Algebra Lineare e Geometria (parte 2)

Teorema del criterio di diagonalizzabilità

E Emq ns: spazio cheabbia datoautoche l'(E) perché 14mg dimensionevogliamo zerospazio non ,rappresenterebbe }tal { èin che è autocaso un spazionon,dimostreremo )( leimof maleEnon ) ABILITÀTEOREMA CRITERIO DIAGONALIZZDI- IK Rcent;IK == oSia esV vettoriale 1K .→uno spazio su un campofi VV è DIAGONAVIZZABILE Se: →Le1) appartengonoradici ) IKdi Pll a2) Si ha che autovalorehtt) )molla mogli ←=Lsia endomorfismoUn UnUn dimPROPOSIZIONE : un: con n=→- fautoveicoliSe distintilo ha è DIAGONAUZZABILEn→Dimostrazione :Siamo distintiautoveicolitu in n, .. . , }{Vr ÈPoiche his Vai )It/ti Is 1)(King Emai e## aJ =, Viche (concludiamo )quanto Viidimti( ) )ri molti-1 cioè=L 1inmg =,Vinquindi deve Viache ViaUn ⑤⑦essere ⑦= .. . tiÈ sicuramenteIiIn sono}È Va{base sarà .una .e . ,.con ., quanto,. distinti.. ein↳ aauto diversispazi .Il abilità({ concetto criterio diagonali)il

Applica osservazione di si in#e- quadrate alle modo matriciancheovvio .ÌÌÌÌÌÌÉÌÌÈ" """ """" "" """ " """ "zzabilediagonaliè . "" " zzabilediagonali" µèvitaIl A èe seCRITERIO idi ovalizzatiDIAG :

1. a) le detta appartengonoPall)
2. IK)diradici ttd o= a=-b)
3. ) ttantovalore) teitmale my= )( AKercioè ) ltddindim (Va ItaA)mail h r -== -= .

DI AGONAUZZANTEMATRICE

Abbiamo la rappresentativavisto matriceche rispettoendonortismodi ad unaunbase diagonaleautodi vettori è . stessorappresentativamatriceQuindi dello baseendomorfismola rispetto ad unamatricearbitraria diagonalesimiledeve aessere una diagonalematriceUna matricediagonali similezzabile è a→ unamatrice allorazzabile PmatriceQuindi A- diagonali esisteredeveèse unaunatale risultiche matrice diagonaleper PA. D=.

,calcoliamo allora P :sia L zzabilediagonaliVv: →Sia autoreattoribasetisì{ di} una, ,.. .Sia arbitrariala baseAf Diorispettomatrice rappresentativa fi Bdi a una erappresentativala allamatrice rispetto base tantodi vettori ( )Djsua è DIAGONALE( " %)!!D8 autosaloni tediconti=àIÈÌI 'idea !:*: %::[ :p" ÷→Dimostrazione operativa ife )( tiri IÌperché ')p iAg ←i cioe==. .. . fini) )( Fàtima f-. . .. .. .1¥ -2¥)( direttoalatop Dio i ←=. .. .ftp.P-P.dz ' AppP - =Dcioe Riassuntivo VALORI ZZANTEAUTOcalcolo EMATRIESERCIZIO spaziauto diagonalie,Si endomortismoseguenteilconsideri :!) tbctsol )f- 8D( -3WIRI( "Y hoa + "- - IRee gol2a thc µ+- a c-Ken 1mLfi autoantovahohicalcolare→ spazi: ,, , diagonalizzantela matricetrovare nello èDire casose Diaaonauzzabile→ e , ,Ken 1• ! / b)) )(IlY( 89[Per definizione è ossia :=306=0 ÈI Cta-

www.mail÷ ::1mL• dimSappiamo Vadim It lmf 1mLche Ken din din 3=indipendenti matrice ledella rappresentativa base 1mLcomponentiLe didonne disono unabaseCaldo rispettoquindi allaAL canonica .:)=L Il =LMi ):D:) : !!:?))119 :L III 11%1=1)aah !! !! :p:D tiinsetti il ,↳ perché le linearmentecolonneprime sono3indipendenti tra lorodi .VALORIAUTO•calcolo autori alati 'gli radici di )Pllcome cioeo- ,( )!IÌ Èdettato !stato det→-loFaccio Laplacesviluppo ottengocolonnarispetto alladi seconda e2)2=0dopo ) il(t.li run --lungo →calcolo lo aspettiamo perchéceèèài ttevlfh{ Kent o.ir)→ = =ilGli auto meVALORI 1sono con 2= = Kerf l'autoèossia spazioi. 2can maa= = associato autosaloneall' 0dimkerfise 71 sarà tra glici 0autoveicoliauto spazi• .auto relativo Kentacoincide0spazio→ con:aauto ) )relativo muoio 2Kew Id( Ag -1→ 2 è →spazio :a -Ì)Ì( {È

4=2119 )!Kew cioèt.no )Io→ , ~ "'↳ n't.at??;Ig)/↳ )! =/ ;))biadelaossia ,auto relativo Ken Id)(spazio Af 22 :→ a - mgiatzt}:)( Ì È )-111%1,1%4Kew la)adattinosia i. cioè→ -,antovalori l'tuttiDato che endomorfismohagli èmaper mgisi =bilediagonali zza . zzantematrice diagonalilaCalcoliamo P :È !! )! !::*ci⇐ " Il ) 1=L ?,↳componenti dibase di componentiuna dibase-11774 diKentv. una= 4=24%4)§( ! ! ! blu valoriinfatti ? gli autoAgipF ine = .DETERMINANTECONSIDERAZIONI TRACCIASU eAbbiamo matricila determinantetracciavisto similiche il sono invarianti pere .definiti anche endomortismiconcettiDi glibensonoconseguenza per .definiamoendomortismoInfatti f V èV:se un :→ ,N }Ètraccia2) ti(f) delradiciti caratteristicopolinomio=b) det (f) Inte la. . .= .. .:& )làSia ":④ RA- e " )" il( tiallora det " )") ( atpala Underun Unantour: -= -=Are Azz t-

Il tuo compito è formattare il testo fornito utilizzando tag html.

ATTENZIONE: non modificare il testo in altro modo, NON aggiungere commenti, NON utilizzare tag h1;

)tolettatria)it) ilPall = - tritatuttole radici ) Epalisaranno oe == , 2Si trita)facilmente che detta)vede 1 la anche tiditta tise=e e= ..radici complessesono . ""generalizzare alloraCiò Se AEIRqualsiasi dimensionepuòsi a .tshirt " "" " trash detta )) 1)1-Pall t t= .. .Se polinomio coniugatalaha Oltib complessaradice anchecomplessa suaunaun ,radice delib polinomioèa - .In particolare b)b) b)EIR ottobrela ib) IR(latilati i2a a-e=+ =-la delle polinomioradici di realeGENERALE somma PARTICOLAREèIN un INnumeroun ,caratteristicoquelle polinomiodi un ORTOGONALIENDOMORFISMI MATRICIE " "fiendomorfisnro/ Un IR IR è ORTOGONALEDEFINIZIONE : se: →- più fiwi-v.in "tv EIRè) . ,Calcoliamo ortonormalematrice rappresentativala baserispettoL addi una ortonormaledefinizione basedièi Én}{ perP = . .., ÈÈtèg (d)èsj# cioèse i =- oèÈ