0: x

• lim_{x→x0 f(x)}
• lim_{x→x0 f(x)}
• lim_{x→x0 f(x)}

Asintoto obliquo:

Sia f: (a,+∞) → ℝ, f ammette un asintoto obliquo y = mx + q se e solo se

• \( \lim_{{x \to +\infty}} [f(x) - (mx + q)] = 0 \)

Teorema dell’asintoto obliquo

Dato \( f: (a,+∞) \to ℝ \), S punto fisso, se esiste finito

• \( \lim_{{x \to +\infty}} \frac{{f(x)}}{x} = m \)
• \( \lim_{{x \to +\infty}} [f(x) - mx] = q \)

Allora \( y = mx + q \) è asintoto obliquo di f.

Teorema di unicità del limite

Sia D⊂ℝ,f: D → ℝ e S punto di accumulazione per D,

se \(\exists l: \lim_{{x \to S}} f(x) = l \), allora l è unico.

Dim: (per assurdo)

Teorema di caratterizzazione di limite

Sia D⊂ℝ,f: D → ℝ, S punto di accumulazione,

allora dire che \(\lim_{{x \to S}} f(x) = l \) è equivalente a dire che

• \(\forall x_n \in D \) tale che \( \lim_{{n \to +\infty}} x_n = S \) si ha che \( \lim_{{n \to +\infty}} f(x_n) = l \)

Teorema di locale limitatezza

Sia D⊂ℝ,f: D → ℝ, S punto di accumulazione e \( \lim_{{x \to S}} f(x) = l \) (l₁ e \(\forall I(x): \exists \epsilon > 0 \forall x \in (S-\epsilon, \epsilon)\cap D )\),

allora

Teorema della permanenza del segno

Sia D⊂ℝ,f: D → ℝ, S punto di accumulazione e \( \lim_{{x \to S}} f(x) = l \) (le\(\, \gt \,0\))

allora

• \(\exists \epsilon > 0 \,\, \forall x \in (S-\epsilon, \epsilon) \cap D\)

Teorema di monotonia

Siano D_g⊂ℝ,f: D → ℝ, S punto di accumulazione per D_g e D_g,

supponiamo che

• \( \lim_{{x \to S}} f(x) = l_1 \, e\, l_2\)
• \(\lim_{{x \to S}} g(x) = e_2\)

Allora l₂≤l₂.

Teorema dei Caramba

Siano D_g⊂ℝ,f: D → ℝ

• \(\lim_{{x \to a}} f(x) = L \)
• \(\forall I(x.\exists_g: g(x), \forall x \in D\cap D_a, \forall t: \in D\cap D_D a D_a\)

Allora \( \lim_{{x \to x}} f(x) = l \).

Teorema delle funzioni monotone

Siano D⊂ℝ,f: D → ℝ una funzione STR. Monotona e S punto ai accumulazione, allora:

• Se è crescente: \(\lim_{{x \to S^-}} = l \, (l \, e \, \epsilon \, \leq \, x: x \in D \, x \, S) \)
• Se è decrescente:

Teorema di punto fisso

Sia f: [0,1] ➝ [0,1] continua, allora ∃ξ ∈ [0,1] : f(ξ) = ξ.

Dim: se f(0) = 0 o f(1) = 1 è punto fisso.

Se a = inf{ x ∈ [0,1] : f(x) = x } e b = sup{ x ∈ [0,1] : f(x) = x } e f(a) = a, f(b) = b sono i punti fissi.

Allora a < b abbiamo che:

1. x ∈ (a, b] e chiuso e limitato
2. c) g(x) = f(x) - x continua
3. si ha g(a) = f(a) - a ≤ 0
4. g(a) = f(a) - a ≥ 0
5. g(a) tiene il teorema degli zeri in [0,1], Quindi ξ ∈ [0,1] : g(ξ) = 0
6. ξ ∈ (a,b) : g(ξ) = 0
7. g(a) = f(a) - a ≤ 0
8. g(b) = f(b) - b ≥ 0
9. Allora ∃ξ : ξ è punto fisso, e v. d.

Teorema dei valori intermedi

Sia f: [a,b] ➝ R continua.

∀c ∈ [a,b] ∋ f(a) = m e f(b) = M ∋ m ≤ x ≤ M

∀y ∈ [a,b], ∃ξ ∈ [a,b], : f(x) - y = (x)

Dim:

1. g = M - ξ : x = m
2. g = m : x = x_m
3. se g = (m, M) costruiamo g: [m, M] ➝ R
4. g(x) = f(x) - ȳ
1. Em, M, l
2. [m, M] è chiuso e limitato
3. by _z continua in [m, M] ⊆ [a, b]
4. c) g(x) = {f(x_m) - ȳ} ⊘ 0
5. g(x_m) = {f(x_m) - ȳ} > 0
5. Allora soddisfa il teor. degli zeri nell’intervallo (m, M)

Pertanto ξ ∈ [m, M], g(ξ) = 0

• xiϵ (a,b) ⊆ g(x) - (x)

Continuità e invertibilità

Teorema

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f: I ➝ R str. monotona, allora f^-1: Im(f) ➝ R è continua.

Teorema

Sia I ⊆ R, x̂ e f: I ➝ R continua:

1. se f è invertibile ⟺ f è str. monotona
2. se f è invertibile ⤬ f^-1 è continua