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12/09/2020

Proprietà dell'estremo inferiore.

x, y ∈ R e x < y ≤ |x| + |y|

Allora, ∃ un M ≤ x s.t. |x| ≤ M

−|y| ≤ y ≤ |y|

Risulta |x| ≥ 0 ⇒ x = 0

x − 1/2 ≤ x + y ≤ |x + y|

|x + y| < x + y ≤ x

Per la definizione di valore assoluto di un vettore, in numeri reali, possiamo

dire: { a, se a > 0

{ 0, se a > 0

Dato a > 0, si trova che x ≤ a y ≤ x − a

|x + y| ≤ |x| + |y|

∀ |x| = |y| ≤ y ≤ (2)

Osservazione: |x + y| ≥ x + |y| ⇒ |x| ≤ y

|x + y| ≥ |x| + |y|

|x1| + |y1| ≤ |x + y|(3)

  • Come dim. precedentemente
  • |x1| + |y1| ≥ |x| + |y| (1)
  • La distanza triangolare si può anche esprimere come |a − b| ≤ |b − 1| + |(a) − (c)|

Poiché, dato x, ∀ x ∈ R, (a) − (c), osserviamo che siamo, quindi possiamo

rappresentare x  basandoci sulle parti reali:

a c---------|b| c c

{ Poiché |b| ≤ x

∀ (a) − c1 − y

Uniá cosa sostituica x = a − b

e (a) ≥ b{ |a, − b| ≥ |a| la, |b|

Ponendo x, ecos a ov:{ (− b) ≤ b − (b − b) ≥ (b| − |a| −(|b| − |b|)

{ |a| + |b| ≤ a + |b| − 1

T3 |x| - |y| ≤ |x+y|

Dimostriamo che |x| + |y| ≤ |x+y|

|x|-|y|≤x+y

|x| |y|

Triangolo

e che da triangolare

|x|+|y|≥|x+y|

|x|-|y|≥|x+y|

|x|-|y|≤|x+y|

dato (1), può estendersi al caso di n addendi:

Proprietà immediate:

  1. |a|b |ai|
  2. a/b = |a|/|b|
  3. ni |ai|

(3) Corretta:

  • disuguaglianza triangolare |ai|
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robb._.g
A.A. 2021-2022
66 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher robb._.g di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Soave Nicola.