Limiti

C

n p +

- ml

[-os

e definitivamente

E

liman allora

se anim

= ,

+C

n b

- Sony

Sony

Sanz

Teorema Del tall

successions

the che

siano ,

,

Confronto definitivamente

an buch

3 e v[10]

e

Del

O e

: Limen limbn

allora

liman

se = =

= 0 C

n-1

-p n

+ + +

D

-

CARABINIERI on

an definitivamente

* to limbn co

allora

liman =+

=

C C

n

+

n +

-D b

-

*

Dn definitivamente

ch limbn

limch -o

allora

o =

= -

n + C

b n +

1

- - l 0 #0

. =

↑ e

prodotto

Il una

di limitata infinitesima

successione una infinitesima successione

una per

5 (non Contrario

e

Ogni è

limitata

convergente

successione vero Il on)

(an

LImp b

a +

+ =

+

D Bon)

(mn(an B

a

=

+ +

·

Sanz Sony due

e

siano (abn)

ALGEBRA Del A

Lim

tali

successioni che : *

:

LIMITI E IR

an

Lim a convergente

= -

+C

n b (t)

- 4

a

Limbn IR m

b Convergente

E =

= -e +

c

n +

0

- Can)bn a

Um a e

5 =

dei

Algebra Limiti

estesa

somma :

l

+ c

+ +

=

1

0 + 0

- = -

0

A C

+

+ =

+

A c

A = -

- - Indeterminata

Forma -e

+ co-os +o

: ,

prodotto :

2

al e

+

= s

+ ( 0( a)

+ + a

+ =

( a) ( b) 0

- = -

1 ( c)

c))

al o + c

=

se

+ -

-

=

- Indeterminata

Forma 000 -00

: + ,

Quoziente :

&

% 10

se eco

se

Stase

= e - -

a =-

+

= q

0

q o

+

-

= - =

+

[-

= 0

Indeterminata

Forma ,

:

a

elevamento potenza : -L

fot e

2 1 se

Se > I

20

.

etc ( c)l lo

ol

ocec1 se

Se 1

se < tes

+ =

l l

ot 0 eco

+ Ot

se se se

= =

1 79 00

90

Indeterminata

Forma (

: + ,

,

potenze : & se

C

+ >0

a

,

(an) =,

M 0

Se X =

,

+ se a

esponenziali : an

an + -

c

-b

S & b

D- 1

&

C se

1

+ >

se I

an Impan -

1 1

LIm b

D =

1

Se se

= = ,

n 0

+

D

- o b

+ 1

0 0 <

0

b se

se < <

1

<

, ,

logaritm : (

Um logpan B

+ Se

0

= ,

a

+ s

irregolari

successioni : I b

Co se

+ 1

>

LM b

1 1

Se =

I b

se-1

0 1

< <

,

*, bx-

se 1

-

(1)

simbolo o

Il : di

piccolo uno

o

allora

an una successione

sia :

o(1) proprietal

significa dire o

che :

an liman =

= H C

+

D

- 0(1)

0(1)

0(1) + =

0(1) 0(1)

0(1) =

- 0(1)

0(1) 0(1)

=

.

D (1)

o(1) ( EIR

c 0

=

-

(1 0(1)) 0(1)

(1

0(1)) +

+ =

.

1 0(1)

1 +

=

1 0(1)

+

equivalent)

asintoticamente

successioni :

Lanze Sony due

Siano successions nulle allora

non :

,

& n -1

on bn(1 0(1))

an-on an = +

o(1)

(1

bn an +

=

/buy

fany bn-an è

convergenti se Non viceversa

vero

e posso

se avere

sono =

e :

il

,

allora hanno lo successioni

Que

limite limite

stesso stesso

lo

con equivalenti

asintoticamente

che non sono

sostituzione : solo prodotto

quoziente

per e

Sany

Sany [b]

Sony an-an Dnubi

verificano

nulle

Siano che ,

e

successioni non :

,

, ,

,

allora -

andn-ann e per n

somme differenze

tale successioni

vale

teorema per

non tra

composizioni

e

, indeterminate

forme

Metodi risoluzione

per

(2nz-n3-3n5)

1) Um 0

n +

b

- >

- Raccoglimento

345(- 1) 35

-s

(m 0

+

= =

- = - -

C 2

n +

b

- >

- prodotto

n) notevole

(vnz

2) 1

Lim + -

c

n + (a

b b)

b)(a bz

az

- +

b = -

-

(vmz

- n)(v

Nnz m) = 0

n 1 1

1 +

+

+ + n

=

- -

-

unz 1 n

- + +

M - b)

+

3) b3 b)(a2

- (a

a3 ab +

+

=

- -

b

Punt 1)5(n

-1)((n 15

1)

- )

=

(n (n 1)

+ +

+ +

- -

A 1 0()

1 0

A 2

+ = =

= =

+ 3

115

115(n

~ NTh

NhH12 (n k

+ +

+ -

di

Limiti successioni monotone : la

limite l'estremo

coincide

sempre

successione monotona

una ammette che : superiore

con se

e

è L'estremo decrescente

successione con

crescente Inferiore se

,

Sany Allora

reali

valori

una successione

sia sei

a . 1

Gany e Serve inf

calcolare

Uman

crescente Il sup

per

sup e

e

= con

= Il Limite

sange infan

D an

decrescente m

= = n

+0

n b

+ di nepero

numero e

Il

1

um/1 e

e irrazionale

+ un numero

-

= 2

e 718

= ,

{bny divergente

successione

sia una ta

a 1)

Ab (1

(1 1

I +

e

+ =

= -

+ a

{bny divergente

successione

sia una ta

a abnlog(1 5)

10g(1 f)

um on um

1 = 1

+ = - -

+0

n n +

D +

- m)

loge(1

+ 1

+ =

↑

esempli + -)5 many

[(1

(1

=

m p

(1 q)" e

1) mo +

+ =

=

+

=

-

= /

(

2) i (1- [(1- 5

-

e

E

= = =

=

(n-alco loge(

) in

3) el A

1)

+m

im + + a

= .

c

n +

b

-

confronto tra infiniti : e

dice divergente

una successione infinito

si se

Sony

<ang due tendenti

e .

+

siano o

successioni oppure

a a -

fanz e

Sony le (bn]

è

Diremo di

infinito infinito

ordine rispetto

che superiore un

un a ,

any)

ad

di ordine inferiore Se

rispetto : +

= c

0 oppure = +

fattoriale

logaritml-potenze esponenziali composizione

- - -

2zncoonsn nu

cinchant

logyn ! <

<

↳ Alogab

cambio b

base : =

di

formula stirling :

(An

~

!

n