Geometria lineare

Introduzione alla geometria lineare: punti e rette

La geometria lineare si sviluppa sia sul piano che nello spazio. Iniziamo a definire i punti prima nel piano e poi nello spazio. Se lavoriamo nel piano, dobbiamo definire un sistema di coordinate ortogonali come, ad esempio, un piano cartesiano.

Noi sappiamo già che se lavoriamo nel piano, ogni punto del piano può essere identificato tramite una coppia di coordinate. Quindi, sia P un punto nel piano, esso si può indicare come P = (x, y). Questo tipo di coordinate si chiamano coordinate cartesiane o coordinate non omogenee. I punti esprimibili in questo modo sono definiti punti propri del piano.

Ad ogni punto proprio del piano possiamo associare altre coordinate dette coordinate non omogenee o coordinate proiettive. I punti espressi in coordinate omogenee sono identificati da una terna di numeri del tipo (x', y', t') con t ≠ 0. La relazione che intercorre tra le coordinate non omogenee e le coordinate omogenee è la seguente: x = x'/t', y = y'/t'. Questa è la ragione per la quale t ≠ 0.

Le coordinate omogenee, oltre a permettere di esprimere in modo diverso i punti propri, permettono di identificare un’altra classe di punti detti punti impropri. Nel dettaglio, i punti impropri sono punti esprimibili solo tramite le coordinate omogenee e presentano la terza coordinata nulla, t = 0.

Punti nello spazio

Discorsi analoghi valgono se lavoriamo nello spazio. Solo, un punto proprio dello spazio è identificato dalle 3 coordinate P = (x, y, z). Le rispettive coordinate omogenee sono (x', y', z', t') con t ≠ 0. La relazione che intercorre tra le coordinate omogenee e non omogenee è la seguente: x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'. Anche in questo caso si identificano punti impropri detti punti impropri dello spazio, per i quali t = 0.

Definizione delle rette

Una volta definiti i punti nel piano e nello spazio, possiamo passare a definire le rette nello spazio. Una retta è ben definita quando posso identificare un suo punto proprio, che chiamiamo P₀, ed un vettore non nullo ad essa parallelo. Il vettore v rappresentato qui accanto si chiama vettore direttivo r: v.

Essendo un vettore, posso attuare la sua scomposizione, ovvero posso scriverlo in funzione dei suoi versori che nel piano sono i, j, k. Quindi v = li + mj + nk. Le componenti del vettore, ovvero l, m, n, si chiamano parametri direttori.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi necessari per definire correttamente una retta: sia P un generico punto nello spazio, una retta è l'insieme dei punti P tali che P - P₀ sia parallela al vettore direttivo. ∃t ∈ R: P - P₀ = tv. Nel dettaglio si dimostra che ciò che ho appena scritto si chiama equazione vettoriale della retta r.

Quando svolgiamo gli esercizi, però, non lavoriamo con le equazioni vettoriali della retta, bensì con le equazioni parametriche. Vediamo come passare dalle equazioni vettoriali a quelle parametriche: (P = (x, y, z) e sia P₀ = (x₀, y₀, z₀) allora P - P₀ = (x-x₀)i + (y-y₀)j + (z-z₀)k. Sia P - P₀ = tv.

A sua volta, prima io ho già decomposto il vettore v, quindi dire P - P₀ = tv coincide con il dire che (x-x₀)i + (y-y₀)j + (z-z₀)k = t(li + mj + nk). Sviluppando il prodotto al secondo membro e raccogliendo i versori, posso costruire questo sistema: esso rappresenta proprio l’equazione parametrica della retta r.

Nota l’equazione parametrica, posso passare ad un’altra forma che prende il nome di equazione cartesiana; per fare ciò, da ogni equazione del sistema ricavo t e così ottengo:

È possibile definire una retta anche soltanto avendo due punti. Se io considero il punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) e P₁ = (x₁, y₁, z₁), adesso il vettore direttore della retta è proprio P₀P₁. Quindi, se faccio lo stesso ragionamento di prima, quello che ottengo è la seguente espressione: (x-x₀)i + (y-y₀)j + (z-z₀)k = t(x₁-x₀)i + (y₁-y₀)j + (z₁-z₀)k. Quindi, se di nuovo raccolgo i versori, quello che ottengo è il seguente sistema: esso rappresenta l’equazione parametrica della retta passante per due punti; se anche in questo caso raccolgo t, ottengo che è l’equazione cartesiana della retta passante per due punti.

Piani

Precedentemente abbiamo detto qual è la condizione necessaria affinché sia ben determinata la retta e, nel dettaglio, abbiamo detto che una retta è ben determinata se posso individuare un punto appartenente ad essa ed un vettore non nullo ad essa parallelo; la condizione per determinare un piano è molto simile.

Un piano infatti è ben determinato se posso individuare un punto appartenente ad esso ed un vettore ad esso ortogonale n. Il piano π è quindi determinato da un punto P₀ e un vettore normale n.

Per quanto riguarda la retta, abbiamo detto che essa si forma quando il vettore direttore risulta essere parallelo al vettore che si forma congiungendo due punti P₀ e P; discorso simile vale qui. Infatti, un piano si forma quando, preso oltre al punto P₀ un altro punto P, il vettore congiungente i due punti risulta essere ortogonale con il vettore n.

Nota: questo, come nel caso della retta, è un altro modo per identificare un piano. Quindi, il primo modo è quello in cui individuo il punto e il vettore n ortogonale, mentre il secondo modo è quello di individuare il vettore ortogonale a n.

Iniziamo a scrivere n secondo la sua decomposizione chiamando a, b e c le componenti associate ai versori: n = ai + bj + ck.

Dalla teoria sui vettori sappiamo che due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo. Inoltre, so che per la teoria sulle rette e sui vettori P - P₀ = (x-x₀)i + (y-y₀)j + (z-z₀)k.

Quindi, facendo il prodotto scalare ottengo: (x-x₀)a + (y-y₀)b + (z-z₀)c = 0. Ovviamente, pongo il prodotto scalare uguale a 0 perché per determinare il piano ho bisogno che le due rette siano ortogonali: ax - ax₀ + by - by₀ + cz - cz₀ = 0. Se pongo d = - (ax₀ + by₀ + cz₀), allora posso dire che l’equazione cartesiana del piano è: ax + by + cz + d = 0.

Un altro modo per determinare un piano è tramite 3 punti. Siano P = (x, y, z). I punti P del piano sono tutti e soli i punti per i quali i tre vettori che si formano congiungendo i punti sono complanari. Affinché ciò accada, dalla teoria dei vettori sappiamo che il prodotto misto deve essere nullo. Quindi, dati 3 punti, essi determinano un piano se:

Abbiamo già detto che nello spazio le coordinate omogenee sono (x', y', z', t').