Integrali multipli

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 10 — 20 gennaio 2011

R

© – 1) Calcolare l’integrale ω dove

γ 2xy

dx − dy

ω = 2 2 2

1 + y (1 + y )

mentre γ è la curva

2 cos t

sin t ≤ ≤

γ(t) = e , , 0 t π/2.

2

1 + cos t

3

© – 2) Data la forma su R ω = 2xz dx + yz dy + A(x, y) dz

determinare sotto quali condizioni sulla funzione A(x, y) la forma è chiusa, esatta, e quindi calcolarne tutte

le primitive.

© – 3) Sia f (z) = u + iv una funzione continua di parte reale u e parte immaginaria v. Se v(x, y) = xy, per

x −

quali funzioni u(x, y) la funzione f è olomorfa? Se u(x, y) = e (x cos y y sin y), per quali v(x, y) la funzione

f è olomorfa?

© – 4) Calcolare i seguenti integrali multipli sui domini indicati a fianco:

Z Z 2 3 {0 ≤ ≤ −2 ≤ ≤ −1}

(x y + y )dx dy, D = x 2, y

D

Z Z Z 2 {0 ≤ ≤ −x ≤ ≤ ≤ ≤

(xyz )dx dy dz, D = x 1, z x, x + z y 4}

D

Z Z 2

− −1)

(x y )dx dy, T = triangolo di vertici (0, 0), (1, 1) e (2,

T

© – 5) Calcolare il seguente integrale utilizzando le coordinate polari:

√ 2 2

−x

a

a

Z Z p 2 2

x + y dy.

dx 0

0

Stessa domanda per l’integrale Z Z y dx dy,

C

≥

dove C è la metà superiore (cioè con y 0) del cerchio di centro (a/2, 0) passante per l’origine. Stessa

domanda per l’integrale Z Z p 2 2 2

− −

a x y dx dy,

D

≥

dove D è la metà superiore (y 0) del cerchio di centro l’origine e raggio a.

−

Infine effettuare il cambiamento di variabili u = x + y, v = x y nell’integrale

1 1

Z Z

dx (x + y)dy

0 0

e poi calcolarlo.

§ – 6) Dimostrare che se un insieme E è trascurabile secondo Peano-Jordan, anche la sua chiusura è

trascurabile. 2

© →

– 7) Dimostrare che per ogni funzione continua f : e per ogni (x, y) vale la formula

R R

1 x 1 1

Z Z Z Z

dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx.

0 0 0 y

© – 8) Cambiare l’ordine di integrazione negli integrali seguenti (senza calcolarli, anche perché non è speci-

ficata la funzione...):

4 12x π sin x 1 1−y

Z Z Z Z Z Z

dx f (x, y)dy, dx f (x, y)dy, dy f (x, y)dx.

√

2 2

−

0 3x 0 0 0 1−y

1