SPAZI VETTORIALI
Abbiamo sul
vettoriale
che
visto 112
già scolari
degli è
campo
uno insieme
spazio un
dotato denotate tale che
✓ di due operazioni »
«
con «
t e
» :
. ,
,
1) V
t' ÙEV
tù tv
)
( E ,
2) Ù EIR
te
EV fa
EV
a . ,
Queste proprietà
soddisfare
devono di
serie
operazioni una :
Itùi tb.tt
tutt ùt e)
città E
a) it
b
( )
) at a.
= =
.
f)
vite E F)
(
ùtiì ab
b) )
( b.
a .
. =
= out
tv
ti 8) art
c) è )
' it
te
/ (
E
EV a t
=
.
= h
) E
E
te
/ F)
d) 1
fer I
7 =
.
-
-
ESEMPIDISPAZIVETTORIAL.IT
" tra
la vettori
) dove '
IIR è
ri
t
→ somma
.
,
, prodotto vettore scalare
" il di
'r è per
un
e uno
.
" " la tra
)
IR
( matrici
"
dove è
rrt somma
t
→ .
, , matrice
" scalare
la moltiplicazione
è di
×
e per
una uno
.
lo le
grado
variabile
IRN
polinomi
dei seguenti
di
]
[ fu
spazio
→ x in × con
una E
operazioni : esattamente
di
polinomi grado
i w
Pa
Siano poi vettoriale
formano
Rn XJ
[ Non spazio
e uno
, È ' Xs
I
( )
)
Pi ⑨
Pitt E
Pra ( Rtp
Ita ) X
)
LH t =p
= = -
- ,
ti /
F
( P
)
Pi a)
ad A) a di grado
.
- , grado di
non
3 3 )
l'
Sia delle {
vettoriale funzioni f
( A
) insieme
V v
:
→ spazio
uno →
t .
, , arbitrario queste
vettoriale
)
( è
dove insieme spazio
uno
è operazioni
A con
un i
ÈF fila
fr
He ) fata
t al
( )
t
- È f-
)
kàf K )
a)
(
( Ia
.
- " "
"
quello vettoriali
Tutto abbiamo definito IR
che definire
IR può
gli si
spazi
per e
concetto
il
particolare
vettoriale di
In
V VETTORIALE
sottospazio
spazio
per uno genetico .
. olivi
ÙÌ ti
{
1) } sistema ti
è E di
Lte o
un o
e- -
, .
.
. , siti
ÙK ti
}
ÙÌ
L }
{
2) generato
sottospazio
il da
è ,
, . . . ,
. ,
. .
ùi .tk
È }
.tk )
3) L
{ {
dim
rango = ,
. .
.
. . .
.
Una linearmente
4) base La
sistema indipendenti
generatori
di
di V è un .
dimensione il elementi
degli base
di V di
è numero una .
POLINOMI
SPAZIO
BASE DELLO DEI
Facciamo base sicuramente
IR sarà
di ]
EX
una
esempio
un : :
,
{ il 01
è
1 × , ,
,
Infatti dato combinazione lineare
dalla di
sarà
polinomio (d)
di grado 3
massimo
ogni Oltbxtcxtdx 3
Inoltre elementi linearmente infatti
indipendenti
gli di (8) sono ,
Oltbitcxtdx b.
deve di
essere a c- - o
=
=
il identità
/
identicamente principio
per di
polinomi
DEI
uguale zero
a
}
{ indipendente base
linearmente
sistema
è generatori quindi
è è
xr di
1 x. un una
, , ,
IR XJ
di [
, }
particolare { base
la
" IRNEXJ
di
1
in è canonica
X ×
,
, . ,
. .
importante Una
V }
è
fèi
Sia fissata la
vettoriale base
volta p
dimensione
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uno spazio n = ,
.
.
, .
. nel
vettoriale seguente
lo
identificato modo
V può essere spazio
con :
Ù "
T' )
lui R
.vn
E → e
.
. . .
, base
dove lui le Ù nella
) componenti di p
Vr sono
, . ,
.
. . nella
biunivoca tra le
EV
vettore componenti
Ossia corrispondenza
è t'
c' sue
una un e
base p
stesso
Lo sotto
vale V
discorso di
4
per spazi : "
ti )
lui
il ER
e Mn
→ . . -
. nella base
le rt
componenti
dove p
) di
lui sono
un .
, ,
. .
. "
}
L' { sottospazio IR
di
lui sarà
insieme 1 un
un
,
.
.
, . ! )
! )
{ ( II "
⑤ IR
di
è sottospazio
w un
= 1122 "
Sofia ha seguenti
le componenti
di W
, .
:# :*
:* viii. :*
ii li
÷ " :)
: : :
: : :
cioè ( b b bta a)
a - , , ,
Queste sottospazio "
dimensionale
formano
componenti nel
IR Quindi
di
2
un senso
- ,
.
specificato dire
può
si
, !
Iato
:L
!)
! bta.at
( si
b.
b.
la !
¥ e - e
:÷;:È÷÷÷:÷÷
÷;;;÷;:÷÷;÷;;;÷÷
"
""
"
Il sottoinsieme
⑨ 112343 è
finta b
tbxt } EIR
) h
V
di )
Cats un
a.
con
=
sottospazio ?
vettoriale base
rispetto
Le componenti di elemento alla {
di E
1
canonica X
un v
generico ,
, ,
sono : ( FILI
attimo . -
grado
di questo che
Non polinomi implica Un
però sia
sono omogenei non
2 non
,
Sottospazio sebbene
vettoriale sufficiente la
( condizione proposizione
sia una per
precedente ) :[
ihinom Fondo
"
È e
ottengo }
se bene
{ ctbxxcxs
a
ah
a- definito IR
su
ha le componenti
che seguenti :
( c)
b
c o ,
, ,
Che la enunciata
proposizione è sottospazio VETTORIALE
un
per ,
,
Concludiamo { }
that
che ) 3
) è
lotta
V un
ott sottospazio VETTORIALE
X
(
= t
base
per b- bei
ottenere V ttf
di :
una o ×
→ →
⇐
C =p o
base { ttf il
Una è ,
INTERSEZIONE SOMMA VETTORIALI
SPAZI
DI SOTTO
e
siano W
MeV sotto
due di
spazi
INTERSEZIONE
UnVèunsHospazioveHdidedi
PROPOSIZIONE àtb
Ì
Dobbiamo che )
V
è
dimostrare ( UN
allora anche
Un e
e e
se , ,
Kà KEIR
V ti
Un
E , Ne
perche
vero
Ì
Siano vettoriali
à UN sotto
V spazi
sono
E µ
, ✓
àtb
ÌEU làtb
è EU EU UN
) E
→
e ÒTÌ
ÌEV
È V EV
E →
e Ue
perche
vero
analogamente vettoriali
sotto
V spazi
sono
e µ ✓
EV Kàev
KEEN
à Kà
ai UN
en → E
e e Lo
sottospazio
In solo Vetl
UV
generale è è
PROPOSIZIONE il Vevo
Nan se
un .
SOMMA
SPAZIO DEFINIZIONE
]
UtVÈ{ùtE/ùeU,èe
Ultraconservatori
PROPOSIZIONE la
Dimostriamo proposizione . Titti
Ì Mtv
Vediamo Mtv allora
che è e e
se , ,
Se significa che
Mtv
È e :
àeùìt ii. EV
ti
EU
con e
analogamente
e Ì rtatvi ÈEV
rhett
con
= e ÈAÌ V
àtb Ntv
Titti
Tinture ) )
(
quindi ( e
t
= quanto
EV
quanto
EU in
in
sottospazio sottospazio
V
Nè è ✓
Analogamente EUTV TTKEIR
Kate Ntv
allora
è
se Ntv
PER CALCOLARE
MODO OPERATIVO
Siano )
sistemi
(
basi generatori
semplicemente
anche di
o 2
a :
}
ùi Ìn
fi }
.it
{ Bu
Più e -
, " . . . -
. .
. V
Base
7h
BASE di
di
Sappiamo che :
È }
Tito
{ Iii
Mtv v'
EU er
, tbnttn
bit
Olivia tant'
vi È quindi
ma t t :
= =
K e
. . . .
.
. . bi
È
tbn }
bin
aiuti
{ tolkrtrt
Ntv EIR
oli
t con
t
= . . ,
. .
. .
{ È ,Ì
Ìn
=L È }
UN . .
. ,
. .
. .
. .
/ per vettoriale che
il
costruzione piccolo sottospazio
Ntv più
è
CONSIDERAZIONE
- contiene che V
il
sia !
! !!!:{
%÷à÷!:÷;;µm ann T ( sottospazio
ogni
contiene ò )
2h
GMEcalGAReUtVSEUeVSNoSzER
trova
Si generatori
1) di
sistema U
di base
un ridurre
meglio una
se per
calcoli
al i
minimo
V
trova sistema generatori di
Si
2) .
di
un
3) la matrice
Considero seguente :
[ )
→
mi -
- la righe
i riduco per
it .
- ↳ le
→ formeranno
nulle base
righe
vi di Mtv
una
non
-
- ÷
Un -
- 2h
GMecavoAReUnVSEUeVSonoSow#tzER
rappresentazione
Scrivere cartesiana
1) Kev A
tl il
Ateo
di
una : =
→ '
Kara
cartesiana
2) Scrivere rappresentazione Airo V
V
di
una : → =
Ateo
{
3) soluzioni
Trovare le di '
A- XEO
GENERALE
IN sotto ( necessariamente
V
Per di
calcolare V di
dove
Mtv Un rl non
spazi w
sono
e
e
bisogna
" ) base V
base
IR scegliere di
di tl Br
una
pm
una e .
metodi della
Quindi applicano precedente
pagina
si i . identificare
scelto
c' da base
che volta
ricordarsi può
di
è si
W
una
→ una
,
elemento componenti
di le
un sue
W con h
IR
sottospazio dimensionale
K K
Ne di dimmi
=
→
- "
IR
tu
sottospazio dimv
dimensionale di ha
✓ a →
-
⑤ calcolare dove
V
Mtv Un
e sotto
siiii 11242
di
:b
!
:b sono
) spazi
tetto )
}
)
Il :* innanzi ⇐
a- :# ±
e :p
, ,
Mtv
→ :D
1
:) ) :))
Il
:
ridi ti
:L
Abbiamo che a =
, ,
,
Se la base "
scelgo dire
IR che
di posso
canonica
( f)
{ !)
( ?
) ( 912.31
111,2 e
a o
,
?) )
( (
8 II I
1916,2) )
e -1,44
e -2
,
Inserisco la riduco
vettori
questi matrice
in una e
l
1 )
!
! !
! !
!
! !
- !
in ÷
:: :*
della
I matrice
vettori ridotta corrispondono
3
primi a :
)
{!
(
lE://%FE.se?t:iI:Iaw
( )
1,112,0 →
( onesta )
(
( FI
)
4 -5
no →
, ,
UN
→ base
la
Considero canonica
sempre :
oltb di
b)
26,3
(
il componenti MeV
set
a
re ossia E
→
, , base
nella scelta
→
)
aiuti zbi
'
l b '
✓ sai
± a
- - _
,
, ,
Una rappresentazione cartesiana di è
U :
{ Xs
2×2 AX
-
( O
) =
* X ¥ X
t -0
, ,
-
E similmente ottengo
V i
per
{ 2×2
2k Xu A'
) o ×
-
-
↳ -
* -4kt 6×2 Xseo
- sistema
seguente
Ora risolvere
sufficiente il
è :
X
ZX IÈÈÈÈ
,
-
,
I omertà
→ → ( t )
at
Il scelta
base
che nella V
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canonica =
a
,
, }
{ ! )
( te
che iter
concludiamo }
UN =L { )
I
=
MANN
FORMULA GRASS
DI
Siano allora
sotto
V
Ne di W
spazi ,
dimhtdimv-dimlunvjtdimlntvl.ca
basa sulla
dimostrazione seguente proposizione
si :
| Sia din
sottospazio vettoriale dimmi Kf
A di W Wen
proposizione sia
un =
e
- Allora base ÈK completata
è
si }
U
di pm può
ogni essere
= ,
, ,
, . ,
.
.
base di È
a { èk
una }
W èkta fin
pw =
, , , ,
. _
_ , -
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formula
dimostrazione gi GRASSMANN :
=L
Sia )
din (
dimv K
dimll llnv
m e
= , , dobbiamo
V che
dimostrare
Poiché chiaramente N
sottospazio di
NN di
è e , elementi
formata K
) che
K
( mth mth
base da
di
dim Utv è
Ntv ossia una
= - -
,
È }
È
{
Sia base
base V
completiamo U
UN
di
pnnv di
= una :
a e
, , ,
. .
. }
È
{ Èkta èm
ÉK
Pu - ,
, ,
.
. . , .
. .
ÈK
È È )
Èktz
{
Pv = , n
, , .
, .
.
. .
_
. l' base UN
Dimostriamo che di di
pv
Pu è
unione e una È
volta vettori
Sola èk
↳ ovviamente conto
bue
unendo Bv 2 i , ,
.
. .
È Ékts
È èkta
{ }
Ém èn
Puupv (d)
= ,
, .
. . ,
. , , . .
. _ ,
,
. .
,
Notiamo richiesto
elementi di
gli mah
che )
)
(A) K
ktlm th K
K
sono come
= -
-
-
-
per che
costruzioni vettori vettori
quanto
) Mtv 2h
di (
i generano
generano
* in i
sono
uniti quelli Dimostriamo che indipendenti
che V sono
generano
a .
. Ì
aièit tolmèmt tolnèn
deve che d' ' euro
04
essere =
t e- o -
. -
. *
. . .
. .
cioè en en
È-
ÈK
Qmèm
Oliè Èr
ahh
t t un
= -
- -
, . .
.
. ,
. . -
-
en AU ,
l' l' Ò Ò
nulla
la
è
E modo uguaglianza
risolvere combinazione
unico usare
per : =
Infatti : È Était
Amèn toihèn
'
t
t
chi a
e
. . . . . .
.
implica che implica che oiktz
Eumeo
04 Ed
= O
=
}
=
-
. . . . .
È
quanto { èm Èkta
{ fa
} quanto èn
è
in in
,
, . , ,
.
. .
.
.
base della
parte base
2h
di Mi
V
di
una .
esercizio esempio
come
-
{ 2k K X
- ,
-
Siano il Ve this 4×5=0
Xztl
2×1 t
e
= -
Xa 3×5=0 ,
- ?
Rs
che
è Ntv
vero
- ?
diretta
Ntv è somma
una
- IRS quanto soluzione
sotto
Innanzitutto vettoriali
sicuramente di
V
ne in sono
sono spazi
sistemi lineari
di omogenei )
. Io ? Nate 5-2=3
n
A = -
→
Abbiamo )
dimmi
che =3 banalmente
) )
dimlv HA
h
4 5-1=4
= → =
-
GRASSMANN
Applicando FORMULA
la
→ di : ( )
V )
(
dimmi dim din Ntv
din )
Uav dim
t tutti può essere
= (
al massimo 5 spazio
a) 3 4 5
2
t
casi →
+ ol
)
ambiente
= IRS e
. 4
b)
i 3 che
3 t
4
t dato
=
Possibili 4
minimo (
dimmeli )
dimv
>
Nuota fosse )
din
diminuita INN
se =3
: tutti)
{ )
din
dim M riavere ver
cioe da cui
-
un ven
2×1 X2 Xg
{ 0
=
- - teoria
la matrici
Calcolo delle
Xu
V 3×5=0
quindi Un con
-
= that 4×5=0
Xzt
2×1 X
- ,
→ →
t ti E.
÷: :)
÷
-
, :
⇐
÷÷÷ delle parametri
lo dipende
soluzioni da
(a)
Quindi =3 2
cioè spazio
vengo , formula
la È
)
se (
din din ( ) di Grass )
Uav tutti
Ntv 5 per mann
= =
APPLICAZIONI LINEARI
Siano vettoriali
sotto
:) due
( ht ) ( I
W spazi
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