Metodi numerici - esercizi svolti

- ANNO ACCADEMICO 2019-2020 -

METODI NUMERICI

- UNIMORE -

uⁿ-sin(t)→u → uⁿ-u₁sin(t) → L(u) = uⁿ-u

L(αu+βv) = αL(u)+βL(v) → αuⁿ+βvⁿ-αu₁βv₁ = α(uⁿ-u₁)+β(vⁿ-v₁) = αL(u)+βL(v)

L(αu+βv) = (αu+βv)ⁿ-(αu+βv)₁ = (u+βv)ⁿ - (u+βv)₁

☆ uⁿ-2t → u ↔ uⁿ-u₂2t → L(y) = uⁿ-u₁t²

L(αu+βv) = αL(u)+βL(v) → αuⁿ+βvⁿ-αu₂+βv₂ = α(uⁿ-u₂t²)+β(vⁿv₂) = αL(u)+βL(v)

L(αu+βv) = (αu+βv)ⁿ-(αu+βv)₂ = (u+βv)ⁿ₂-(u+βv)[

☆ u → u ↔ uⁿ → L(y) = uⁿ−u

L(αu+βv) = αL(u)+βL(v) → α(uⁿ)+β(Lⁿ) = αL(u)+βL(v)

L(αu+βv) = (αu+βv)ⁿ−(αu+βv) = (uⁿ+vⁿ−u) = α(L(u))+β(L(v))

Emunciare e dimostrare il principio di sovrapposizione

Principio di sovrapposizione

Se u(t),u₁(t),...,u_k(t) sono soluzioni dell’equazione omogenea L(u)=0,

allora ogni loro combinazione lineare

α₁u₁(t)+α₂u₂(t)...+α_ku_k(t)

è soluzione di L(u)=0

Dimostrazione

• considerando l’equazione differenziale lineare omogenea L(u)=0
• considerando u₁(t): soluzione di L(u)=0
• Supposto L(αu)=αL(u)=0
• allora anche α(u(t) è soluzione di L(u)=0
• considerando u₁(t) e u₂(t): soluzioni di L(u)=0
• Supposto L(u₁+u₂)+L(λ₂) = 0 + 0= 0
• allora anche u₁(t);u₂(t): soluzione di L(u)=0
• combinando le due proprietà si ho che anche
• αu₁(t)+λu₂(t) (combinazione lineare)
• è soluzione di L(u)=0.

2

* u̇⁴ - u^̇2 = u̇³ + u^̇2 = 0 non lineare

* u̇⁴ + 2u̇³ + 2u̇ = 0

→ -2⁴ + 2. 2. 0 = 2. (2^1/2 / 6 - 2. 2^1/2) + 2. 2^1/2 / 6,

=> 2^1/2 - 2^1/2(4+2)/-1 , +2√6, /from 2. 2. 2^1/2 6

• U(t) = c₁ e^{(21/2 6)t} + c₂ e^{(21/2 6)t}
• U(0) = U₀
• U̇(0) = U̇₀

• c₁ + c₂ = U₀
• c₁ (2^1/2) (6) + c₂ (2^1/2) (6) = U̇₀

U(t) = (2√6/2√6) e^(2√6)t + e^{(2 - 1/6)t}

a(t) = 2

b(t) = t ≠ 0

U(t) = e^-st e^t ∫₀^t e^s ds

= e^-2t (U₀ + ∫₀^t e^2s ds)

∫₀^t e^2s ds | -^1/2 e^2s, s

= ∫₀^t |1/2 e^2s, s

U̇(t) = t/2

* U̇ = t/4 non lineare

* u''(t) + u(t) = t sin(2t)

Omogenea

z² + 4 = 0

f(t) = C₁ e⁰ + C₂ e^l

φ(t) = C₁ cos(t) + C₂ sin(t)

Particolare

g(t) = t sin(2t)

W''(t) + W(t) = t e^2it

• radici: z = ±j
• g(t): t sin(2t)
• g(t): P(x) e^{α t} cos(β t) + Q(x) e^{α t} sin(β t)

⇒ α⁴ = 0, β² = 2, P(x) ≡ Q(x)

essendo α¹² + β³ ≠ z ⇨ Soluzione del tipo

φ(t) = (d₀ + α₁ t) e^2it

• Derivare

φ(t) = α₁ e^2ti + (d₀ + α₁ t) 2i e^2ti

φ'(t) = α₁ 2i e^2ti + (d₀ + α₁ t) 4 e^2ti + (d₀ + α₁ t) e^2ti

• Sostituisco

α₁ 2i e^2ti + α₁ 2i e^2ti - (d₀ + α₁ t) 4 e^2ti + (d₀ + α₁ t) e^2ti = t e^2ti

α₁ 2i + α₁ 2i - 4 d₀ + 4 α₁ t + d₀ + α₁ t = t

α₁ 2i + α₁ 2i - 4 d₀ + d₀ = 0

-4 α₀ + d₁ = 1

α₀ = -⁴/₃i

α₁ = -¹/₃

Quindi:

φ(t): (-⁴/₃ - i t/₃) e^2ti

Secondo eulero

φ(t) = (-⁴/₃i - i t/₃) (cos(2t) + i sin(2t)) = -⁴/₃i cos(2t) + i

Sin(2t) = -⁴/₃i sin(2t) -¹/₃i t

= -⁴/₃i cos(2t) -¹/₃i t

Mi interessa la parte immaginaria di φ(t)

ψ(t) = IM (φ(t)) = (-⁴/₃ i cos(2t) -¹/₃i t sin(2t))

16

Quindi:

h₂(t) = -5 + 5e^-1/2 + t^5/2

h₂(t) = 5 - 15e^1/2 + t^5/2t

21.

L'equazione differenziale omogenea del sesto ordine

ha le radici della sua equazione caratteristica λ₁,λ₂,λ₃:1 λ₄,λ₅:2 λ₆:3

Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale del sesto ordine e la soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali:

u(0)=0 u'(0)=1 u''(0)=0 u^III(0)=1 u^IV(0)=0 u^V(0)=1

u(t): c₁e^t + c₂te^t + c₃t²e^t + c₄e^2t + c₅te^2t + c₆e^3t

r e^t te^t t²e^t e^2t te^2t c e^3t

I e^t e^t te^t t²e^t e^2t 2te^2t e^2t + 2te^2t 3e^3t

II e^t e^t te^t + t²e^t + t²e^t 2te^t + t²e^t t²e^t 2te^t + t²e^t 4e^2t 4e^2t 2t²e^3t

3e^3t

III e^t 2e^t + te^t 2e^t + 4te^t + t²e^t 4e^2t 4te^2t 4te^2t 2e^3t

IV e^t 3e^t + te^t 6te^t + 6te^t + t²e^t 8e^2t 8e^2t + 8te^2t 201e^3t

V e^t 3te^t + t²e^t 6t²e^t + 6t²e^t t²e^t 16e^2t 16e^2t + 8te^2t 81e^3t

VI e^t 5e^t + te^t 20e^t + 10te^t + t²e^t 32e^2t 38e^2t + 321e^2t 243e^3t

1. 1 0 0 1 0 1 | c₁ | 0
2. 1 0 2 1 3 c₂ 1
3. 1 2 4 4 9 c₃ | 0 |
4. 1 3 6 8 12 24 c₄ 1
5. 1 4 12 16 22 81 c₅ 0
6. 1 5 20 32 38 243 c₆ 1

Si risolve trovando A^-1 -> c = A^-1b

e si trova la solzione particolare avendo determinato c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆

.

26.

ΔZ =

=>

Y = X

Cambiamento

Calcolo matrice inverso.

Det(X) =

TEMPOSATA

Rotina del

Cofatore

Soluzione

Etc...