Formulario completo analisi 2

Lunghezza di una curva e integrali di linea

Lunghezza di una curva

L(γ) = ∫‖γ(t)̇‖ dt in coordinate polari = ∫‖(ρ(t),θ(t))̇‖sqrt(ρ'²+ρ²θ'²) dt

Retta tangente

p(t)=(t₀) + (t-t₀)T(t₀)

Vettore tangente T(t) = γ(t)̇/‖γ(t)̇‖

Integrali di linea

∫_γ ds = ∫_a,b ‖γ(t)̇‖ dt

∫(traiettoria del pazzo) stessa cosa (ϕ pronta) = ∫_a,b f(γ(t))‖γ(t)̇‖ dt

∮_γ f(x,y) dx = ∫_a,b (f(γ(t))γ(t)̇) dt

γ(t) = (x(t),y(t)), a≤t≤b

Versore normale

N(t) = T^⊥(t)/‖T^⊥(t)‖

Derivata direzionale

D_vf(x₀,y₀) = ⟨∇f(x₀,y₀),v⟩

Derivate di funzioni composte

1. f(x(t), y(t), z(t)), g_t = d/dt∇f: ℝⁿ → ℝⁿ : g' = g'_x(x(t₀),y(t₀))a_B,b_R: a∈B^T,R: a∈Rⁿ : g(x(t₀), y(t₀)) = ∇g(x(t₀, y(t₀))
2. f_j(x(t₀,y(t₀)) 8 stesse condivisioni di 3
3. J(g)(x(t₀,y(t₀)) = J(g(x(t₀,y(t₀))) 36 stesse condivisioni 3

Coordinate polari

x = ρcosθ y = ρsinθ, a,b,ρ

x = ρcosθ y = ρbcosφ φ, θ, a, b, ρ, φ

Studio delle simmetrie

D(f)(x₀,y₀) = J(f(n.scriptor))f(|f)

1. ∫_∂Σ (bounded) = J(affinico) ≝ D_xphi(x(t₀), y(t₀)) = ∂d/dx f(x(t₀/2,y(t₀))) = ∇

Integrazione

Σ = φ₁m(1)φ₂n(2)φ∂zo = 0 a (M₀,N₀)

V(t) = 2(∇s) = F ∈ W^2,t (a)

Massimi e minimi liberi (#2 variabili)

d_xH(x₀,y₀)f₁(x₀,y₀)f₂(x₀,y₀)H_f(x₀,y₀)0>0>0>0>00>0minimomassimominmax

Integrali di II specie

∫_1,0 f°dy = F(t)|_t0 {- ∫_tFr(t)|₀Fr(t)| = ∫_1/2(t₀) dt

Flusso Φ_Σ(F)

= ∬_ΣF⃗ · N ds = ∬_D(σ(x,y)dy) dx dx∬_ΣΦ(F) = ∯_Σ∭_ΣF₁ + ∂_∂(F_F) dx dx dx

Lunghezza di una curva

L(γ) = ∫_a^b |γ'(t)| dt in coordinate polari ρ(θ) = ∫_θ0^θ₁ √[ρ'(θ)² + ρ²(θ)] dθ

Anello: superficialità e parametrizzabilità

Retta tangente ρ(t) = (t - t₀)γ'(t₀) + γ(t₀)

Versore tangente

T(t) = γ'(t) / |γ'(t)|

Versore normale

N(t) = T^⊥(t) T^⊥(t) = T'(t) / |T'(t)|

Integrali di linea

∫_γ dσ = ∫_α^β |r'(t)| dt

∫_γ f dσ = ∫_α^β f[γ(t)] |γ'(t)| dt

∫_γ f dz soph. _α^β f[r(t)]zr'(t) dt

Derivata direzionale

D_vf(x₀, y₀) = ∇f(x₀, y₀) ⟨v₁, v₂⟩

Derivate di funzioni composte

1. f(x, y) = g(g₂(x, y), g₁(x, y)) ∇g(x, y) = g'(g₁(x₀, y₀), g₂(x₀, y₀)) ∇g(x₀, y₀): ℝ² → ℝ³: g ⊂ (x₀, y₀) ∇g((x, y)) = ∇g(x₀, y₀) |∇g((x₀, y₀))

Studio delle simmetrie

D_uu= ∫d (e₃, x₀, y₀) u=-(θ) con simmetrie sugli 0 c'è... f stesso.

Barycentro di VA(ξ)

≡ ∮[V(ξ) - A_ξ (x, y)] g(ξ) dξ

Differenziale I e II

(x₀, y₀) = d f(x₀, y₀)= d² f(x₀, y₀)

d² f(x₀, y₀) = ⟨M₁₁, M₁₂, H₂₂⟩

Massimi e minimi liberi (variabili)

drf(x,y)Hf(x,y)