Esercizi di analisi 1

Esercizi Analisi 1

Serie

Esercizio 1

∑_n=1 ¹/_n(n+3) = 1/n(n+3) = 1/n+3n = 1/n²(1+³ⁿ/_n²) = 1/n²(1+³/_n)

b_n = 1/n²

∑_n=1 1/n² converge allora ∑_n=1 1/n(n+3) converge per il confronto asintotico

Se lim_n→∞ (d_n/b_n) = 1 allora d_n ≈ b_n

Esercizio 2

∑_n=1 ²ⁿ⁺¹/_n²(n+1)² = d_n = ²ⁿ⁺¹/_n²(n+1)² = n(²⁺/_n) = a(²⁺/_n) = (2+¹/_n)

b_n = 1/n³

lim_n→∞ (d_n/b_n) = e

∑_n=1 1/n³ converge allora ∑_n=1 2n+1/n²(n+1)² converge

es. 3

idea è di migliorare o minorare il logaritmo

log(n+1) < n

facendo reciprocario cambia il verso della disuguaglianza

log(n+1)

1/log(n+1)

1/n

Poiché _n=2 ∑ 1/n

diverge ⇒ ∑ 1/log(n±1)

Poiché 1/n diverge ⇒ ∑ 1/log(n+1)

DIVERGE

(nel grafico il log sta sotto la bisezione)

es. 4

∑ _n=1 log (n+1/n²) ← serie a termina negativi

∞

(log(n+1/n²)) n→∞ log = -∞ ⇒ ∑n=1 log (n+1/n²)

log (log n+1/n²) → ∞

DIVERGE

ecco perchè è a termini negativi

lim _n→∞ [log ⁿ⁺¹/_n²] = -∞ ⟶ ∑ _n=1 log ⁿ⁺¹/_n²

Il log di un numero che tende a zero tende a ∞

es 11

d_n = ^√n+(−1)n/_n d_n > 0

posso provare ad applicare Leibniz ma d_n+1 ≤ d_n NON VALE! Non è monotona decrescente

Provo a spezzare la serie

(∑ ^{(-1)n√n+(−1)n}/_n = ∑ ^(-1)n√n/_n + ∑ 1/n

CONVERGE      DIVERGE

applico Leibniz alla prima serie

(∑ ^(-1)n√n/_n = d_n = √n/n

* d_n > 0, n→∞

* d_n+1 < d_n

1/√n+1 <-> 1/√n     √n < √n+1

Succede ∑ ^(-1)n√n/_n converge e ∑ 1/n diverge

La serie DIVERGE