Geometria lineare

Calcolo del piano ortogonale

Il primo modo per individuare il piano ortogonale è quello di individuare il vettore ortogonale a n. Iniziamo a scrivere n secondo la sua decomposizione chiamando a, b e c le componenti associate ai versori:

n = a i + b j + c k

Dalla teoria sui vettori sappiamo che due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo. Quindi facendo il prodotto scalare tra n e il vettore ortogonale otteniamo:

(-x - x) a + (y - y) b + (z - z) c = 0

Sviluppando il prodotto scalare otteniamo:

-2ax + 2by + 2cz = 0

Quindi l'equazione cartesiana del piano ortogonale è:

-2ax + 2by + 2cz = 0

Un altro modo per determinare un piano è tramite 3 punti. Siano P1, P2 e P3 i punti del piano:

sistema di equazioni: x = ay + bz + dt y = by + cz + dt z = cz + dt Una volta trovate le soluzioni del sistema, i punti corrispondenti saranno i punti impropri del piano.

Si nota che la parte evidenziata è l'equazione della retta impropria del piano.

Una relazione interessante che intercorre tra i piani e le rette è che ogni retta si può identificare come intersezione di due piani. Questa considerazione fornisce un metodo di calcolo per risolvere problemi legati alle rette come la ricerca dei punti impropri di una retta.

Per trovare i punti impropri della retta devo risolvere questo sistema, che mi darà come risultato un unico punto improprio, questo significa che ad ogni retta possiamo associare uno ed un solo punto improprio.

Inoltre le prime tre coordinate omogenee del punto improprio sono i parametri direttori della retta propria.

Pt.3 PARALLELISMO E ORTOGONALITA'

Parallelismo tra rette: | |' |r ∨v

Siano r e r due rette e siano v e v i vettori direttori ad esse associati, allora r se v ≠ 0, cioè se quindi se io decompongo ( )' = lx+my+v nz e ( ) = l

+mv x y+ n z allora v∨¿ v se l , m, n ρ l , m , n .Si nota che due rette parallele hanno lo stesso punto improprio.

Ortogonalità tra rette: 'Siano r e r due rette e siano v e v i vettori direttoriad esse associati , allora0⊥r ⊥r solo se v v '0Essendo v e v’ dei vettori , dalla teoria sui vettori sappiamo che essi sono'ortogonali solo se il prodotto scalare è nullo, quindi solo se⊥v v' ' '+m +n =0ll m n

Parallelismo tra piani:Consideriamo la seguente immagine: Da questa immagine si capiscesubito che i due piano sono paralleli solo se le rette ad essiperpendicolari sono parallele, quindi la condizione diparallelismo tra i piani è analoga alla condizione diparallelismo tra le rette, solo che al posto di considerare l,m,nconsidero a,b,c. Si nota che due piani parallelihanno la stessa retta impropria.

Ortogonalità tra piani:Consideriamo la seguente immagine: Da questa immagine si capiscesubito che i

due piano sono ortogonali solo se le rette ad essi perpendicolari sono ortogonali, quindi la condizione di ortogonalità tra i piani è analoga alla condizione di ortogonalità tra le rette, solo che al posto di considerare l, m, n considero a, b, c. Rette e piani paralleli: Due rette sono parallele se i loro vettori direttori sono proporzionali. Allo stesso modo, due piani sono paralleli se i loro vettori normali sono proporzionali. Rette e piani ortogonali: Due rette sono ortogonali se il prodotto scalare tra i loro vettori direttori è zero. Allo stesso modo, due piani sono ortogonali se il prodotto scalare tra i loro vettori normali è zero. Iniziamo adesso a parlare delle intersezioni tra enti geometrici; ovviamente ha senso parlare di intersezioni solo nel caso di rette e piani. Iniziamo a vedere cosa accade nell'INTERSEZIONE TRA 2 RETTE. Consideriamo le seguenti rette espresse con la seguente legge: L'intersezione tra due rette si calcola risolvendo il sistema in cui vengono riportate le leggi di entrambe le rette, tuttavia per fare ciò passiamo prima alle coordinate omogenee: e a questo punto risolviamo il seguente sistema: Sostanzialmente si tratta di un sistema lineare omogeneo, quindi per risolvere questo sistema vale la teoria dell'algebra; nel dettaglio calcolo il determinante per vedere se ilsistema è possibile o impossibile, se il determinante è 0 allora il sistema è possibile e nel dettaglio le rette si intersecano in un punto, se invece il determinante è diverso da 0 allora il sistema è impossibile e quindi le rette non si intersecano. Inoltre possiamo dire che se due rette si intersecano allora sono complanari, se due rette non si intersecano allora si chiamano rette sghembe, ovviamente dall'affermazione di prima deriva che due rette sghembe non saranno mai complanari. Proseguiamo parlando dell'INTERSEZIONE TRA PIANI: Se lavoro nello spazio, due piani si intersecano sempre cioè hanno sempre una retta in comune. Nel dettaglio se lavoro con rette non parallele allora la retta in cui i piani si intersecano è la retta propria, invece se i piani sono paralleli la retta in comune tra i due piani è la retta impropria. Concludiamo vedendo l'INTERSEZIONE TRA RETTA E PIANI: Consideriamo una retta e un piano aventi

le seguenti leggi

Anche in questo caso l' intersezione tra una retta e un piano si trova risolvendo il sistema in cui compaiono le leggi di entrambi gli enti geometrici quindi per trovare l' intersezione devo risolvere:

{ +¿x= x0+y= y mt0questo sistema: +ntz=z 0ax+ by+ cz+ d=0

Si nota che quando faccio il prodotto se ottengo al,bm,cn=0 allora la retta e il piano sono paralleli e quindi il sistema non ammette soluzioni.

Pt.4 FASCI DI PIANI

Iniziamo dicendo che per definire un fascio di piani è necessario avere 2 piani distinti quindi siano due piani:

' ' ' ' '+ +b =0π : ax+by cz+ d=0 π : a x y+ c z+ d

distinti, allora si definisce fascio di piani l' insieme dei piani la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di cioè presi π e π ' il fascio di piani relativo a è λ , μ∈ R π e π '

Si nota che tutti i piani che fanno parte del fascio passano per un asse centrale detto asse

del fascio la cui equazione è data da π ∩ π 'infatti sappiamo che l'intersezione di due piani distinti identifica sempre una retta. Pt.5 CONICHE Per definizione una conica è il luogo dei punti propri, impropri, reali e immaginari che soddisfano un'equazione di secondo grado in incognite (x', y', t'): Ovviamente l'equazione che ho appena scritto è espressa in coordinate omogenee, come nel caso delle rette posso passare alle coordinate non omogenee e in questo l'equazione della conica diventa: Nelle equazioni della conica, sia in forma omogenea che in forma non omogenea, vediamo che ogni coefficiente è identificato da un doppio pedice, questo perché ogni conica può essere espressa anche in forma matriciale, cioè ad ogni conica posso associare una matrice. Quindi la conica espressa in coordinate omogenee, in forma matriciale è: t = 0 x Bx' forma matriciale della conica.conica si utilizza la classificazione basata sui punti impropri o sul determinante della sottomatrice. Per classificare una conica in base ai punti impropri, poniamo t'=0 nell'equazione espressa in coordinate omogenee. Se otteniamo un punto, la conica è una parabola. Se otteniamo due punti distinti, la conica è un'iperbole. Se otteniamo un punto immaginario, la conica è un'ellisse. Per classificare una conica in base al determinante della sottomatrice, consideriamo la seguente matrice quadrata: A = |a11 a12| |a21 a22| Se il determinante di A è positivo, la conica è un'ellisse. Se il determinante di A è negativo, la conica è un'iperbole. Se il determinante di A è zero, la conica è una parabola. In conclusione, le coniche irriducibili sono la parabola, l'iperbole e l'ellisse. La classificazione delle coniche può essere fatta utilizzando i punti impropri o il determinante della sottomatrice.

conica non si lavora sulla sua forma base, bensì si attua una rototraslazione che permette di semplificare lo studio della conica.

In alcuni casi particolari al posto di una rototraslazione potrebbe servire solo una rotazione o solo una traslazione, per esempio se O' = (0,0) cioè a = 0 e b = 0 allora non servirebbe la traslazione perché l'origine del vecchio sistema di riferimento coincide già con l'origine del nuovo sistema di riferimento.

L'equazione della rotazione è: y = Xcosθ - Ysinθ

Se invece θ = 0 significa che il vecchio sistema di riferimento e il nuovo sistema di riferimento sono già orientati in modo parallelo, quindi serve solo una traslazione.

L'equazione della traslazione è: x = a' + by = Y

Una conica ridotta in forma canonica si presenta in una di queste due forme: -detB = γ^2 2 α, β con autovalori di A e + = γα X βY detA

−detB2 = γ2 β oppure per la parabola con autovalore di A e=2β Y γX β Durante una rototraslazione ci sono dei valori che non cambiano, questi valori si chiamano invarianti ortogonali e sono: |B|, |A|, rango(B), traccia(A). Quando noi abbiamo una conica irriducibile possiamo trovare sempre una retta ad essa tangente. Nel dettaglio si