Geometria - Esercizi - Parte 2

GEOMETRIA

TEORIA IN BREVE + ESERCIZI SVOLTI

• VETTORI
• MATRICI
• SPAZI VETTORIALI
• APPLICAZIONI LINEARI - SISTEMI LINEARI
• AUTOVETTORI + AUTOVALORI
• PIANI E RETTE
• FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
• FUNZIONI F: Rⁿ→ R^m

Autovettori e Autovalori

Due matrici quadrate M e M' sono dette simili se esiste matrice invertibile P tale che M' = P^-1MP

Autovalore

• Si tratta calcolando |A-λI|=0

Autovettore

• vög: Si trova calcolando |A-λI|x=0 → δ(v) = λv

Autospazio V(λ) = V(A)_λ = {v ∈ V | δ(v) = λv}

• Ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti.

Se l'endomorfismo f di R^m ha m autovalori di molteplicità 1 allora è diagonallizabile.

Teorema

• L'endomorfismo f di R^m è diagonalizzabile se e solo se:
  • tutte le radici del suo polinomio caratteristico sono reali
  • per ogni autovalore λ si ha che dim (V_λ) = molt(A), cioè molteplicità algebrica è uguale a molteplicità geometrica

• Un endomorfismo non è diagonalizzabile o semplice se esiste una base B= (v₁,...,v_n) rispetto alla quale la matrice di f è diagonale.

Gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi della sua diagonale.

• Una matrice P che diagonalizza A trova disponendo sulle colonne gli dei base trovati nel calcolo degli autovettori.
• Verifica: P^-1AP = (matrice diagonale) → che ha sulla diagonale gli autovalori di A.
• La dimensione di un autospazio è sempre compresa tra 1 e la molteplicità dell'autovalore.

1. A ∈ M^m,m det(A)=|A|
2. Se B ∈ M^m,m è la matrice ottenuta da A scambiando righe (o colonne) ⇒ |B| = -|A|
3. Se A ha due righe (o colonne) proporzionali ⇒ |A| = 0
4. Se B ∈ M^m,m è ottenuta da A moltiplicando una riga (o colonna) per lo stesso fattore k∈ℝ ⇒ |B| = k|A| k≠0
5. Se B ∈ M^m,m è ottenuta da A con una trasformazione del tipo R_i→ R_i+alj sulle righe (o colonne) ⇒ |B| = |A|
6. Se A è triangolare |A| = prodotto degli elementi della diagonale
7. Qualunque sia A ∈ M^m,m |tA| = |t|ⁿ|A|

λ = 1

(1 1 1 | 0)

(1 1 0 | 0) → x + y + z = 0

(1 1 1 | 0) → x = -y

λ = 2

(-2 1 1 | 0) (1 2 1 | 0) → R₃ = (R₃ - R₂) / 3 (1 1 -2 | 0) → (0 0 0 | 0)

(0 0 0 | 0) (1 2 1 | 0) → R₂ = R₂ + R₃ (0 1 -1 | 0) → (0 1 -1 | 0)

x = y = 0

x = y, z = y

V(2) = {(y, y, y) / y ∈ ℝ}

B = μI - T = 0

(0 -μ 0 | 0)

(0 0 -μ | 0) → (-1 - μ) (μ² - 1) = 0

(1 0 -1 | 0)

1 - μ

(- μ) (μ + 1) (μ - 1) = 0

μ = 1

m_Z = 2

μ_Z = 1

- trovare l'autospazio

μ₁ = 1 (1 0 0 | 0)

(0 0 0 | 0) → x = 0

(1 0 0 | 0) → V(1) = {(x, y, x) / x, y ∈ ℝ}

μ₂ = -1

(0 1 0 | 0)

(2 0 0 | 0)

(0 0 1 | 0)

y = 0

x = z = 0

U(1) = {(x, 0, -x ) / x ∈ ℝ}

Riepilogo:

U(1) = {(x, y, x) / x, y ∈ ℝ}

V(1) = {(x, 0, -x) / x ∈ ℝ}

V(2) = {(y, y, y) / y ∈ ℝ}

V(λ) = {(x, y, -x - y) / x, y ∈ ℝ}

Provare che la matrice A è diagonalizzabile.

Scrivere una matrice simile ad A e determinare tutte le basi ortonormali che permettono di ottenerla.

Due matrici quadrate A e B dello stesso ordine n, n dicono simili se esiste una matrice non singolare S tale che B = S^-1AS.

Determinante di λI-A:

A è diagonalizzabile.

λ=0

(λ-2) (λ-3)λ

3 autovalori

λ=0

• v(0) = {(x, 0, x) / x∈R}
• v = (2, 0, 1)

λ= 1

Scegli autovettori due a due ortogonali

Normalizzare:

D=₀₀0

  0₂₀0

  0₀₃3

14/05

1) P(7,2) Q(3,5) Det. l'equazione cartesiana della retta r passante per i due p.ti Sistema nel piano (x,y) x ∉ ℝ (equ. cartesiana è x = 1) r: x -1 Per P ∈ ℝ: (3,5) → s: y = 5

2) x = 2t - 1 y = t + 5 t ∈ ℝ x - 2y = -11 ← equ. della retta cartesiana

s: 2x - y + 3 = 0 y = 2x + 3 s: { x = t y = 2t + 3 }

v_s (vettore direzionale) = (1,2)

v₁ = (2,1)

‖ l ‖ / ‖s‖ {} v₁ || v_s v₂ ⊥ v_s v₃ = k v_s k ∊ ℝ

3) P(1,3) s: { x = 2t - 1 y = v_st + 5 } x ∉ 3 P ∈ ℝ

v₁ ≅ λv_s λ∉ ℝ v₂ = (v₂,v₃) λ = 1

k: { x = 1 + 2t y = 3 + t 2t } ∀ t ∈ ℝ

{ P(2,3) x ∉ s P ∉ ℝ }

S: { x = -t - 4 y = v_st + 5 } v_s = (-1, v₅) v₃ ⊥ v₅

u: { x = 2 + √5t y = 3 + t }

alternativa di passaggio passo da x a X, da y a Y

x = x-y/_√2

y = x+y/_√2

x₁²y₁² + 2xy - 2y = 0

(x-y)(x+y)/_√2 + (x-y)(x+y/_√2) + 2(x-y)/_√2 = 0

x₂² - x₂ + x² = x² + x + (X+Y)² = 0

2X² + Y² - 2X - Y = 0

x₂² + x₂/_√2 - x₂ = 0

x² + ²/√2 = x₂X - ¹Y = 0

Traslazione nell'origine, Tecnica del completamento del quadrato

(x+a)² = x² + 2² + a²

x²⁽²⁾ + x/_√3

R_a = -¹/_√2 - ¹/_2√2 = a₁² = ¹/₈

x² - 1x -1 /_√2^{- 1}y = 0

x/₃ + x/₂¹/8 = 0

(x+¹/_2√3)(y+¹/₈)

TRASLAZIONE VERSO L'ORIGINE

x² + ¹/_√2, y/₈

x²+p² = 1/v_√8y/

per vedere che

esse una PARABOLA

y = _√12p²/-₁₂/₈

3) x² + y² + z² - 6x + 2y - 4z = 13

Trovare raggio e centro della sfera

x² - 6x + 9 - 9 ← Tecnica del completamento del quadrato

+ y² + 2y + 1 - 1

+ z² - 4z + 4 - 4 - 13

(x-3)² + (y+1)² + (z-2)² = 27

C = (3, 1, 2)

R = √27 = 3√3

4) Per trovare ciascuna delle seguenti condizioni trovare l'equazione della superficie

sferica di centro e (1, 0, -2) che soddisfi:

1. S ha raggio 3

(x-1)² + y² + (z+2)² = 9

2. S passa per il punto A (0, 1, 0)

d(C, A) = √(1² + (-2)²) = √6

(x-1)² + y² + (z+2)² = 6

3. S risulta tangente al piano di equazione Π: x + 2y + z - 1 = 0

C (1, 0, -2)

d(C, Π) = |1·1 + 0·2 - 1·(-1) - 1| / √6 = 2 √6/6 = √6/3

(x-1)² + (y + 3/2)² = 6 / 3

4. S interseca il piano x + 2y - z - 1 = 0 secondo una circonferenza di raggio 1,

R² = d(C, Π)² + 1²

R² = 2/3 + 1 = 5/3

(x-1)² + y² + (z + 2)² = 5/3

5. S risulta tangente alla retta s: { x = 1 + t, y = 1, z = 2 + t }

Η_s = (1, 0, 1) = ᵙ

ᵙ || m̅

Π₁: x + 2x + d_S = 0

C (1, 0, -2)

-2 + d = 0 d = 2

⇒ Π₂ = x + z + 1 = 0

⇒ Π∩s = P

1 + t + 2 + t - 1 = 0

2t = -4 ⇒ t = -2 ⇒ P(-1, 1, 0)