Geometria

Formulario

Trasposta => scambio righe e colonne -> m x n -> n x m

Matrice simmetrica => una matrice quadrata si dice simmetrica se ^tA = A, se invece ^tA = -A è antisimmetrica.

Moltiplicazione => due matrici si possono moltiplicare se le righe del secondo sono uguali alle colonne della prima.

Idempotente => se A = A²

Nilpotente => se A^k = O

Matrice inversibile => se date 2 matrici quadrate A e B => AB=BA=Id, è inversibile se ha det ≠ 0 e l'inverso è dato da: A^-1 = ¹∕_detA t((-1)^i+j detA^ij)

Se A è inversibile anche ^tA lo è

• (A^-1)^-1 = A
• (A^t)^-1 = (A^-1)^t
• (AB)^-1 = B^-1 A^-1
• (A^-1)^k = A^-1
• (A)⁰ = I

Teorema Binet

• det (AB) = det A * det B
• se A è inversibile il det A ≠ 0, e viceversa
• det (A^-1) = ¹∕_{det A}

Determinante e campo di quot.

Se fra 2 colonne A e B -> A, B sono elm. dip.->sopra

multiplo -> un livello omogeneo ha sempre la soluzione banale

Teorema Cramer:

Un sistema quadrato ammette una sola soluzione

• se e solo se det A≠0 (quindi è invertibile) e l'unica
• soluzione è:

X = A^-1·B

• Se il det = 0 il sistema ha
• 0 o ∞ soluzioni

Teorema di Rouché-Capelli:

• Sia C la matrice completa dei termini noti -> il sist.
• ha almeno una soluzione se
• rg A = rg C

• Se rg A ≠ rg C ≠ soluzioni

Matrice a scalini

• se sono riga è nullo tutte le righe sotto sono nulle;
• solo il primo elemento non nullo di una riga (pivot)
• e sotto tutti gli zero che lo precedono ci sono tutti elem. nulli

Se A è a scalini -> rg A = numero righe non nulle

• Per Rouché-C un sistema a scalini (con C a scalini)
• ha almeno una soluzione se e solo se l'ultimo pivot della matrice C non sta sull'ultima colonna.

Se T è un isomorfismo → dim T(v) = dim W

Matrice associata

non è altro che la matrice dei coeff. delle immagini

Sia T: ℝ² → ℝ³ un'applicazione lineare con

T(₁⁰) = (₁⁰) con e₁ e₂ = basi canoniche di ℝ³

e ℝ² → calcolare M_E,e(CT) → T rispetto alle basi canoniche

che

T(₀^-1) = (₀^-1)

T(₀^-1) = (₀^-1)

T(₀¹) = (₀¹)

T(₁⁰) = (₁⁰) => T = _{-1 0}^{0 -1})

M_E,e = _{-1 0}^{0 -1})

Cambiamo base:

B = (_{1 0}^{0 1})

B' = (₀¹) calcolare M_B',B(T)

T = (_{1 -1 0}^{0 -1 -1})

F_BT (₁⁰) = (_-1^-1) =>

ora come faccio ad ottenere (0 -1) come combinazione lineare di (0 -1)

o volte (_{1 0}) e 1 volte (_{0 1})

quindi F_BT (₁⁰) = F_B( -1 ) = (₀^-1)

poi facciamo x il secondo

F_BT (_-1^-1) = (₁⁰) => (₀^-1)

comb. lineare di (1 0) 1 volte il primo - 1 volte il secondo

({_-1⁰} = F_B"( -4 ) = (_-1^-1))

poi per il verso

Per trovare autovalori:

A = _{( z - 1 -1 -2 )} → _{( z - λ 1 ) ( 2 z - λ )} → det ( _{z - λ 1 2 z - λ} ) = λ₁,...λ_m

Per gli autospazi:

E (λ₁) → ( _{z - λ1 1 2 z - λ1} ) _{( x y )} = _{( 0 0 )}

E (λ_m) → ( _{z - λm 1 2 z - λm} ) _{( x y ) = ( 0 0 )}

E(0) = Ker T

Polinomio caratteristico

È un polinomio di grado n, ha coeff. di λⁿ = (-1)ⁿ

Il termine noto del polinomio è il -det A.

molteplicità algebrica → esponente di λ

molteplicità geometrica

dimensione finale autospazio d'l

(num. vetteri nello spazio dell'autospazio di λ)

Se λ è un autovalore, T → 0 ≤ mg (λ) ≤ ma (λ)

(se ma=1 anche mg=1)

somma (ma) autoval

Se T: V → V è un endomorfismo dim V = n

criterio Cartesio

Dato un polinomio con radici reali, avrá tante radici (parti

quante sono le variazioni di segno nella successione dei

coefficienti.

Il numero di radici (nulle) è dato dal piú piccolo esponente

di x che compare in P (λ).

le radici (negative):

• ( n - # rad. pos. ≠ # rad. nulle)
• grado polinomio

Geometria del Piano

• i, j hanno lunghezza 1
• OP = √² + 2²
• P₁P₂ = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² // a r che contiene P₁ e P₂
• Punto medio ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )

Rette

Una retta è un sottospazio affine di dimensione 1

Equazione parametrica

r: (^x_y) = (x₀, y₀) + t ⋅ (^l_m)

• Punto retta
• Vettore direttore

Equazione cartesiana

ax + by + c = 0 // dove:

• (^a_b) è un vettore ⊥ a r,
• (^-b_a) è un vettore // a r (vettore direttore)
• (^-b_a) ⋅ P₁P₂

Due rette sono // se hanno gli stessi vettori direttori o multipli.

Retta per un punto

Dada r per P₀ (x_o, y_o) e // a (^l_m) ≠ 0

• Eq. parametrica -> (xy) = t (lm)
• Eq. cartesiana det (x - xoy - yo) (lom - 0) = 0

Retta per 2 punti

Dada r per P₁ (x₁, y₁) e P₂ (x₂, y₂) Eq. parametrica → (^x_y) = t (_{x2 - x1}^{y₂ - y₁})

• Eq. cartesiana det (x - x1, x2 - x1y - y1, y2 - y1) = 0

Gli autovettori sono Span (-1,1) e Span (-1,-1).

Scrivo due vettori:

...

Prendiamo questo punto come nuova origine o' = (-1/2) e sostituiamo questo:

e otteniamo 2x_c² + 4y_c² - 4 = 0 => divido per 4 e ottengo

la forma canonica di C:

CENTRO