Geometria (Geometria del piano)

GEOMETRIA del PIANO

Fissiamo un piano, fissiamo un riferimento cartesiano avente un punto O (origine) e due base i e j di V₀² tale che:

• i * j = 0, j * i = 0
• i e j hanno lunghezza 1.

Identifichiamo ogni vettore OP ∈ V₀² con le sue coordinate:

OP = ( x y )

dove OP = xi + yj

Identifichiamo ogni punto P con le coordinate del vettore OP:

P = ( x y ) se OP = xi + yj

Identifichiamo v ∈ V₀² e le sue classi [v] ∈ V².

• Asse delle ascisse (asse x) = rette per O parallele a i.
• Asse delle ordinate (asse y) = rette per O parallele a j.

OP = ( 2 1 ) ρ = ( 2 1 ) punti dell'asse x hanno ordinata 0 punti dell'asse y hanno ascissa 0

P₁P₂ = O_P2 - O_P1 = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Punto medio del segmento P₁P₂ = (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2

Baricentro del triangolo P₁P₂P₃ = (x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3

Retta r per P₁ = ( x₁ y₁ ) e P₂ = ( x₂ y₂ ) con P₁ ≠ P₂

È la retta per P₁ con vettore direzione ( x₂ - x₁ y₂ - y₁ ), ovvero

• ( x - x₁ y - y₁ ) = t ( x₂ - x₁ y₂ - y₁ ) eg. parametriche
• det ( x - x₁ x₂ - x₁ y - y₁ y₂ - y₁ ) = 0 eg. cartesiane

Osservazioni

• Equazioni parametriche diverse possono descrivere la stessa retta.
• Equazioni cartesiane descrivono le stesse rette se e solo se una è multiplo dell'altra.

Esercizio

Scrivere equazioni parametriche e cartesiane delle rette

1. r passante per P₁ = ( 1 1 ) e di vettore direttore ( 2 1 )
2. s passante per Q₁ = ( 2 5 ) e Q₂ = ( 3 4 )

• 1. eq. parametriche
• oppure { x = 1 + 2t y = 1 + t
• 1. eq. cartesiane
• det ( x - 1 2 y - 1 1 ) = 0 ovvero x - 2y + 1 = 0
• 2. eq. parametriche
• oppure { x = 2 + t y = 5 - t
• 2. eq. cartesiane
• det ( x - 2 3 - 2 y - 5 4 - 5 ) = 0 ovvero -x - y + 7 = 0 oppure x + y - 7 = 0

Distanze

Dati due insiemi I e J

d(I, J) = inf { d(P_i, P_j) : P_i ∈ I, P_j ∈ J }

• inf, ci sarà sempre un punto del primo insieme e uno del secondo de cui si ottiene la distanza minima

Distanze tra due punti: P₁ = (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂)

d(P₁, P₂) = || P₁P₂ || = || (x₂ - x₁, y₂ - y₁) || = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Distanze tra un punto P₀ (x₀, y₀) e una retta r: ax + by + c = 0

d(P₀, r) = min { d(P₀, P_r) : P_r ∈ r } = d(P₀, Q) dove Q è il punto di intersezione di r con le rette r' ⊥ r, P₀ e r'.

Formula: d(P₀, r) = | ax₀ + by₀ + c | / √(a² + b²)

Esercizio 9.12

Dati \( A=(-1 \; 1) \; e \; B=(2 \; -3) \), determinare i punti:

C che rendono il triangolo ABC isoscele sulla base AB e di area 25.

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ -3 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \)

P_medio = \(\begin{pmatrix} \frac{2-1}{2} \\ \frac{1-3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Asse di \(\overrightarrow{AB}\) = \( x=1/2 + 4t \) \( y=-1 + 3t \)

d (P_asse, P_medio) = \(\sqrt{(1/2 + 4t - 1/2)^2 + (-1 + 3t + 1)^2} = \sqrt{16t^2 + 9t^2} = \sqrt{25t^2} = 5|t| \)

Area = \(\frac{1}{2} \cdot d \; (A,B) \cdot d (P_asse, P_medio) = \frac{1}{2} \sqrt{9 + 16} \cdot 5|t| = \frac{25}{2} |t| = 25\)

ovvero |t| = 2, cioè t = 2 oppure t = -2

per t: 2 si ha C₁ = \(\begin{pmatrix} 1/2 + 8 \\ -1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17/2 \\ 5 \end{pmatrix} \)

per t: -2 si ha C₂ = \(\begin{pmatrix} 1/2 - 8 \\ -1 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15/2 \\ -7 \end{pmatrix} \)