Integrali multipli

Def: una funzione definita nell'ipercubetto R, f : Rⁿ→R si dice funzione a scala, se esiste una suddivisione {R₁, ..., R_j} di R tale che f sia costante nella parte interna di R.

f(x) = c_j ∀x ∈ int (R_j) j = 1, ..., 9.

In tal caso diciamo che f è adattata alla suddivisione {R₁, ..., R_j} e che la suddivisione è adattata ad f.

Sia f una funzione a scala su R, adattata alla suddivisione {R₁, ..., R_j} di R. Suppongo che f(x) = c_j ∀x ∈ int(R_j), v_j = 9, allora si chiama integrale di f su R il numero reale:

∫_R f(x) dx = ∑_j=1⁹ c_j m (R_j)

Per dim: 2 → INTEGRALE DOPPIO

dim = 3 → INTEGRALE TRIPLO

dim > 3 → INTEGRALE MULTIPLO

Significato geometrico: sia f≥0 funzione a scala su R : R₁∪R₂ {R₁,R₂}, suddivisione f(R₁) = c₁≥0 ∀x∈int(R₁), f(x) = c₂≥0 ∀x∈int(R₂)

∫_R f dx = c₁⋅m R₁ + c₂⋅m R₂ Rappresenta il volume del solido delimitato dal piano xy e dal grafico di f(x)

Proprietà dell'integrale di funzione a scala

1. L'integrale di una funzione f a scala non dipende dalla suddivisione di R adattata ad f.

2. Siano f,g funzioni a scalare sull'iperettangolo R, allora f+g e lf sono funzioni a scalare e valgono:

• \(\int_R [f(x) + g(x)] dx = \int_R f(x) dx + \int_R g(x) dx\)

• \(\int_R [lf(x)] dx = l \int_R f(x) dx\)

3. Se f(x) ≤ g(x) funzioni a scalare su R, allora

\(\int_R f(x) dx \le \int_R g(x) dx\)

Se \(\lbrace R_1, ..., R_q \rbrace\) è una suddivisione di R (non necessariamente adattata ai f_i), allora

\(\int_R f(x) dx = \sum_{j=1}^{q} \int_{R_j} f(x) dx\)

INTEGRALE DI UNA FUNZIONI REALI

Sia R iperettangolo in \(\mathbb{R}^n\) e \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) un due limitata in m ≤ f(x) ≤ M \( \forall x \in R \)

Oppure \(\exists\) m,M \(\in \mathbb{R}\) t.c. \(|f(x)| \le M \; \forall x \in R \)

Def:

\(H^*_{f} = \lbrace \text{funzioni a scalare su R : } f(x) \le g(x) \forall x \in R \rbrace\)

\(\underline{H}^*_{f} = \lbrace \text{funzioni a scalare su R : } g(x) \le f(x) \forall x \in R \rbrace\)

Oss: se f è limitata \(H^*_{f}\) sono sempre insiemi non vuoti, infatti se f è limitata prendo f(x) = M e f(x) = m e \( f \in H^*_{f} \)

Def:

\(\int_R f dx = \inf_{g \in H^*_{f}} \int_R g dx = \text{INTEGRALE SUPERIORE}\)

\(\int_R f dx = \sup_{g \in \underline{H}^*_{f}} \int_R g dx = \text{INTEGRALE INFERIORE}\)

Esempio:

A = {(x,y) ∈ [0,1] × [0,1]: x e y sono razionali} = (ℚ ∩ [0,1]) × (ℚ ∩ [0,1])

m([0,1] × [0,1]) = 1

Fg(A)? Fg(A) = [0,1] × [0,1]

tutto l'insieme A

∀ (x₀,y₀) ∈ [0,1] × [0,1] ∀ε >0 allora B((x₀,y₀),ε) contiene infiniti punti a coordinate entrambe

razionali che x(a,x₀,y₀) ∈ Fg(A) ⇒ Fg(A) = [0,1] × [0,1] ⇒ Fg(m) non misurabile

A non numerabile

TEOREMA:

siano A,B ∈ ℝⁿ limitati e misurabili, allora A∪B, A∩B, A\B, B\A sono insiemi

misurabili

Def:

dato A insieme misurabile (e limitato) di ℝⁿ e data una funzione f

definita e limitata su A, consideriamo un iperrettangolo R t.c. A⊂R e definiamo:

ĝ(x)= { f(x) se x ∈ A

0 se x ∈ R\A

ESTENSIONE NULLA DI f FUORI DA A RELATIVA AD R

Sì dice che f è integrabile su A se ĝ è integrabile su R. In tal caso si

assume che

∫_A f(x) dx = ∫_R ĝ(x) dx

Ov. l'integrale ∫_A f(x) dx non dipende dall'iperrettangolo R scelto

TEOREMA:

Sia f limitata su A (misurabile e limitato) e sia f continua su tutto A tranne al più

un insieme boscabile di A, allora f è integrabile su A

Sia m=1, sia A=[a,b] , a