Fisica 3 - Elettrotecnica

L

1 2

τ µ

−

= = = ⋅ =

6

88 10 sec 88 sec

γ R

Tenuto conto di ciò è possibile riscrivere l’equazione:

2  

d q d q

1 ω

+ ⋅ ⋅ + ⋅ =

2

 

2 q 0

o

τ

2 dt

 

dt α

t

e e pertanto si ha:

Come soluzioni di tale equazione si provano soluzioni del tipo

 

1

α α α

α α ω

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

2 t t 2 t

 

e 2 e e 0

o

τ

 

semplificando si ottiene:

 

1

α α ω

+ ⋅ ⋅ + =

2 2

 

2 0

o

τ

 

si ha dunque una equazione di secondo grado in α, le cui soluzioni sono:

1 1

α ω

= − − − 2

1 0

τ τ 2

1 1 ω

α = − + − 2

2 0

τ τ 2

La soluzione nel caso di due radici distinte è:

α α

⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅

t t

q (

t ) A e A e

1 2

1 2 ∆

4 si ha:

A seconda del valore del

∆ > 0 soluzioni reali e distinte

4

∆ < 0 soluzioni complesse e coniugate

4

∆ = 0 soluzioni coicidenti

4 ∆ > 0

4

Regime sovrasmorzato R 1

∆ 1 1 >

ω

> ω

2

> >

0 ⋅

2 L

0 ⋅

τ 0

τ L C

2

4 e pertanto

allora sostituendo si ha:

Se il e di

L

> ⋅

R 2 C .

conseguenza

L’andamento temporale della q(t) è di tipo esponenziale, e precisamente è la somma di due

esponenziali con costanti di tempo differenti.

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III ∆ = 0

4

Regime criticamente smorzato R 1

∆ 1 1 >

ω

= ω

2

= =

0 ⋅

0 2 L ⋅

τ 0

τ L C

2

4 allora sostituendo si ha:

Se il e pertanto e di

L

= ⋅

R 2

critica C

conseguenza

L’andamento temporale di q(t) è predominante esponenziale.

∆ < 0

4

Regime sottosmorzato

∆ 1 ω

− <

2

< 0

0 0

τ 2

4

Se il allora , essendo valida questa uguaglianza:

   

1 1

ω ω

− − = ⋅ −

2 2 2

   

i

0 0

τ τ

2 2

    = −

2

i 1 le due soluzioni complesse e coniugate

poiché

dell’equazione differenziale che si sta studiando, possono essere scritte così:

1 1

α ω

= − − ⋅ −

2

i

τ

1 0 τ 2

1 1

α ω

= − + ⋅ −

2

i

2 0

τ τ 2

Ponendo 1

ω ω

= −

2

0 τ 2

e φ

⋅

= ⋅ i

A a e

1 φ

− ⋅

= ⋅ i

A a e

2

dove A1 ed A2 sono complessi e coniugati, dalla soluzione dell’equazione si ha:

t t t t

− − − −

α α φ ω φ ω ω φ ω φ

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

t t i i t i i t i ( t ) i ( t )

τ τ τ τ

( )

q t A e A e a e e e a e e e a e e a e e

1 2

1 2 ω φ ω φ

t − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

+

i ( t ) i ( t )

e e

−

⋅ ⋅ ⋅

τ

a e

2 2 da cui usando le note formule

proseguendo con i calcoli si ha:

di Eulero si ha: t

− ω φ

= ⋅ ⋅ ⋅ −

τ

( ) cos( )

q t A e t

con A e φ da determinarsi in base alle condizioni iniziali, ovvero

= =

 ( 0 )

q t CV 0

 = =

( 0 ) 0

i t



Ricordando che 

 t t t

1

dq d − − −

ω φ ω φ ω ω φ

= = − = − − − −

τ τ τ

( ) Ae cos( t ) Ae cos( t ) A e sin( t )

i t 

 τ

dt dt 



Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

Imponendo le condizioni iniziali

A 1 1

φ ω φ ω φ φ φ ω −

= = − − − − = ⇒ = ⇒ = =

1

i (

t 0 ) cos( ) A sin( ) 0 sin cos tg ( t )

τ τ ωτ



 t

− ω φ

= = − =

τ

q (

t 0 ) Ae cos( t ) CV



 0



 =

t 0

CV 1

= = +

0

A 1 CV

φ 0

ω τ

2 2

cos

Nel caso di regime molto debolmente smorzato (ωτ » 1) avremo

φ → 0

→

A CV 0

Perciò t

− ω

= τ

( ) cos

q t CV e t

0

quindi otteniamo l’andamento della tensione ai capi del condensatore, ovvero:

t

q (

t ) − ω

= = τ

V (

t ) V e cos t

C 0

C

Utilizzando l’oscilloscopio si è misurata, in funzione del tempo, la tensione ai capi del

condensatore.

µsec, Valori di picco di tensione misurati ai capi del condensatore con l’oscilloscopio

Tempo in dal 3 Resistenze in 2 Resistenze in 1 Resistenza Nessuna Resistenza

primo picco di parallelo parallelo

tensione

0 4 [V] 3.76 [V] 3.36 [V] 4.32 [V]

16 2.56 [V] 2.24 [V] 1.52 [V] 3.36 [V]

32 1.68 [V] 1.36 [V] 0.8 [V] 2.72 [V]

48 1.20 [V] 0.9 [V] 0.4 [V] 2.16 [V]

64 0.8 [V] 0.5 [V] Valore non 1.68 [V]

apprezzabile

80 0.5 [V] 0.4 [V] Valore non 1.36 [V]

apprezzabile

96 Valore non Valore non Valore non 1.12 [V]

apprezzabile apprezzabile apprezzabile

112 Valore non Valore non Valore non 0.8 [V]

apprezzabile apprezzabile apprezzabile

128 Valore non Valore non Valore non 0.7 [V]

apprezzabile apprezzabile apprezzabile

134 Valore non Valore non Valore non 0.64 [V]

apprezzabile apprezzabile apprezzabile

150 Valore non Valore non Valore non 0.4 [V]

apprezzabile apprezzabile apprezzabile

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

All’oscilloscopio sono state visualizzate delle forme d’onda simili a quelle riportate in figura

2, nella quale è possibile apprezzare le oscillazioni della tensione ai capi del condensatore con un

onda quadra in ingresso al circuito RLC di frequenza 1 kHz.

Figura 2 - Andamento della tensione ai capi del condensatore

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

Tuttavia per analizzare meglio la forma d’onda ottenuta è preferibile analizzare un solo

periodo di 1 ms (figura 3).

Analizzando tale forma d’onda ottenuta allo Spice (un simulatore di circuiti elettrici) anche

senza l’uso di cursori si nota che i valori della tensione non sono gli stessi di quelli misurati in

laboratorio, ciò è dovuto al fatto che il simulatore usa delle induttanze ideali.

Figura 3 - Andamento della forma d'onda in un periodo

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

I dati rilevati sono utilizzati per implementare un algoritmo Matlab che consentisse di

riportare l’andamento della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo; trasportando

questi valori in scala semilogaritmica è possibile ottenere una retta la cui pendenza fornisce la

costante di tempo del circuito.

Esaminiamo i valori ottenuti considerando il circuito con tre resistenze in parallelo, che

danno una resistenza equivalente

Dalla teoria, sappiamo che la costante di tempo di un circuito RLC, è definita come

−

⋅ ⋅ 3

2 L 2 6 . 9 10

τ µ

− −

= = = ⋅ = ⋅ =

3 6

0 . 08734 10 87 . 34 10 87 . 34 s

teor R 158

eq

Ma utilizzando i dati rilevati notiamo che il valore teorico non coincide con quello

sperimentale, infatti abbiamo che la costante di tempo la ricaviamo partendo dalla relazione

t

−

= τ

( )

V t V e

0

che in scala semilogaritmica diventa

t

= −

V V

ln ln τ

0

che rappresenta una retta avente coefficiente angolare

1

= −

m τ .

Quindi ricordando che per due punti passa una e una sola retta, e detti tali punti (V1,t1) e

(V2,t2), possiamo ricavare il coefficiente angolare, e perciò la costante di tempo, come

−

t t

τ = 2 1

V

1

ln V 2 −

32 16

τ µ .

= =

Nel caso di circuito con le 3 resistenze otteniamo 38 . 1 s

exp 2 . 56

ln 1

. 68

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

Utilizzando l’algoritmo Matlab si è plottato l’andamento della tensione in funzione del

tempo (figura 4). Figura 4 - Andamento della tensione in funzione del tempo

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

A questo punto, per calcolare la costante di tempo è stato necessario trasportare questo grafico in

scala logaritmica, ottenendo quanto riportato in figura 5.

Figura 5 - Andamento della tensione in scala logaritmica

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

Pertanto ricorrendo all’ algoritmo Matlab riportato di seguito

v3=[4 2.56 1.68 1.20 0.8 0.5 0.4]

t3=[0 16 32 48 64 80 96]

v3log=log(v3)

x3=(0:98);

y3=((v3log(7)-v3log(1))/(t3(7)-t3(1)))*x3-(((v3log(7)-v3log(1))/(t3(7)-

t3(1))))*t3(1)+v3log(1);

m3=((v3log(7)-v3log(1))/(t3(7)-t3(1)))

tau3=-1/m3

si è tracciata la retta passante per i punti, in scala logaritmica, misurati in laboratorio (figura 6) .

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III Figura 6 - Retta passante per i valori della tensione in scala logaritmica

Michele Nava

Anno Accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

Calcolando la pen