Geometria (Geometria del piano)

Geometria del piano

Concetti fondamentali

Fissiamo un piano e un riferimento cartesiano avendo un punto O (origine) e due basi tali che: i ⊥ j e i e j hanno lunghezza 1. Identifichiamo ogni vettore con le sue coordinate: ^OP = ^(x)/_(y) dove OP = xi + yj. Identifichiamo ogni punto P con le coordinate del vettore ^OP: P = ^(x)/_(y) se OP = xi + yj.

Identifichiamo v e la sua classe [v] e V². L'asse delle ascisse (asse x) è la retta per O parallela a i. L'asse delle ordinate (asse y) è la retta per O parallela a j. ^OP = ⁽²⁾/₍₁₎ ρ = ⁽²⁾/₍₁₎. I punti dell'asse x hanno ordinata 0. I punti dell'asse y hanno ascissa 0.

Riferimento cartesiano

Fissiamo un piano. Fissiamo un riferimento cartesiano RC(O; i, j) avendo un punto O (origine) e tre basi (i, j) di R² tali che: i ⊥ j e i e j hanno lunghezza 1. Identifichiamo ogni vettore OP e R² con le sue coordinate: (OP) = (x, y) dove OP = xi + yj. Identifichiamo ogni punto P con le coordinate del vettore OP: P = (x, y) se OP = xi + yi.

Coordinate e vettori

Identifichiamo i e R² e le sue classi [i] e R². L'asse delle ascisse (asse x) è la retta per O parallela a i. L'asse delle ordinate (asse y) è la retta per O parallela a j. OP = (2, 1) ρ = (2, 1). Punti dell'asse x hanno ordinata 0. Punti dell'asse y hanno ascissa 0.

Punti e segmenti

P₁ = (x₁, y₁)

P₂ = (x₂, y₂)

P₁P₂ = OP₁ - OP₂ = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Punto medio e baricentro

Punto medio del segmento P₁P₂ = (^{x₁ + x₂}/₂, ^{y₁ + y₂}/₂)

P₁ = (x₁, y₁)

P₂ = (x₂, y₂)

P₃ = (x₃, y₃)

Baricentro del triangolo P₁P₂P₃ = (^{x₁ + x₂ + x₃}/₃, ^{y₁ + y₂ + y₃}/₃)

Retta

Una retta r è un sottospazio affine di dimensione 1:

(_x0, ^y₀) + span (_l, ^u) con (_l, ^u) ≠ (₀, ⁰)

(_l, ^u) e tutti i suoi multipli non nulli sono i vettori direzionali di r, ovvero i vettori paralleli a r. (_x0, ^y₀) è un punto di r.

Equazioni parametriche e cartesiane

• E.Q. PARAMETRICHE: (_x, ^y) = (_x0, ^y₀) + t(_l, ^u)
• Il generico punto della retta è (_x, ^y) = (_{x0 + lt}, ^{y₀ + ut})
• E.Q. CARTESIANE: ax + by + c = 0

I punti della retta sono quelli che soddisfano l'equazione cartesiana.

Osservazione

Se P₁ e P₂ sono due punti distinti di r, il vettore P₁P₂ è un vettore direttore di r.

P₁P₂ = ^{x₂ - x₁}/_{y2 - y1}

Proposizione

Se r: ax + by + c = 0, ^a/_b è un vettore a r ^-b/_a è un vettore direttore di r.

Dimostrazione

Siano P₁=^x₁/_y1 e P₂=^x₂/_y2 due punti di r, quindi:

ax₁ + by₁ + c = 0

ax₂ + by₂ + c = 0

Sottraendo: a(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) = 0

Ovvero ^a/_b ^{x₂ - x₁}/_{y2 - y1} ≥ 0

Quindi ^(a)/_(b) è perpendicolare a ^P₁P₂ = ^{(x₂ - x₁)}/_{(y2 - y1)} (che sopra essere parallelo a r). Inoltre, poiché ^(-b)/_(a) ⊥ ^(a)/_(b), ^(-b)/_(a) è parallelo a r.

Rette parallele

Due rette sono parallele se e solo se hanno stessi vettori direttori:

r: ^{x=x_o+lt}/_{y=yo+mt} e r₁: ^{{x=x_o1+l₁t}