Integrali multipli

Def: una funzione definita sull'intervallo R, f: ℝ → ℝ si dice funzione a scala se esiste una suddivisione R₁,...,R_g di R tale che f sia costante sulla parte interna di R_j.

f(x) = c_j ∀x ∈ Int(R_j) j = 1,...,g.

In tal caso diciamo che f è adattata alla suddivisione {R₁,...,R_g} e che la suddivisione è adattata ad f.

Sia f una funzione a scala su R, adattata alla suddivisione {R₁,...,R_g} di R. Suppongo che f(x) = c_j ∀x ∈ Int(R_j) ∀j = 1,...,g, allora si chiama integrale di f su R il numero reale:

Per dim = 2

• INTEGRALE DOPPIO

Per dim = 3

• INTEGRALE TRIPLO

Per dim > 3

• INTEGRALE MULTIPLO

Significato geometrico: se f ≥ 0 funzione a scala su R = R₁ ∪ R₂ {R₁, R₂} suddivisione.

f(x) = c₁ > 0 ∀x ∈ Int(R₁) f(x) = c₂ > 0 ∀x ∈ Int(R₂)

Rappresenta il volume del solido delimitato dal piano xy ed il grafico di f(x)

Proprietà dell'integrale di funzione a scala

1. L'integrale di una funzione f a scala non dipende dalla suddivisione di R adattata ad f.

Def.

f una funzione definita sull'intervallo R ; f: R → R si dice funzione a scala se esiste una suddivisione R₁,...,R₃ di R tale che f sia costante sulla parte interna di R_j = c_j       ∀ x ∈ Int (R_j) j = 1...g.

Ho funzioni funzioni costanti a tratti (non ci interessa cosa succede sulle frontiere dei singoli tratti).

In tal caso diciamo che f è adattata alla suddivisione {R₁,...,R_g} e che la suddivisione è adatta ad f.

Sia f una funzione a scala su R, adattata alla suddivisione {R₁,...,R_g} di R. Suppongo che f(x) = c_j       ∀ x ∈ Int (R_j) ∀ j = 1...g , allora si chiama integrale di f su R il numero reale :

∫_R f(x) dx = Σ_j^g_i=1 c_j m (R_j)

Per dim.:dim.= 2 → INTEGRALE DOPPIOdim.= 3 → INTEGRALE TRIPLOdim. > 3 → INTEGRALE MULTIPLO

Significato geometrico:

sia f ≥ 0 funzione a scala su R : R₁∪R₂ {R₁,R₂} suddivisione.f(x) = c₁ ≥ 0       ∀ x ∈ (Int (R₁))       f(x) = c₂ ≥ 0       ∀ x ∈ Int (R₂)                                                    ∫_R f dx = c₁ su R₁ + c₂ su R₂ Rappresenta il volume del solido delimitato dal piano xy e dal grafico di f(x)

Proprietà dell'integrale di funzione a scala

1. L'integrale di una funzione f a scala non dipende dalla suddivisione di R adatta ad f

2. Siano f, g funzioni a scala sull'iperrettangolo R, allora f±g e λ f sono funzioni a scala e valgono:

• i) ∫_R {f(x) ± g(x)} dx = ∫_R f(x) dx ± ∫_R g(x) dx
• ii) ∫_R (λ f(x)) dx = λ ∫_R f(x) dx

3. Se f(x) ≤ g(x) funzioni a scala su R, allora

∫_R f(x) dx ≤ ∫_R g(x) dx

Se {R₁,..., R_l} è una suddivisione di R (non necessariamente adattata ad f), allora:

∫_R f(x) dx = Σ _j=1^l ∫_Rj f(x) dx

I N T E G R A L E D I U N A F U N Z I O N I R E A L I

Sia R iperrettangolo su ℝ^m : f :ℝⁿ →ℝ un due limitata se ∃m, M∈ℝ, con m g(x)

g(x) ≤ h(x) ∀x∈Rⁿ

g'(x) ≤ g(x)

∫_R g(x)dx ≤ ∫_R h(x)dx ∀g∈H∃j, ∀h∈H∃j

-sup∫_g∈H∃g g(x)dx ≤ ∫_R h(x)dx ∀h∈H∃j

∫_R g(x)dx ≤ inf∫_h∈H∃j ∫_R h(x)dx

∫_-R f(x)dx = ∫_-R h(x)dx

Def:

f è due integrabile secondo Riemann su Rⁿ se ∫_-R f dx = ∫_R f dx

detto integrale multiplo di f su Rⁿ denotato con:

∫_-R ∫ f(x₁, ..., x_n) dx₁...dx_n

Fatto:

Si puo dimostrare che le proprieta dell’integrale di funzione a scala valgono anche per funzioni integrabili su Rⁿ

Valgono le seguenti proprieta:

1. Se f è integrabile su Rⁿ e anche |f| è integrabile su Rⁿ
2. ∫_-R |f| dx ≤ ∫|f|dx
3. Se f e g sono integrabili su Rⁿ allora anche f±g è integrabile su Rⁿ
4. (Somma e prodotto)
5. Se X∈Rⁿ è rettangolo chiuso e f continuo su R, allora f è integrabile su R

Significato geometrico dell'integrale in n=2

Se f è integrabile su Rⁿ e f(x,y) > 0 ∀ (x,y) ∈ R²

L'integrale è il volume del solido fra il piano (x,y) ed il grafico di f.

MISURA DI PEANO-JORDAN

Def:

Un plurirettangolo S è un sottoinsieme di Rⁿ tale che S è un'unione finita di iperttangoli (tale che) due qualunque di essi si intersecano al massimo nella frontiera.

Proprie.:

Se S₁ e S₂ plurirettangoli, allora S₁∪S₂, S∩S₂, S\_S₂, S₁\S₂, pllrrettangoli

Def:

Se S = R₁∪R₂ ∪ ... ∪ R_q è un plurirettangolo definiamo misura di S il numero _q m(S) = Σ m(R_i) ...... + m(R_q) m(S) > 0 VS pllrrettangolo S₁ ⊆ S₂

Grazie a A ⊆ Rⁿ sottoinsieme di Rⁿ limitato indichiamo con S⁺(A) l'insieme dei plurirettangoli contengono A S^–(n): i sommma dei plurirettangoli contenuti in A.

Def:

Si chiama misura esterna di A numero non negativo _p*m(A)=inf m(S); SεS^–(n)=φ

Si chiama misura interna il numero non negativo

Esempio: S₁ ⊆ S ⊆ S^*(a) e S₂ ⊆ S^*(a), allora S₁ ⊆ S₂

Def: Un sottoinsieme A di R^m limitato è due misurabile secondo Peano-Jordan se m_a(A)=m^*(A)

in R² m(A): area, in R³ m(A): volume di A.

Def: Sia A ⊆ R^m limitato, A è due trascurabile se m^*(A)=0

Esempio: sia f: [a,b] -> R integrabile, allora il profilo di G f è [x,x] ∈ R²: x∈[a,b] è trascurabile.

TEOREMA: Sia A ⊆ R^m limitato, A è misurabile se e solo se la frontiera è trascurabile

Esempio: sia f: [a,b] → R integrabile, allora l'insieme A: { (x,y)∈R²: x∈[a,b] }

Se f non non negativo allora T_f trapezoiede di f

Esempio: A = {(x,y) ∈ [0,1] x [0,1] : x e y sono razionali}

m([0,1] x [0,1]) = 1

∀ (x₀,y₀) ∈ [0,1] x [0,1] ∀ x₀ allora B((x₀,y₀),ε) contiene inf. pti a coordinate entrambe razionali che xxxxxxxd ⇒ (x₀,y₀) ∈ I⊆(A) ⇒ Fx(A) = [0,1] x [0,1] ⇒ Fx(A) non (Razionali)

⇒ A non misurabile

TEOREMA: siano A,B ∈ ℝⁿ limitati e misurabili, allora A∪B, A∩B, A\B, B\A sono insieme misurabili.

Def: dato A insieme misurabile (e limitato) di ℝⁿ e data una funzione f definita e limitata su A, consideriamo uno xxxxxxgono R t.c. A⊂R e definiamo:

g̅(x) = {f(x) se x̅ ∈ A

{0 se x̅ ∈ R\A ESTENSIONE NULLA DI f FUORI DA A RELATIVA AD R

Si dice che g̅ è integrabile su A se g̅ è integrabile su R. In tal caso si assume che

∫_Af(x)dx = ∫_Rg̅(x)dx

Os: l'integrale ∫_Af(x)dx non dipende dall'xxxtangolo R xxx

TEOREMA:

Sia f limitata su A (misurabile e limitato) e sia f continua su tutto A tranne al più

un insieme bxxxxable di A, allora f è integrabile su A

PROPOSIZIONE:

Sia A limitato e misurabile e sia f limitato su A. Allora f è integrabile su A e ∫_A f <= 0

Oss:

If f è integrabile:

-M <= f <= M

M.m(A) = ∫_A δ <= ∫_A f <= ∫_A M = M.m(A)

Corollario:

Se f,g sono limitate su A, dove A è misurabile e limitato, e se ∀ x ∈ A, f(x) = g(x)

Allora ∫_A f(x) dx = ∫_A g(x) dx

Dim:

Poniamo h = f-g. Per costruzione, usando le ipotesi: h = 0 su A\B. Dimostriamo che h è integrabile (diff. di fun. integrabili).

Siamo ∫_A f(x) dx = ∫_A f(x) dx = ∫_A h(x) dx

$ \ | | \hspace{20mm} \int\limits\_{A} \lvert h(x) \rvert dx \ -\int\limits\_{B} \lvert h(x) \rvert dx \

PROPOSIZIONE

Se g è integrabile su A∪B, A e B limitate e misurabili, e su (A∩B)=0. Allora

∫_A∪B g(x) dx = ∫_A g(x) dx + ∫_B g(x) dx

LEGAME FRA MISURA DEGLI INSIEMI ED INTEGRALI

Sia A misurabile e limitata. Allora

m(A) = ∫_A 1 dx

Interpretazione fisica degli integrali multipli

Dato un solido K che occupa una regione V limitata e misurabile di R³ e che ha densità di massa = (x,y,z), : V → R⁺

Allora la massa di K è

massa: k = ∫_v (x,y,z) dxdydz

Coordinate baricentro:

x₀ = ¹/_{massa k} ∫_v x (x,y,z) dxdydz

y₀ = ¹/_{massa k} ∫_v y (x,y,z) dxdydz

z₀ = ¹/_{massa k} ∫_v z (x,y,z) dxdydz

Def: un sottoinsieme limitato di R² si dice 4³-semplice se ,: [a,b] → R continue con

(x) ≤ (x) ∀ x ∈ [a,b], ∀ x ∈ [a,b]

e A = { (x,y) ∈ R² : x ∈ [a,b] e (x) ≤ y ≤ (x) }

Si chiama 4³ semplice o verticalmente connesso perché presi due punti e il segmento che li congiunge esso è interamente contenuto in A.

Se prendo sezioni verticali se incontrano A solo in un segmento

Se f continua su un insieme A che è 4³-semplice consideriamo per x ∈ [a,b] la funzione integrale F(x) = ∫^(x)_(x) g(x,u)du

Si dimostra che F è continua su [a,b] e

Formula di riduzione

∫_A g(x,y)dxdy = ∫_A F(x) dx = ∫_a^b (∫_(x)^(x) g(x,u)du) dx

Def:

un sottogruppo B ⊆ ℝ² si dice x semplice (oppure orizzontalmente convesso) se

∃ δ, δ: [c,d] → ℝ continue tali che δ(x) ≤ δ(y) ∀ y ∈ [c,d] e

_B = { (x,y) ∈ ℝ², y ∈ [c,d] e δ(x) ≤ x ≤ δ(y)}

Teorema:

dato f: B → ℝ B x semplice, e detto G la funzione

G(y) = ∫_δ(x)^δ(u) f(x,u) dx, y ∈ [c,d]

allora g è continua su B e ∫_B f(x,u) dx dy = ∫_c^d G(1) du.

Oss:

A = [a,b] x [c,d] x semplice e y semplice In particolare x g è continua su A → ha che

∫_a^b (∫_c^d f(x,y) dy) dx = (integrale doppio) ∫_c^d (∫_a^b f(x,y) dy) dx.

Dim:

Se g(x,y) = f(x) + f(y) x e h continue rispettivamente su [a,b] e (c,d)

∫_a^b f(x,y) dx = (∫_c^d (∫_c^d f(x)(h(u) dy) c) dx

Infatti:

∫_a^b f(x,y) dx dy = (∫_c^d ∫_a^b h(u) dy dx) = ∫_a^b f(x) (∫_c^d h(c) dy) dx = ∫_a^b g(x) dx ∫_c^d f(h(u)) h

Oss:

∫∫ f(x,y) dx dy oppure ∫∫ f(x,y) dx dy

FORMULA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILE PER INTEGRALI MULTIPLI

A limitato e misurabile A ⊆ ℝ^n Considero un'applicazione

Φ = (φ₁,..., φ_n) &Gamma :/g = A' ⊆ ℝ^n → A' ancora limitato e misurabile

Φ = {

x₁ = φ(₁(u₁,... ,u_n))

x_n = φ(_! u_n

Sia f. limitata e continua su A.

1. Φ: A' -> A inverti
2. Φ è di classe C¹ su un aperto U ⊇ A' e det(J_Φ) è limitato e diverso da zero su A'.

Allora

∫_A f(x) dx = ∫_A' f(Φ(u)) |det(J_Φ)|

Esempio: considero le coordinate polari su R²

X = (x₀, x₁)

J (ρ, θ) =

(cosθ, -ρsinθ)

(sinθ, ρcosθ)

det(J (ρ,θ)) = ρ cos²θ + ρ sin²θ = ρ

V(ρ,θ)

Calcolare

∫_CI x² dx dy

C_I: ∫_{x, y} x² dx dy, x > 0, y > 0, x² + y² < 4

x² dx dy = ρ² cos²θ ρ dρ dθ

C_I: { (ρ,θ): 0 < ρ < 1, 0 < θ < π/2 }

= ∫₀¹ ρ³ dρ ∫₀^π/2 cos²θ dθ = π/16

Os: se f = 1 su A, allora m(A) = ∫_A 1 dx = 1/A' ∫_A' 1 det(Ξ_u) du

In generale A ≠ A', m(A) ≠ m(A').

Il termine Ξ_Φ(u) può essere visto come fattore di dilatazione o contrazione che rende valida la relazione *

Trasformiamo di avere un'applicazione affine del tipo L: x = Bx + x₀, B = M... L è invertibile.

|det(B)| = volume n dimensionale del poliedro generato da B_e1, B_e2, ..., B_en.

Se invece ho un'applicazione non necessariamente lineare e un dominio misurabile, approssimo su ogni pezzo della sudd. con un formulario lineare, con un fattore di stretching dato dal det(Ξ_u)