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Teorema di Rouche-Capelli
∑Ax = b è compatibile ⟺ raggio(A) = raggio(C), cioè il rango della matrice incompleta (A) è uguale al rango della matrice completa (C).
Dim.
Siccome le colonne della matrice E sono ass. dip., allora le q colonne sono in combinazione lineare delle colonne di A, con coefficienti le colonne che derivano eliminando le variabili di base. I due seguenti enunciati sono quindi verificheschi solo in uno dei seguenti casi:
- rango(A) = raggio(C)
- rango(A) = raggio(C) ± 1
Sia C1 una matrice a scalini ottenuta a partire da C. Allora le prime m colonne di C1 costituiscono le colonne di una matrice a gradini A1 ottenuta a partire da A. Quindi, il rango C1 si identifica esattamente con il pivot della matrice chiamandolo con quelli di A1. Questo risultato afferma che il sistema lineare I ha la L come matrice associata, è compatibile e pertanto possiamo ottenere la costruzione mostrata in questo modo senza le altre bizzarrie: Siccome E ed E' sono equivalenti, allora E è compatibile.
A ∈ m×n(k)
TA: km → km
(y1, ..., yn) → [A (y1)] ∈ n(k)
è un APPLICAZIONE LINEARE
ES.
A = \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ √3 & 0 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}\) ∈ ℝ3×2(ℝ)
fA: ℝ2 → ℝ3
(y1, y2) → [ A \(\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \end{pmatrix}\) ] = (2y1 - y2, √3 y1, 4y1 + 7y2)
= \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ √3 & 0 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} 2y1 - y2 \\ √3 y1 \\ 4y1 + 7y2 \end{pmatrix}\)
DIM.
che fA è un'applicazione lineare
(y1, ..., ym), (z1, ..., zm) ∈ km
⊕ fA((y1, ..., ym) + (z1, ..., zm)) =def A \(\begin{pmatrix} y1 &+ z1 \\ ym &+ zm \end{pmatrix}\)
= A \(\begin{pmatrix} y1 \\ ym \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z1 \\ zm \end{pmatrix}\)
= fA((y1, ..., ym)) + fA((z1, ..., zm))
∘ ∀ c ∈ k, (y1, ..., ym) ∈ km
fA(c (y1, ..., ym)) = A \(\begin{pmatrix} c y1 \\ c ym \end{pmatrix}\)
= c A \(\begin{pmatrix} y1 \\ ym \end{pmatrix}\) = c fA((y1, ..., ym))
Questa applicazione è lineare
• Chi è il nullo di questa applicazione lineare?
Ker fA={ (y1, ..., yn) ∈ k1 | A \(\begin{pmatrix} y1 \\ yn \end{pmatrix}\) = 0 } = 0
Allora TA = I perché fA ed associa gli stari vettori a quelli della base
Immagine di km è propria il teorema fondamentale delle applicazioni lineari.
DEF.
A = (aij) ∈ Mn(R). Si dice determinante di A ed è indicato con det A o |A|.
- Se m = 1 |A| = (a11) allora det A = a11.
- Se m = 2 det A = a11a22 - a12a21.
- Se m = 3 φ = {⟶ ?{2,0,3}
=> M ⬚QQ'(T) T(1, -1) = 2x + x2 => φ = { ?{0,2,1}
↹{2 0 00 2 13 1
ESEMPIO
T: Determinare M ⬚QQ'(T) done seguenti dati:
T: R → R [x + x2]
so to + x2 = x2 -> (2α + 3α, 2β + 2)
- Qᵥ = {1, x, x2}
- Q' = {(1,1ẞ),(0,1),(0,0,1)}
Calcoliamo il trasposto cromato φ • (0,1,0) + B(0,1) + φ(0,0,1) - x₁,x₂,x₃
α = -x₁
β = x₁-x₂
β = x₁+x₂+x₃
A
insieme i cui elementi sono detti punti.
V spazio vettoriale su un campo K.
: A × A ⟶ V
⟨PQ⟩ ⟶ (⟨PQ⟩) = PQ
applicazione "vettore equipollente" vettore libero
godle delle seguenti proprietà:
- ∀ A ∈ A ∃! V ∀ X ∈ A: AX = 0
- ∀ P, Q, R ∈ A PQ + QR = PR
(⟨AX⟩)
Questa proprietà equivale al "Primo postulato di Euclide":
per due punti distinti del piano passa una e una sola retta.
{V, A, π} si dice spazio affine.
π: sempre suriettiva e ciò discende dallo 1
∀ Z ∈ V, ∃! A, X ∈ A | AX = Z
Proprietà
- P, Q ∈ A, ⟨PQ⟩ = 0 ⟺ P = Q
posibile il vettore nullo solo quando i
due punti coincidono.
Dim.
"⇐" ma ho (2),
PQ + QP = PP
PP + PP = PP + PP = O
"⇒" ma la (1) ∀ P, Q ∈ A, O ∈ V, ∃! X ∈ A | ⟨PX⟩ = O) ⟹ Q = P
la dimostrazione di "⇐" se O ⟹ PX = O ⟹ P = X
- P, Q ∈ A, -PQ = QP
Dim. in opposto è unico infatti
PQ + QP = PP = O ⟹ QP = -PQ
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