Geometria e Algebra

Esercitazioni Geometria e Algebra. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Dimostrare la verità o falsità delle seguenti implicazioni, Siano A e B due sottoinsiemi di un insieme U. Quali condizioni devono verificare
A e B affinch´e A − B = B − A? ecc.

Esame Geometria e Algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Passarelli Antonia

Università Università degli studi di Napoli Federico II

Publisher Sara F

A.A. 2012-2013

27 pagine

Esercitazione

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GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

QUARTA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ·)

Sia G un insieme con n elementi. Quanti gruppoidi (G, esistono?

SECONDO ESERCIZIO

◦)

Sia (σ , il gruppo simmetrico su tre elementi, dove σ è l’insieme delle corri-

3 3 ◦

spondenze biunivoche da un insieme con tre elementi in se stesso e è l’opera-

zione di composizione.

Determinarne la tabella dell’operazione.

TERZO ESERCIZIO ◦):

Si considerino i seguenti due elementi del gruppo simmetrico (σ ,

1 2 3 1 2 3

a = e b = .

1 3 2 3 2 1

∈ ∈

Determinare x σ e y σ tali che:

3 3 ◦ ◦

a x = b e y a = b.

QUARTO ESERCIZIO

·)

In un gruppo (G, è valida la seguente legge di cancellazione?

· · · · · ·

Se a b c = d b e allora a c = d e.

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

QUINTA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ·)

1. Stabilire se in un gruppo (G, vale la seguente proprietà delle potenze:

n n n

· ·

(a b) = a b per ogni a, b in G, per ogni n in Z.

·)

2. Dimostrare che se a e b sono elementi di un gruppo (G, tali che a·b = b·a

allora n n n

· ·

(a b) = a b per ogni n in Z.

SECONDO ESERCIZIO

1. Mostrare con un esempio che, dati due sottogruppi H e K di un gruppo

·), ∪ ·).

(G, non è detto che H K sia un sottogruppo di (G, ·), ∪

2. Dimostrare che, dati due sottogruppi H e K di un gruppo (G, H K

·) ≤ ≤

è un sottogruppo di (G, se e solo se H K o K H.

TERZO ESERCIZIO

·)

Sia (G, un gruppo e sia H un suo sottogruppo. Si definisca in G la seguente

relazione: −1

∼ · ∈

a b se e solo se a b H.

∼

1. Si dimostri che la relazione cosı̀definita è una relazione di equivalenza.

2. Si verifichi che per ogni elemento a di G si ha

[a] = H a.

∼

QUARTO ESERCIZIO

·) ∼

Sia (G, un gruppo e sia una relazione di equivalenza compatibile con il

·).

prodotto di (G,

1. Si dimostri che [1] è un sottogruppo di G.

∼

2. Indicato con H il sottogruppo [1] , si dimostri che H è normale in G.

∼ ∼

3. Si dimostri che le classi di equivalenza di sono i laterali (destri o sinistri)

−1

∼ ∈

di H. (Suggerimento: verificare che a b se e solo se a·b H e utilizzare

l’esercizio 3) 5

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

SESTA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ·)

1. Dimostrare che un gruppo finito (G, di ordine uguale a un numero primo

è ciclico e ogni suo elemento diverso dall’unità genera il gruppo.

◦),

2. Determinare tutti i sottogruppi di (σ , specificando quali sono normali.

3 ◦).

3. Determinare tutti i gruppi quoziente di (σ ,

SECONDO ESERCIZIO

·) ∈

Sia (G, un gruppo. Per ogni g G si definisca l’applicazione φ di G in sé nel

modo seguente: −1

φ (h) = ghg .

1. Si provi che φ è un automorfismo di G.

2. Si dimostri che l’applicazione φ da G in Aut (G) che porta g in φ è un

omomorfismo tra gruppi.

{g | ∈

3. Si dimostri che ker φ = gh = hg per ogni h G}.

TERZO ESERCIZIO

·) ·) × ·

Siano (G, e (H, due gruppi. Si definisca in G H un’operazione binaria

nel modo seguente: · · ·

(g , h ) (g , h ) = (g g , h h ) .

1 1 2 2 1 2 1 2

× ·)

1. Si dimostri che (G H, è un gruppo che indichiamo con il simbolo G⊕H.

→ ⊕ → ⊕

2. Si verifichi che le applicazioni f : G G H, f : H G H definita

1 2

da f (g) = (g, 1 ), f (h) = (1 , h) sono omomorfismi iniettivi.

1 H 2 G ⊕

3. Si dimostri che Im f e Im g sono sottogruppi normali di G H.

4. Si dimostri che se g è un elemento di G di periodo finito n e h è un elemento

di H di periodo finito m allora (g, h) ha periodo uguale al minimo comune

multiplo di n e m. ·) ·) ⊕

5. Si dimostri che se (G, = (Z , +) e (H, = (Z , +) allora Z Z è

n m n m

ciclico se e solo se n e m sono primi tra loro.

QUARTO ESERCIZIO ·)

Si consideri il monoide (Z , dove n è un intero positivo. Si stabilisca la verità

o falsità delle seguenti affermazioni: −1

− − −

1. La classe [n 1] è invertibile e [n 1] = [n 1]

n n

2. La classe [2] è invertibile se e solo se n è dispari.

n 6

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

RISOLUZIONE DELLA PRIMA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO {1, {1} {2},

1. L’affermazione è falsa: se ad esempio A = 2}, B = e C = si

∪ ∪ 6

ha che A B = A C = A, ma B = C. {1}, {1} {1,

2. L’affermazione è falsa: se ad esempio A = B = e C = 2}, si

∩ ∩ 6

ha che A B = A C = A, ma B = C.

SECONDO ESERCIZIO

−

Un elemento di A B appartiene ad A ma non a B, viceversa un elemento di

− − −

B A appartiene a B ma non ad A. Dunque A B e B A non hanno elementi

− − − −

in comune. In particolare A B = B A se e solo se A B e B A sono

− ∅

entrambi vuoti. Ma A B = se e solo se non esistono elementi che stanno in

⊆ − ∅

A ma non in B ovvero se e solo se A B; analogamente B A = se e solo se

⊆ − −

B A. In conclusione A B = B A se e solo se A = B.

TERZO ESERCIZIO ∅, {a}, {b}

L’insieme P (U ) è costituito dai 4 elementi e U . È facile elencare i

minoranti e i maggioranti di ciascun elemento:

• ∅

l’elemento ha come unico minorante se stesso e come maggioranti tutti

gli elementi di P (U );

• {a} ∅

l’elemento ha come minoranti se stesso e e come maggioranti se

stesso e U ;

• {b} ∅

l’elemento ha come minoranti se stesso e e come maggioranti se

stesso e U ;

• l’elemento U ha come minoranti tutti gli elementi di P (U ) e come unico

maggiorante se stesso.

QUARTO ESERCIZIO

1. La relazione di parallelismo tra rette del piano è di equivalenza. Infatti:

(a) per definizione vale la proprietà riflessiva;

(b) sempre per definizione vale la proprietà simmetrica;

che a e c non siano parallele, avremmo che a e c sarebbero incidenti

in un punto A. Ma allora per il punto A passerebbero due rette (a

e c) parallele alla retta b, il che contraddice il quinto postulato di

Euclide. 1

Risoluzione degli esercizi assegnati 2

2. La relazione di perpendicolarità tra rette del piano non è di equivalenza.

Infatti:

(a) non vale la proprietà riflessiva: una retta non può essere perpendico-

lare a se stessa;

(b) vale per definizione la proprietà simmetrica;

pendicolare a c allora a non è perpendicolare a c (infatti a e c sono

parallele).

3. La relazione è di equivalenza. Infatti:

(a) ogni retta è parallela a se stessa;

(b) per definizione vale la proprietà simmetrica;

e b in relazione con c. Dobbiamo distinguere 4 casi: se a è parallela

a b e b è parallela a c allora a è parallela a c; se a è parallela a b e b è

perpendicolare a c allora a è perpendicolare a c; se a è perpendicolare

a b e b è parallela a c allora a è perpendicolare a c, infine se a è

perpendicolare a b e b è perpendicolare a c allora a è parallela a c. In

tutti i casi notiamo che a è in relazione con c.

4. La relazione non è di equivalenza. Infatti:

(a) non vale la proprietà riflessiva: i numeri negativi non sono in relazione

con se stessi;

(b) per definizione vale la proprietà simmetrica;

≥ ≥

≥ −1.

che a + c 0. Si scelgano ad esempio a = b = 0 e c =

5. La relazione è di equivalenza. Infatti:

(a) vale la proprietà riflessiva: il prodotto di un numero non nullo per se

stesso è un numero positivo;

(b) per definizione vale la proprietà riflessiva;

ac = (ab) (bc) 1/b

ovvero ac è uguale al prodotto di tre numeri positivi e, dunque, è

positivo.

Si noti che nei casi 3 e 5 per mostrare che la relazione data non è di equivalenza è

sufficiente osservare che almeno una delle tre proprietà soddisfatte dalle relazioni

di equivalenza non è verificata. Nella risoluzione per maggiore informazione si

è comunque verificata la validità o meno di ciascuna proprietà anche se ciò non

è strettamente necessario.

GEOMETRIA E ALGEBRA

INGEGNERIA INFORMATICA

RISOLUZIONE DELLA SECONDA SERIE DI ESERCIZI

PRIMO ESERCIZIO ∼

1. Verifichiamo che la relazione è di equivalenza. La dimostrazione per

∼ è del tutto analoga.

r ∈ ∼

(a) Per ogni P S si ha che d (P, Π) = d (P, Π) e, dunque, P P :

∼

pertanto è riflessiva.

∼

(b) Se P Q allora d (P, Π) = d (Q, Π) e, dunque, d (Q, Π) = d (P, Π)

∼ ∼

cioè Q P : pertanto è simmetrica.

Π Π

∼ ∼

Π Π ∼ ∼

Pertanto d (P, Π) = d (R, Π) cioè P R: dunque è riflessiva.

Π Π

∼

(a) Ciascuna classe di equivalenza di è individuata dalla distanza tra

un suo punto qualsiasi e il piano Π. In particolare l’insieme quoziente

∼

S/ è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali

Π ∼

non negativi. Descriviamo allora gli elementi di S/ : la classe

corrispondente a 0 è formata da tutti e soli i punti aventi distanza 0

da Π ovvero da tutti e soli i punti giacenti su Π; se α è un numero

reale positivo la classe corrispondente a α è formata da tutti e soli i

punti aventi distanza α da Π ovvero da tutti e soli i punti giacenti su

uno dei due piani paralleli a Π aventi distanza α da Π.

(b) Analogamente al caso precedente abbiamo che l’insieme quoziente

∼

S/ è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali

non negativi. La classe corrispondente a 0 è formata da tutti e soli

i punti aventi distanza 0 da r ovvero da tutti e soli i punti giacenti

su r; se α è un numero reale positivo la classe corrispondente a α è

formata d

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