Geometria e Algebra

V L(

ii) Dato , , dove 0, 0, 0), 1, 0, 1, 1), 0, 3, 0, 0), determinare la dimensione

V.

dell’immagine di

5

" Î "s, Î = + -3, + -3,

— —,

iii) Verificare che, e t il vettore s(-1, 1, 0, 5) t(0, 0, 1, 4) è controimmagine di

( ).

f 3,3

—

[21] i) Dire se la funzione che ad ogni matrice di associa il suo determinante è un’applicazione lineare di

3,3

— —.

in 3,3

— —

ii) Dire se la funzione di in che ad ogni matrice associa la sua traccia è un’applicazione lineare. In caso

positivo, stabilire se è suriettiva e determinare il suo nucleo.

2,2

[22] Si consideri l’endomorfismo f di R associato alla matrice:

æç ö÷

1 0 h 0

çç ÷÷

0 1 0 h

ççç ÷÷

= Î —.

A , h

÷÷

çç -

3 0 h 2 0 ÷÷

ç -

0 3 0 h 2

è ø

i) Determinare una base per ker f e una base per im f , al variare di h in R.

= -1,

ii) Posto h determinare una base di autovettori per ciascun autospazio e stabilire se f è semplice.

-1

= -1, (G), G

iii) Posto h trovare una base per f dove è il sottospazio vettoriale definito da:

;K O ?

x x

1 2 + - = - - =

=

G / 4x x x 3x 3x 4x 0 .

1 2 3 2 3 4

x x

3 4

[23] Data la funzione: 2,2 2,2

: ™

— —

f

cosı̀ definita: K O K O

+ + +

x x x 17x 10x 9x x

1 2 1 2 3 4 2

=

f ,

+ + -13x - -

x x 11x 8x 6x 8x 6x

3 4 2 3 4 2 3 4

i) si verifichi che f è un’applicazione lineare e si determini la matrice A associata ad f .

ii) Si determini una base di ker f e una base di im f .

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

36 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I

(H),

iii) Si determinino f dove: ;K O ?

x x

1 2

= + - =

H / 4x 2x x 0 ,

1 3 4

x x

3 4

-1 (K),

e f dove: ;K O ?

x x

1 2

= + = =

K / x x x 0 .

1 4 3

x x

3 4

iv) Si calcolino gli autovalori di f e una base per ciascun autospazio. ¢

v) f è semplice? Se la risposta è affermativa, si scriva una matrice diagonale A a cui f è associata e si determini

¢ -1

=

la matrice del cambiamento di base B tale che A B AB.

2,2

V —

[24] Sia il sottoinsieme di formato dalle matrici aventi traccia nulla.

2,2 = (A ),

V — B

i) Verificare che è un sottospazio vettoriale di e che , A , A dove:

1 2 3

K O K O K O

0 1 0 0 1 0

= =

= , A , A ,

A 1 2 3 -1

0 0 1 0 0

V.

è una base di B, V

ii) Trovare, rispetto alla base la matrice dell’endomorfismo f di tale che:

K O

-h - 1 1

(A + ) =

f A ,

1 2 + +

2 h h 1

K O

0 1

(2A + ) =

f A ,

2 3 3 0

K O

- -2

3 h

(A - + ) =

f A A .

1 2 3 - -

h 3 h 3

Î —

iii) Stabilire per quali valori di h f è, rispettivamente:

a) un isomorfismo,

b) diagonalizzabile. 2,2 )

S(—

[25] i) Si provi che esiste un unico endomorfismo f di tale che:

K O K O

-2

1 0 1

=

f ,

-2

0 1 3

K O K O

0 1 h 0

= Î —,

f , h

-

1 1 0 2 h

K O K O

-1

2 0 2

=

f .

-1 -1

0 0

Î Î

—, —

ii) Determinare, per ogni valore di h una base per gli autospazi di f e stabilire per quali valori di h f è

diagonalizzabile. -1

= (G),

iii) Posto h 0, trovare una base per il sottospazio vettoriale f dove:

;K O ?

x x

1 2 2,2

= Î ) + - = + =

G S(— / x x x 2x x 0 .

1 2 3 2 3

x x

2 3 Università di Torino

Capitolo 6 – Applicazioni lineari 37

= ( );

B

[26] i) Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, riferito ad una base , , si determini la

1 2 3

: ™

matrice associata all’applicazione lineare f V V tale che:

= -1)),

L((0,

ker f 1,

(3, -1) = (9, (1, = (3,

f 1, 0, 0), f 1, 1) 2, 4).

ii) f è semplice? 3 3

: ™

— —

[27] Si considerino le matrici associate, rispetto alla base canonica, alle applicazioni lineari f tali

che: 3

= {(x ) Î + + =

—

ker f , x , x / x x x 0},

1 2 3 1 2 3 3

(H) Í = {(x ) Î =

H, H —

f dove , x , x / x 0}.

1 2 3 3 3

—

Determinare quali tra queste matrici sono diagonalizzabili, quindi individuare una base di autovettori di .

: ™

[28] In V è data la funzione f V V cosı̀ definita:

3 3 3 ß ß ß

( ) = + -

f 2 .

i) Provare che f è lineare.

ii) Determinare una base per ker f e una base per im f .

iii) f è semplice? : ™

[29] In V è data la funzione f V V cosı̀ definita:

3 3 3 ß

( ) = ( + ) + × ) - ( × )

f 2( .

i) Provare che f è lineare.

ii) Determinare una base per ker f e una base per im f .

iii) f è semplice? ¢ ¢¢

2 3 4

— — — B, B B

[30] Si considerino gli spazi vettoriali , , riferiti alle rispettive basi canoniche , . Date le

applicazioni lineari: K O

-1

1 2

¢

B

3 2 ,B

: ™ = ( ) =

— —

f , A M f ,

-2

1 3

K O

-3 -4 3 0

¢¢

B

4 2 ,B

: ™ = (g) =

— —

g , B M ,

-5 -9 -1

4

4 3

: ™ =

— —

determinare, se esiste, un’applicazione lineare h tale che f h g.

ë ¢ ¢¢

2 3 4

— — — B, B B

[31] Si considerino gli spazi vettoriali , , riferiti alle rispettive basi canoniche , . Date le

applicazioni lineari: æç ö÷

1 0

ç ÷

ççç ÷÷÷

¢

B,B -1

2 3

: ™ = ( ) =

— — 2

f , A M f ,

ç ÷

0 1

è ø -1

æç ö÷

1 2 0

ç ÷÷

ççç

¢¢ ¢

B -1 -8

4 3 ,B

: ™ = (g) = ÷÷

— — 11 0

g , B M ,

ç ÷

-3

0 5 0

è ø

4 2

: ™ =

— —

determinare, se esiste, un’applicazione lineare h tale che f h g.

ë

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

38 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I

[32] Si consideri la funzione: 1

2,2 2,2 t 2,2

: ® (A) = (A + Î

— — —

f , f A), A .

2

i) Verificare che f è un’applicazione lineare. 2,2

—

ii) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di .

iii) Determinare una base per ker f e una base per im f . 2,2

—

iv) f è semplice? In caso affermativo, determinare una base di di autovettori e la matrice a cui f è associata,

rispetto a tale base.

[33] Verificare che le seguenti matrici: -7

æç ö÷

2 14

ç ÷

ççç ÷÷÷

-2

= 0 2

A ç ÷

-6

0 5

è ø

e: æç ö÷

1 0 0

ç ÷÷

ççç

¢ = ÷÷

0 2 0

A ç ÷

0 0 2

è ø

3 3 3

: ™

— — —

sono associate allo stesso endomorfismo f . Se A è riferita alla base canonica di , determinare la

¢

base a cui è riferita la matrice A . 4 4

: ™

— —

[34] Si consideri l’applicazione lineare f tale che:

a) l’autospazio relativo all’autovalore 1 è:

= {(x )/ = - - =

H , x , x , x x x x 2x 0}.

1 2 3 4 1 2 3 4

-1

b) L’autospazio relativo all’autovalore è:

= {(x )/ - = + = =

K , x , x , x x 2x x x x 0}.

1 2 3 4 1 2 2 3 4

c) Il nucleo è dato da: = {(x )/ = = =

ker f , x , x , x x x x 0}.

1 2 3 4 2 3 4 4

—

i)) Determinare la matrice A associata ad f , rispetto alla base canonica di .

¢

ii) f è semplice? In caso affermativo, scrivere una matrice diagonale A simile ad A e la matrice B tale che

¢ -1

=

A B AB. = + = + = + +

[35] In V sono dati i vettori 2 , , .

3

= ( )) : ®

B

i) Determinare la matrice associata (rispetto alla base , , all’applicazione lineare f V V tale che:

3 3

ß ß

( ) = + ( ) = × ) ( ) =

f , f 2( , f .

ii) Determinare una base e la dimensione di ker f e di im f . -1

(H) = + - ) (K), = - ).

H L( K L(

iii) Determinare una base e la dimensione di f dove , e di f dove

iv) f è semplice?

v) Si scelga un autovalore di f e si determini un sottospazio supplementare dell’autospazio ad esso relativo.

Università di Torino

Capitolo 6 – Applicazioni lineari 39

2,2 2,2

: ™

— —

[36] Si consideri l’applicazione lineare f cosı̀ definita:

K O K O K O K O

-2 -2h

2 0 2h 1 2 h

= =

f , f ,

-1 -1 -1 -1

1 0 4 1

K O K O K O K O

-1 + -2h +

0 0 h 6 1 2 h 2

= = Î —.

, f , h

f -1 -2

3 1 1 1 5 2

2,2

—

i) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di .

Î —,

ii) Al variare di h determinare una base e la dimensione di ker f e una base e la dimensione di im f .

-1 -1

iii) Per quali valori di h esiste f ? Determinare, in questi casi, la matrice associata ad f .

iv) Per quali valori di h f è semplice?

[37] Determinare, se esiste, un’opportuna applicazione lineare g tale che:

=

g f h,

ë

4 3

: ™

— —

dove f è cosı̀ definita: ì ¢

ï = + + +

x x x x x

ï 1 1 2 3 4

ï ¢

í = - +

x x x 3x

ï 2 2 3 4

ï ¢

ï = + - -

x 2x 2x x x

3

î 1 2 3 4

4 2

: ™

— —

e h è definita da: ¢

; = + -

x x 2x 3x

1 1 2 3

¢ = + + -

x x x x 2x .

2 1 2 3 4

3 4

: ™

— —

[38] i) Determinare un’applicazione lineare f tale che:

= -4), (2, -1, -3)).

L((1,

im f 2, 0, 0,

3 4

: ™

— —

ii) Determinare un’applicazione lineare f tale che:

= L((1,

ker f 0, 1)).

4 3

: ™

— &md