Esercizi svolti metodi di ottimizzazione per l'economia e la finanza

Simplex

1)

max P = 4x₁ + 5x₂

3x₁ + 5x₂ ≤ 20

x₁ + x₂ ≤ 6

x₁, x₂ ≥ 0

⇒

max P = 4x₁ + 5x₂

3x₁ + 5x₂ + s₁ = 20

x₁ + x₂ + s₂ = 6

x₁, x₂, s₁, s₂ ≥ 0

• x₁
• x₂

• 3
• 5

• s₁
• s₂
• RHS

• 0
• 1
• 20

I SBA: (0,0,20,6)

z = 0

entra x₂ ed esce s₁

R₁ → R₁/5

• 3/5
• 1
• 1/5
• 0
• 4

x₂

II SBA: (0,4,0,2)

z = 20

R₂ → R₂ - 1/5

R₃ → R₃ + 1

• 1/5
• -1/5
• 0
• 20

entra x₁ ed esce s₂

R₁ → R₁ - 3/2

R₂ → R₂ + 5/2

III SBA: (5,1,0,0)

P = 4(5) + 5 = 25

*

2)

max z=4x₁+6x₂

-x₁+x₂+s₁=11

x₁+x₂+s₂=27

2x₁+5x₃+s₃=90

x₁,x₂,s₁,s₂,s₃

ext. x₂ ed esce s₁ (per il minimo rapporto)

I SBA: (0,0,11,27,90)

ext. x₁ ed esce s₃

ext. x₂ ed esce s₁

II SBA: (0,11,0,16,39)

ext. x₁ ed esce s₃

III SBA: (5,16,0,6,0)

z=4(5)+6(16)=116

x1 + x2 + x3 = 41/2x1 + 1/2x2 + 2/3x3 = 2 => x1 + x2 + 3/2x3 = 4

g(x1, x2, x3, λ1, λ2) = x1² + x2² + x3² - x1x2 - x2x3 - λ1(x1 + x2 + x3 - 1) - λ2(1/2x1 + 1/2x2 + 2/3x3 - 4)

2x1 - x2 - λ1 - 1/2λ2 = 02x2 - x1 - x3 - λ1 - λ2 = 02x3 - x2 - λ1 - 2/3λ2 = 0

=> 3x1 - x3 - 3λ1 - 4/3λ2 = 0 => 3x1 - x3 = 3λ1 + 4/3λ2=> x3 = 3x1 - 3λ1 - 4/3λ26x1 - 8x1 - 8/4 λ1 - 2x1 - 1/2λ2 = 0

x1 = 3/2λ1 + 6/2λ2x2 = 2/5λ1 + λ2 = 38/5 + 8 = 38/40 = 2/5

x1 = 3/2λ1 + 6/2λ2x2 = 2/5 λ1 + λ2 = 38

x1 = 2/5λ1 + 10λ2 = 4λ1 = 1/5 - 2λ2 - 1/4, 8 - 20 ÷ 1920λ2 + 21λ1 λ2 = 4λ2 = 4 - 2 - 2

x1* = 1/8x2* = 1/5x3* = 13/10

III Probl. MuG

2x1 - x2 - λ1 = 02x2 - x1 - x3 - λ1 = 02x3 - x2 - λ1 = 0x1 + x2 + x3 = 1x2 = 2λ1

λ1 = 1/5 x1* = x3* = 3/10x2* = 2/5

Opzioni

1) 3 livelli: Call su az. Europea

S₀ = 4€

K = 5€

u = 1,5 d = 0,5 r = 0,1 = 10% -> tasso annule

T = 3 mesi

Δt = 1 mese

q*=                       = 0,6 = 60%

P_t =    

= ₁⁄_1,13  [1,5|2] = 1,13€

7

• 3 p. bianche
• 4 p. nere
• 4 p. rosse
• 2 p. gialle

P(2 palline stesso colore)=P((B,B)∪(N,N)∪(R,R)∪(G,G))=

P(B,B)+P(N,N)+P(R,R)+P(G,G)=

(3/17⋅2/16)+(4/17⋅3/16)+(4/17⋅3/16)+(2/17⋅1/16)

8

1 scatola=3 palline blu e 4 bianche

• Evento R₁: prima pallina estratta è rossa
• Evento R₂: seconda pallina estratta è rossa

Calcolare le prob. che la prima pallina estratta fosse rossa, dato l’evento R₂:

P(R₂|R₁)

P(B|R₂)=1/2

P(R₂|R₁)=

P(R₁|R₂)

9

Una famiglia ha due figli. Sapendo che uno dei due è maschio, qual è la probabilità che entrambi siano maschi?

• F M
• F F
• F F M M F F

P(M₁,M₂)= casi favorevoli / casi possibili = 1/3

Probabilità

15) 2 dadi lanciati simultaneamente, uno Nero e uno Bianco

• A = {il dado Nero mostra un numero dispari}
• B = {il dado Bianco mostra un numero pari}
• C = {Esce la somma 10 o dispari}

P(A) = ³/₆ = ¹/₂

P(B) = ³/₆ = ¹/₂

P(C) = ¹⁸/₃₆ = ¹/₂

(Gli eventi A, B, C sono indipendenti?)

Due eventi sono indipendenti se P(A∩B) = P(A)·P(B)

P(A∩B∩C) = ⁹/₃₆

⁹/₃₆ ≠ ¹/₂·¹/₂·¹/₂ = ⁸/₄

16) In una ditta le femmine sono il terzo dei maschi.

10% donne approssimata di occhio acuto 457. mascherine

Determina la probabilità che una disposito acetto a lavaria

• F = 3F
• P(F) = 0.3
• P(M) = 0.923

P(femmina occhio approssimato di occhio) = P(F)·P(AC|F) + P(M)·P(AC|M)

0.75·0.10 + 0.25·0.145 = 0.1875 = 18.75%

29) Si lanciano 3 dadi, determinare

1 a) Probabilità di ottenere un tris?

b) " che la somma dei 3 dadi sia 10?

Tutti i casi possibili: 6³ = 216

a) Casi favorevoli di tris = 6

P(TRIS) = ⁶/₂₁₆ = ¹/₃₆

b) ²⁷/₂₁₆ × ¹/₈

H

a) Ottenere almeno un 6?

Casi possibili: 6³ = 216

⇒ 1 - (⁵/₆)³ = 1 - ¹²⁵/₂₁₆ = ^{216 - 125}/₂₁₆ = ⁹¹/₂₁₆ = 0,4212963

b) Ottenere almeno un 5 e un 6?

6³ = 216 casi possibili

1. 1 2 3 4 5 6
2. 1 2 3 4 5 6
3. 1 2 3 4 5 6

H

Opzioni:

1 d) Put Americana

S₀ = 80

T = 2 mesi r_mensile = 0,05 k = 82

P₀ = ?

p⁰¹_u = 72

P⁽²⁾_L = max (82 - 72; 0) = 0

S⁽⁴⁰⁾₀ p⁽¹⁾₁ = max (82 - 48; 0) = 4

S₀ = 80

P⁽⁰⁾₂ = max (82 - 32; 0) = 20

f ^1,05/_0,8 = 0,629 − 1 - q^* = 0,375

b) p⁰¹ = max [max (82 - 60 ; 0) ; ^{0,629 × 4 × 0,375 × 4}] = 1,43

c) p₀₁ = max [max (82 - 40 ; 0) ; ^{0,625 × 4 × 0,375}] = 1,03

P₀ = ¹/_1,05 [^{0,629 × 1,43 + 0,375 × 12}] = 3,14€