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Esercizi Simplesso

1)

Forma Canonica

max P = 4x₁ + 5x₂ { 3x₁ + 5x₂ ≤ 20 x₁ + x₂ ≤ 6 x₁, x₂ ≥ 0 }

Forma Standard

max P = 4x₁ + 5x₂ + 0s₁ + 0s₂ { 3x₁ + 5x₂ + s₁ = 20 x₁ + x₂ + s₂ = 6 x₁, x₂, s₁, s₂ ≥ 0 } x₁ x₂ s₁ s₂ RHS 3 5 1 0 20 S₂ 1 1 0 1 6 S₁ -4 -5 0 0 0

entra x₂ ed esce s₁

Criterio Minimo Rapporto

20/5 = 4 → 1 (↓) esce S₁ 6/1 = 6

- Dividere la riga corrispondente a S₁ per il denominatore del rapporto più basso

x₁ x₂ s₁ s₂ RHS 3/5 1 1/5 0 4 x₂ 2/5 0 -1/5 1 2 S₂ -1 0 1 0 20

Riga 2 = Riga 2 vecchia - (1)*Riga 1 nuova

  • 1 - 1 = 0
  • 3 - (10) = 1
  • 1 - (10) = -2
  • 1 - (0) = 1
  • 6 - (1) = 5

Riga 3 = Riga 3 vecchia - (4)*Riga 1 nuova

  • 1 - 1 = 0
  • 1 - 4 = 1
  • 1 - 0
  • 6 - 1.2 = 2

Riga che entra

Riga funzione obiettivo = Valore negativo piu alto al multiole

Rentra = rnuova + valore di u elemento

  • 5 - 3/5 = 1
  • 5 - 5/0 = 1
  • 5 - 0 = 1
  • 5 - (0-1)
  • 5 - 4 0 = 20

Determ x1 ed ecc.

  • RHS
  • 2 4 5 2.1 3

Entra s1

Divider la riga corrispondente ad S2 per il determinatore del rapimarto hu reranne

x1 x2 s1 s2 RHS 0 1 1/2 3/2 1 x1 1 0 -1/2 -5/2 5 x1 0 0 1/2 5/2 25 x2

3BBA = (5 3 0)

P(3BBA) = 25

R1 = R1 vecchia - 2 • R3 nuova

0 + 0 • 0

40 - 2 • 0 = 0

50 - 0 - 0 + (1 + 2/7) = 3/7

40 - 2 • (3/7) = - 3/7

R2 vecchia - 2 • R3 nuova

40 • 0 + 0 = 0

0 + 6 = 0

0 • (50 / 7) + 6 • (50 + 6) = 0/7 = 8/7

40 • 0 - 2/3

• 7

40 • 5 + 66 = 416

Entra S3 ed esce

16 - 56

8 - 56

RHS = 6: 14

RHS S1

S1 = lo escludo perché negativo

Divido la riga corrispondente alla

dei rapporti min bassi

  • 0 0 0 0 0 -2/3 7/21 12
  • 0 0 1 7/3 = -2/3 14
  • 0 0 0 5/3 = -1/3 15 X1
  • 0 0 0 8/3 2/3 +132

R1 = R1 vecchia - 7/7 = R2 nuova

P(4°SB) = 32 48 0

CASO 1)

x1 = 0

2x2 = 3λ

x22 + 3 = 3 → x2 non può essere negativo

Dunque affinchè 2x2 = 0

x2 = 0

λ = 0

  • P1 = (0, √3, 0)
  • P2 = (0, -√3, 0)

CASO 2)

x1 ≠ 0

x1 = 2λ

x22 + 4λ2

-8λ2 - 4λ2 + 3 = 0

se λ = 1/2

  • x2 = ±1
  • x1 = ±1
  • x1 = ±1

λ = 1/2

  • x2 = 1
  • x3 = 1
  • x1 = 0
  • P3 = (1, 1, 1/2)
  • P4 = (-1, -1, -1/2)
  • P5 = (1, -1, -1/2)
  • P6 = (-1, 1, -1/2)

La regione ammessa ... il vincolo ... che

... di parametri di un cerchio (R = ...)

chiuso (e chiuso funziona). ... funzione è chiuso e

limitato ⇒ TEOREMA DI WEIERSTRASS dice che i max

esistono lavoreremo ... X [decisioni]; Velut 6/indicate

... questi 6 punti — l7 è ... grande → è MAX

Per determinare max della funzione obiettivo (max ... esiste

teorema di WEIERSTRASS ... (R)) un relminimizz-.

minimizzare chiave ... eliminato (1-2) è sufficiente

valutare f(P1), f(P2), f(P3), f(P4)

f(P5), f(P6) ... potente lavoro

si trova tra P1 ...

x1 + 4x2 + 3x3 - 4M = 0

x2 - (λ + 2)x3 = 0

3x1 + 4x2 + x3 = 3M

Foc

x1 = λM - 3x3

x2 = x3

x = A⁻1M - x3

sostituire

3x3 = 2H

x3 = 2/3M

x1 = λ + M

Sostituire questi tre valori nella 4° e 5° equazione

A⁻ + λ/3M + λ + 2M + 3M = 3/2

2λ + 2M + 2M = 3/2

M = 2λ/2

Metodo di Cramer

det A

|2 3/2 2|

|2 13/13|

λ* = 5 (3/2) λ

M* = 5 (13/3 1) 2

3/2 = 3/15

Verifica

16/5 13/5 5/10 3/2

16/15 1 λ

VARIANZA MINIMA DEL PORTAFOGLIO OTTIMO

IKKT

1)

min f(x,y) = 2y - x2

S ={ x + y ≤ 1

-x2 + y ≤ 1

x ≥ 0, y ≥ 0

2y - x2 - λ1(-x2 + y + 1) - λ2(x) - λ3(y)

dx = -2x + 2xλ1 - λ2 = 0

dy = 2 - 2λ1 - λ3 = 0 → λ3

Schema positivo dunque dalle ultime equazioni y=0

CONDIAMO DI COMPLEMENTARIETÁ

Se x = 0 λ2 = 0 λ1 = 0

P* (0, 0, 0, 2) z = f(0, 0) = 0

x > 0

y = 0

λ2 = 0 λ = 1 x = 1

PT DI MINIMO

→ P* (1, 0, 0, 2) 2 + f(1, 0) = -1

2)

max 2 + x * y

-x2 - y2 ≤ 2

S ={

x, y ≥ 0

-x ≤ 0 ; -y ≤ 0

L xy - λ1 (x + y2 - 2) - λ2(-x) - λ3(-y) =

xy - λ1(x + y2 - 2) + λ2x + λ3y

x-y+2λ1+λ3=0

2x+2y=6

λ3y=0

λ3x=0

  • 2o CASO
  • λ1 > 0
  • λ2 > 0
  • λ3 = 0

y=1/2

y=1/2-y-y=5

2x-1=0

x=1/2

  • 3o CASO
  • λ1 > 0
  • λ2 = 0
  • λ3 > 0

x=0

y=1/2

4-2λ1=0

λ1=2

p*(0, 1/2, 2, 3, 0)

  • 4o CASO
  • λ1 = 0
  • λ2 > 0
  • λ3 > 0

x=0

λ1 = 1 NO

  • 5o CASO
  • λ1 = 0
  • λ2 > 0
  • λ3 = 0

x=0

λ=-1 NO

  • 6o CASO
  • λ1 = 0
  • λ2 = 0
  • λ3 > 0
Dettagli
Publisher
leonardo.pandolfi
A.A. 2017-2018
53 pagine
25 download
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-P/11 Economia degli intermediari finanziari
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher leonardo.pandolfi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi di ottimizzazione per l'economia e la finanza e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma Tor Vergata o del prof Scarlatti Sergio.