integrali multipli

Calcoliamo l'integrale interno

[ ] [ ] [ ]2 y [ ]∫ = ⋅ = ⋅2 y2 2 2exp y dx exp y x 2 y exp y00sostituiamo e andiamo a calcolare l'integrale esterno[ ] [ ] [ [ ]]( )1 1 [ [ ] [ ]]∫ ∫ 1⋅ = = = − = −2 2 2 22 y exp y dy exp y d y exp y exp 1 exp 0 e 100 0

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Calcolare l'integrale doppio

( )∫∫ −x y dx dyS r yS è il semicerchio di centro l'origine, raggio , contenuto nel semipiano delle positive.doveSoluzioneDisegniamo dapprima l'insiemePrimo metodo xConsideriamo l'insieme normale rispetto all'asse . − r re .I punti che fanno parte dell'insieme sono tutti e soli quelli che hanno le ascisse comprese traMentre ci ricaviamo l'ordinata dall'equazione implicita della circonferenza.+ =2 2x y r r y, esplicitando rispetto a troviamoè il luogo dei punti che hanno

distanza dall'origine uguale a→ →+ = = − = ± −2 2 2 2 2 2 2 2x y r y r x y r x= −2 2y r x .ovviamente prendiamo in considerazione solo la funzionepossiamo definire l'insieme { }( )= ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ −2 2 2S x y R r x r y r x, : , 0impostiamo il calcolo ⎛ ⎞−2 2r r x ⎟⎜( ) ( )∫∫ ∫ ∫− = −x y dx dy x y dy dx⎜ ⎟⎝ ⎠−S r 0svolgiamo l'integrale interno −2 2r x− − − − − ⎡ ⎤2 2 2 2 2 2 2 2 2 2r x r x r x r x r x 2[ ]( ) y∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −2 2− = − = − = − =r x ⎢ ⎥1x y dy x dy y dy x dy y dy x y 0 ⎣ ⎦20 0 0 0 0 0−2 2r x⎡ ⎤ −2 2 2 2 2[ ] y r x r x−2 2 − = − − = − − +r x 2 2 2 2⎢ ⎥x y x r x x r x0 ⎣ ⎦2 2 2 20sostituiamo e risolviamo l'integrale esterno)(r r r r2 2r x∫ ∫ ∫ ∫− − + =

− − +2 2 2 2 2 2x r x r x dx x r x dx dx dx2 2− − − −r r r rrisolvendo singolarmente i tre integraliESERCIZI SVOLTI SU INTEGRALI MULTIPLI - www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 9r ⎡ ⎤⎤ ( )⎡ 3( ) ( )3 3 ( )− − − − −− − 2⎢ ⎥2 2 2 2 2⎥⎢r r x r r r r 22 2∫ = −− = =2 2 ⎢ ⎥x r x dx 0⎥⎢ 3 3 3⎢ ⎥⎥⎢− r ⎦⎣ ⎣ ⎦− rr r2 2 2 2[ ] [ ]( )r r r r∫ ∫= = = − − =r 3dx 1 dx x r r r− r2 2 2 2− −r r r ⎤⎡⎤⎡r 2 3 3 3x x r r 2∫ == += 3⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣dx r2 6 6 6 6− −r rrimettendo insieme 2 4 2− + = − = −3 3 3 3r r r r6 6 3secondo metodoproviamo a cambiare l’insieme in coordinate polari. r0L’insieme è formato da tutti i punti che hanno distanza dal centro compresa tra e , l’angolo polare èπ0compreso tra e . Φ ⊂ → ⊂* 2 2 *: S RS R S, dove è il semicerchio in coordinate polari. Definiamo un'applicazione ρ(θ), x, y che a ogni coppia associa un punto del semicerchio in coordinate cartesiane (x, y) = (ρ(θ)cos(θ), ρ(θ)sin(θ)). Sappiamo che vale l'uguaglianza ∬ρ(θ)dθdρ = ∬f(x, y)Jdxdy, quindi cerchiamo lo Jacobiano J: ∂(x, y) ∂(ρ, θ) -------- = -------- ∂(ρ, θ) ∂(x, y) ∂x ∂ρ ∂x ∂θ --- = ----- + ----- = cos(θ) ∂ρ ∂ρ ∂θ ∂θ ∂y ∂ρ ∂y ∂θ --- = ----- + ----- = sin(θ) ∂ρ ∂ρ ∂θ ∂θ Quindi il Jacobiano J è dato da: J = | cos(θ) sin(θ) | | -sin(θ) cos(θ) | Ne cerchiamo il determinante: det(J) = cos(θ)cos(θ) - (-sin(θ)sin(θ)) = cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1 Quindi il determinante del Jacobiano è 1.^⋅ = + =2 2J cos cos sen sen cos senΦ ( )( ) ( )ρ ϑ ϑ ρ= + =2 2cos senimpostiamo il calcolo π ⎛ ⎞r( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫⎜ ⎟ρ ϑ ρ θ ρ θ ρ ρ ϑΦ Φ = − ⋅f , J d d cos sen d d⎜ ⎟Φ1 2 ⎝ ⎠* 0 0Ssvolgiamo l’integrale interno rρ⎡ ⎤r r 3( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))∫ ∫ρ θ ρ θ ρ ρ θ θ ρ ρ θ θ− ⋅ = − = − =2 ⎢⎣ ⎥⎦d dcos sen cos sen cos sen 30 0 03( ( ) ( )) rθ θ= −cos sen 3sostituiamo nell’integrale esterno e risolviamoπ π π π⎛ ⎞3 3 3( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( )r r r∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟θ θ ϑ θ θ ϑ θ ϑ θ ϑ− = − = − =cos sen cos sen cos send d d d⎜ ⎟3 3 3 ⎝ ⎠0 0 0 0ESERCIZI SVOLTI SU INTEGRALI MULTIPLI -

www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 10( )3 3[ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )r rπ πϑ ϑ π π= − − = − − − + =sen cos sen sen 0 cos cos 00 03 33 3[ ] [ ] [ ]( ( ) ) ( ) 2r r= − − − − + = − + = − 30 0 1 1 1 1 r3 3 3i conti tornano. ESERCIZI SVOLTI SU INTEGRALI MULTIPLI - www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 11------------------Calcolare l’integrale doppio ( )∫∫ ⋅ + ⋅2a x b y dx dyX{ }[ ]( )∈ = ∈ − × ≤ ≤2b Ra X x , y 1,1 R , x y 1ove , eSoluzione XDisegniamo il dominioImpostiamo il calcolo piuttosto semplice ⎛ ⎞( ) ( )1 1⎜ ⎟∫∫ ∫ ∫⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅2 2a x b y dx dy a x b y dy dx⎜ ⎟⎝ ⎠− 21X xsvolgiamo l’integrale interno( )1 1 1 1 1∫ ∫ ∫ ∫ ∫⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =2 2 2a x b y dy a x dy b y dy a x dy b y dy2 2 2 2 2x x x x

x₁ [ ]⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 4[ ] y x₁= ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅ − =12 2 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥a x y b a x x b12x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2 22x ⎞⎛b b b b= ⋅ − ⋅ + − = + ⋅ − + ⎟⎜2 4 4 2 4a x a x x a x a x⎠⎝2 2 2 2sostituiamo nell’integrale esterno e integriamo⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 1 1b b b b∫ ∫ ∫ ∫+ ⋅ − + = + ⋅ − + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠2 4 2 4a x a x dx dx a x dx a x dx⎜ ⎟⎝ ⎠2 2 2 2− − − −1 1 1 11 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 1 3 5[ ]b b b x b x∫ ∫ ∫= + ⋅ − + = + ⋅ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟12 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 dx a x dx a x dx x a a−1⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2 2 3 2 5− − − − −1 1 1 1 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞[ ]( )b 1 1 b 1 1 b 2 2 b= − − + ⋅ − − − + − − = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

¹ ₁ a a ² a a

² _{3 3} ² _{5 5} ² _{3 5} ² ₂ b ⁴ ₄ = + − − = +b a a a b

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Calcolare l'integrale doppio ( )∫∫ x cos y dx dy

Aove { }[ ]( )= ∈ × ≤ ≤ − 2A x , y 0,1 R : 0 y 1 x

Soluzione

Disegniamo l'insieme che abbiamo definito

Il dominio può essere considerato normale rispetto a entrambi gli assi coordinati

Normale rispetto a x

Impostiamo il calcolo considerando il dominio normale rispetto all'asse delle ascisse

¹ ₁ x ( ) ( )

∫∫ ∫ ∫=x cos y dx dy x cos y dy dx

⁰ ₀

svolgiamo l'integrale interno

− −2 2 ( )¹ ₁x x [ ]( ) ( ) ( )∫ ∫ − 2= = = −1 x 2x cos y dy x cos y dy x sen y x sen 1 x⁰ ₀

sostituiamo il risultato e risolviamo l'integrale esterno

( ) ( ) ( ) ( )¹ ₁ 11 1∫_{∫ ∫}− = − − ⋅ − = − − − =2 2 2 2x sen 1 x dx x x dx x d x² sen 1 sen 1 12 20 0 0 ( )[ ]( ) [ ]( ) ( )1 1 1 cos 11= − = − − − = −2xcos 1 cos 1 1 cos 1 002 2 2 2Normale rispetto a yInvertiamo dapprima la parabola→ → →= − − = − = − = ± −2 2 2y 1 x y 1 x x 1 y x 1 yovviamente prendiamo in considerazione la funzione col se