Geometria e Algebra

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

QUARTA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ·)

Sia G un insieme con n elementi. Quanti gruppoidi (G, esistono?

SECONDO ESERCIZIO

◦)

Sia (σ , il gruppo simmetrico su tre elementi, dove σ è l’insieme delle corri-

3 3 ◦

spondenze biunivoche da un insieme con tre elementi in se stesso e è l’opera-

zione di composizione.

Determinarne la tabella dell’operazione.

TERZO ESERCIZIO ◦):

Si considerino i seguenti due elementi del gruppo simmetrico (σ ,

3

1 2 3 1 2 3

a = e b = .

1 3 2 3 2 1

∈ ∈

Determinare x σ e y σ tali che:

3 3 ◦ ◦

a x = b e y a = b.

QUARTO ESERCIZIO

·)

In un gruppo (G, è valida la seguente legge di cancellazione?

· · · · · ·

Se a b c = d b e allora a c = d e.

4

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

QUINTA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ·)

1. Stabilire se in un gruppo (G, vale la seguente proprietà delle potenze:

n n n

· ·

(a b) = a b per ogni a, b in G, per ogni n in Z.

·)

2. Dimostrare che se a e b sono elementi di un gruppo (G, tali che a·b = b·a

allora n n n

· ·

(a b) = a b per ogni n in Z.

SECONDO ESERCIZIO

1. Mostrare con un esempio che, dati due sottogruppi H e K di un gruppo

·), ∪ ·).

(G, non è detto che H K sia un sottogruppo di (G, ·), ∪

2. Dimostrare che, dati due sottogruppi H e K di un gruppo (G, H K

·) ≤ ≤

è un sottogruppo di (G, se e solo se H K o K H.

TERZO ESERCIZIO

·)

Sia (G, un gruppo e sia H un suo sottogruppo. Si definisca in G la seguente

relazione: −1

∼ · ∈

a b se e solo se a b H.

∼

1. Si dimostri che la relazione cosı̀definita è una relazione di equivalenza.

2. Si verifichi che per ogni elemento a di G si ha

·

[a] = H a.

∼

QUARTO ESERCIZIO

·) ∼

Sia (G, un gruppo e sia una relazione di equivalenza compatibile con il

·).

prodotto di (G,

1. Si dimostri che [1] è un sottogruppo di G.

∼

2. Indicato con H il sottogruppo [1] , si dimostri che H è normale in G.

∼ ∼

3. Si dimostri che le classi di equivalenza di sono i laterali (destri o sinistri)

−1

∼ ∈

di H. (Suggerimento: verificare che a b se e solo se a·b H e utilizzare

l’esercizio 3) 5

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

SESTA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ·)

1. Dimostrare che un gruppo finito (G, di ordine uguale a un numero primo

è ciclico e ogni suo elemento diverso dall’unità genera il gruppo.

◦),

2. Determinare tutti i sottogruppi di (σ , specificando quali sono normali.

3 ◦).

3. Determinare tutti i gruppi quoziente di (σ ,

3

SECONDO ESERCIZIO

·) ∈

Sia (G, un gruppo. Per ogni g G si definisca l’applicazione φ di G in sé nel

g

modo seguente: −1

φ (h) = ghg .

g

1. Si provi che φ è un automorfismo di G.

g

2. Si dimostri che l’applicazione φ da G in Aut (G) che porta g in φ è un

g

omomorfismo tra gruppi.

{g | ∈

3. Si dimostri che ker φ = gh = hg per ogni h G}.

TERZO ESERCIZIO

·) ·) × ·

Siano (G, e (H, due gruppi. Si definisca in G H un’operazione binaria

nel modo seguente: · · ·

(g , h ) (g , h ) = (g g , h h ) .

1 1 2 2 1 2 1 2

× ·)

1. Si dimostri che (G H, è un gruppo che indichiamo con il simbolo G⊕H.

→ ⊕ → ⊕

2. Si verifichi che le applicazioni f : G G H, f : H G H definita

1 2

da f (g) = (g, 1 ), f (h) = (1 , h) sono omomorfismi iniettivi.

1 H 2 G ⊕

3. Si dimostri che Im f e Im g sono sottogruppi normali di G H.

4. Si dimostri che se g è un elemento di G di periodo finito n e h è un elemento

di H di periodo finito m allora (g, h) ha periodo uguale al minimo comune

multiplo di n e m. ·) ·) ⊕

5. Si dimostri che se (G, = (Z , +) e (H, = (Z , +) allora Z Z è

n m n m

ciclico se e solo se n e m sono primi tra loro.

QUARTO ESERCIZIO ·)

Si consideri il monoide (Z , dove n è un intero positivo. Si stabilisca la verità

n

o falsità delle seguenti affermazioni: −1

− − −

1. La classe [n 1] è invertibile e [n 1] = [n 1]

n n

n

2. La classe [2] è invertibile se e solo se n è dispari.

n 6

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RISOLUZIONE DELLA PRIMA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO {1, {1} {2},

1. L’affermazione è falsa: se ad esempio A = 2}, B = e C = si

∪ ∪ 6

ha che A B = A C = A, ma B = C. {1}, {1} {1,

2. L’affermazione è falsa: se ad esempio A = B = e C = 2}, si

∩ ∩ 6

ha che A B = A C = A, ma B = C.

SECONDO ESERCIZIO

−

Un elemento di A B appartiene ad A ma non a B, viceversa un elemento di

− − −

B A appartiene a B ma non ad A. Dunque A B e B A non hanno elementi

− − − −

in comune. In particolare A B = B A se e solo se A B e B A sono

− ∅

entrambi vuoti. Ma A B = se e solo se non esistono elementi che stanno in

⊆ − ∅

A ma non in B ovvero se e solo se A B; analogamente B A = se e solo se

⊆ − −

B A. In conclusione A B = B A se e solo se A = B.

TERZO ESERCIZIO ∅, {a}, {b}

L’insieme P (U ) è costituito dai 4 elementi e U . È facile elencare i

minoranti e i maggioranti di ciascun elemento:

• ∅

l’elemento ha come unico minorante se stesso e come maggioranti tutti

gli elementi di P (U );

• {a} ∅

l’elemento ha come minoranti se stesso e e come maggioranti se

stesso e U ;

• {b} ∅

l’elemento ha come minoranti se stesso e e come maggioranti se

stesso e U ;

• l’elemento U ha come minoranti tutti gli elementi di P (U ) e come unico

maggiorante se stesso.

QUARTO ESERCIZIO

1. La relazione di parallelismo tra rette del piano è di equivalenza. Infatti:

(a) per definizione vale la proprietà riflessiva;

(b) sempre per definizione vale la proprietà simmetrica;

(c) se a è parallela a b e b è parallela a c, allora, supponendo per assurdo

che a e c non siano parallele, avremmo che a e c sarebbero incidenti

in un punto A. Ma allora per il punto A passerebbero due rette (a

e c) parallele alla retta b, il che contraddice il quinto postulato di

Euclide. 1

Risoluzione degli esercizi assegnati 2

2. La relazione di perpendicolarità tra rette del piano non è di equivalenza.

Infatti:

(a) non vale la proprietà riflessiva: una retta non può essere perpendico-

lare a se stessa;

(b) vale per definizione la proprietà simmetrica;

(c) non vale la proprietà transitiva: se a è perpendicolare a b e b è per-

pendicolare a c allora a non è perpendicolare a c (infatti a e c sono

parallele).

3. La relazione è di equivalenza. Infatti:

(a) ogni retta è parallela a se stessa;

(b) per definizione vale la proprietà simmetrica;

(c) dimostriamo che vale la proprietà transitiva: sia a in relazione con b

e b in relazione con c. Dobbiamo distinguere 4 casi: se a è parallela

a b e b è parallela a c allora a è parallela a c; se a è parallela a b e b è

perpendicolare a c allora a è perpendicolare a c; se a è perpendicolare

a b e b è parallela a c allora a è perpendicolare a c, infine se a è

perpendicolare a b e b è perpendicolare a c allora a è parallela a c. In

tutti i casi notiamo che a è in relazione con c.

4. La relazione non è di equivalenza. Infatti:

(a) non vale la proprietà riflessiva: i numeri negativi non sono in relazione

con se stessi;

(b) per definizione vale la proprietà simmetrica;

≥ ≥

(c) non vale la proprietà transitiva: se a + b 0 e b + c 0 non è detto

≥ −1.

che a + c 0. Si scelgano ad esempio a = b = 0 e c =

5. La relazione è di equivalenza. Infatti:

(a) vale la proprietà riflessiva: il prodotto di un numero non nullo per se

stesso è un numero positivo;

(b) per definizione vale la proprietà riflessiva;

(c) vale la proprietà transitiva: se ab > 0 e bc > 0 allora

2

ac = (ab) (bc) 1/b

ovvero ac è uguale al prodotto di tre numeri positivi e, dunque, è

positivo.

Si noti che nei casi 3 e 5 per mostrare che la relazione data non è di equivalenza è

sufficiente osservare che almeno una delle tre proprietà soddisfatte dalle relazioni

di equivalenza non è verificata. Nella risoluzione per maggiore informazione si

è comunque verificata la validità o meno di ciascuna proprietà anche se ciò non

è strettamente necessario.

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

RISOLUZIONE DELLA SECONDA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ∼

1. Verifichiamo che la relazione è di equivalenza. La dimostrazione per

Π

∼ è del tutto analoga.

r ∈ ∼

(a) Per ogni P S si ha che d (P, Π) = d (P, Π) e, dunque, P P :

Π

∼

pertanto è riflessiva.

Π

∼

(b) Se P Q allora d (P, Π) = d (Q, Π) e, dunque, d (Q, Π) = d (P, Π)

Π

∼ ∼

cioè Q P : pertanto è simmetrica.

Π Π

∼ ∼

(c) Se P Q e Q R allora d (P, Π) = d (Q, Π) e d (Q, Π) = d (R, Π).

Π Π ∼ ∼

Pertanto d (P, Π) = d (R, Π) cioè P R: dunque è riflessiva.

Π Π

∼

(a) Ciascuna classe di equivalenza di è individuata dalla distanza tra

Π

un suo punto qualsiasi e il piano Π. In particolare l’insieme quoziente

∼

S/ è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali

Π ∼

non negativi. Descriviamo allora gli elementi di S/ : la classe

Π

corrispondente a 0 è formata da tutti e soli i punti aventi distanza 0

da Π ovvero da tutti e soli i punti giacenti su Π; se α è un numero

reale positivo la classe corrispondente a α è formata da tutti e soli i

punti aventi distanza α da Π ovvero da tutti e soli i punti giacenti su

uno dei due piani paralleli a Π aventi distanza α da Π.

(b) Analogamente al caso precedente abbiamo che l’insieme quoziente

∼

S/ è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali

r

non negativi. La classe corrispondente a 0 è formata da tutti e soli

i punti aventi distanza 0 da r ovvero da tutti e soli i punti giacenti

su r; se α è un numero reale positivo la classe corrispondente a α è

formata d