Appunti Geometria - parte 2

LEZIONE 15

ESERCIZIO

f: R³ → R² v _N W

f(_x^y_z) = ( 3x - 2y + z x + z )

Basi:

N¹ = { ( 1 0 ) N² = ( 0 1 ) N³ = ( 0 0 ) }

N¹ = { ( 1 0 0 ) N² = ( 0 1 0 ) N³ = ( 0 0 1 ) }

Sono due basi di V = R³

W = { W₁ = ( 1 0 ) W₂ = ( 0 1 ) }

W¹ = W₁ = ( 2 1 ) W₂ = ( -1 3 ) W₂ = ( -4 -1 )

Sono due basi di W = R²

Le matrici di cambiamento di base in V sono:

M^NN'(id) = ( 1 1 -1 0 1 -1 2 1 -3 )

È la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori N¹, N^1', N^1' (della base N¹) rispetto alla base N^- = N_{1 N2 N3}

La matrice di cambiamento di base M^N'_N(id) è l’inversa di M^NN'(id)

Le matrici di cambiamento di base di W sono:

M^{v' (id) = ( 2 -2 3 -1 )}

e' la matrice le cui colonne sono le coordinate dei

vettori v₁, v₂, v₃ (della base v') rispetto alla base W:

= {w₁, w₂}

La matrice di cambiamento di base è

M_v^w(id) è l'inversa

La matrice A = M_f^w'(f) è data da:

A = M_n^w(f)

A = ( 3 2 1 ) ( 1 0 2 ) = ( 7 1 0 ) ( 0 1 1 ) ( 2 1 3 ) = ( 5 4 5 ) ( 5 1 6 )

Se A'' = M_f^w'(f) è la matrice di f rispetto alle basi

{n'' = n₁'', n₂'', n₃''}, V = v = {w₁, w₂, w₃} e w si ha,

A = M_n^w(f) = M_v^w(id) M_n^v(f)

(M_v^w(id)) A =

In conclusione, se parto da una soluzione del sistema lineare non omogeneo, ne posso ottenere altre sommando a questa soluzione tutte le possibili soluzioni del sistema lineare omogeneo associato, cioè i vettori del nucleo. Viceversa: se parto da due soluzioni del sistema lineare non omogeneo posso ottenere una soluzione del sistema lineare omogeneo associato semplicemente facendo la differenza.

Le soluzioni di Ax = b sono tutte del tipo

= {x + y} dove y è soluzione di Ax = ø

Ker(f)

x + y, per tutti gli y ∈ Ker(f)

Esempio:

Considero il sistema Ax = b con

A = ⎛_{1 -3 2} ⎜_{-2 6 -4}⎞ X = ⎛_x1 ⎜_x2 ⎜_x3⎞ B = ⎛_b1 ⎜_b2⎞

a) Risolvere Ax = ø

b) Trovare per quali B ∈ R² il sistema Ax = B ammette soluzioni

c) Risolvere Ax = b con B = ⎛₅ ⎜₀⎞ Si ha: R³ ⟶ R²

x ⟶ f(x) = Ax

2) Le soluzioni di Ax = ø sono ker(f)

Ax = ø {_{x1 - 3x2 + 2x3 = 0}

-2x₁ + 6x₂ - 4x₃ = 0

Metodi di eliminazione (Gauss)

Serve per calcolare il rango di una matrice senza ricorrere di quella tecnica che consisteva nel costruire delle combinazioni lineari dei vettori e porle uguali a zero per vedere se erano linearmente indipendenti o dipendenti.

L'idea di questo metodo è semplice. Si parte da una matrice di cui vogliamo calcolare il rango e attraverso una serie di operazioni si cerca di ridurre la matrice in semplice: cioè una matrice che hanno una forma particolare cioè che hanno gli zeri in modo tale da arrivare ad una matrice tanto semplice dove il calcolo del rango è praticamente immediato.

In cosa consistono queste operazioni?

Operazioni elementari sulle righe (o colonne)

• Scambiare due righe fra loro
• Moltiplicare una riga per un numero ≠0
• Sommare (sottrarre) a una riga una combinazione lineare delle altre righe

Queste operazioni non modificano il rango della matrice

Lezione 17

Esercizio

Sistema di equazioni lineari

2x₁ - 4x₂ = -4 3x₁ - 6x₂ + 3x₃ = -3 x₁ - 2x₂ - x₃ = -2

Lo risolvo usando il metodo di eliminazione di Gauss

Scrivo la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini noti.

A = 2-40 3-63 1-2-1

B = -4 -3 -2

Il teorema di Rouche-Capelli mi dice che il sistema ha soluzione se e solo se rango(A) = rango(A|B)

(A|B) = 2-40-4 3-63-3 1-2-1-2

Applico l'eliminazione di Gauss.

Se vogliamo risolvere il sistema non dobbiamo usare operazioni elementari sulle colonne

=> 1-21-3 02-4-2 002-4

=> 1-21-3 01-2-1 0000

Rango(A) = 2

Rango(A|B) = 3

Poiché rango(A) ≠ rango(A|B) => il sistema non ammette soluzioni per il teorema di Rouche-Capelli

Lezione 18

Partendo da una matrice A e applicando delle operazioni elementari sulle righe a una fine si arriva ad una matrice A¹ in forma a scala.

Ad ogni operazione elementare corrisponde una matrice che chiamiamo B₁, B₂, B₃

A → B₃B₂B₁A → B₃B₂B₁A → ...

(B_nB_n-1...B₂B₁)A = A¹ in forma a scala

La matrice B (che si ottiene alla fine) ha le seguenti proprietà:

• BA = A¹, dove A¹ è la forma a scala di A
• La matrice B tiene le informazioni sulle n operazioni elementari che abbiamo usato per ridurre la matrice A in forma a scala.

La matrice B si ottiene come prodotto di tutte le n operazioni elementari che abbiamo usato per ridurre a scala la matrice A

B = B_nB_n-1...B₂B₁

[Come calcolare la matrice B senza moltiplicare tutte le matrici delle operazioni elementari?]

Partiamo dalla matrice A e aggiungiamo la matrice identità (A | I)

Applico operazioni elementari sulle righe

B' (A | I) = (A¹ | B)

dove B cercata, A¹ forma scala

Esempio:

Calcolare rango di A. La matrice B che contiene le informazioni per ridurre A a forma a scala è:

A = (3 -1 4 2 0 2 2 1 4 1 3 2)

Considero matrice A associata con la matrice identità I