Esercizi e formule Modellistica ed Identificazione parte 1 confronto tra proporzioni

Percentile Distribuzione

1 - E_X = 95%

Occorre scegliere λ tale che

X = λ√X_s λ = E_X si chiamapercentile E_X di X.

I percentili di una gaussiana sono

• 1.95 0.05
• 1.645 0.1
• 2.516 0.01

Nei test di Hp si va a fissare la P(errore I° tipo)

E in base a quello si decide X = λ√X_s

P(X > X̄ | H₀) = ε_X

P(X > m₁ + λ_E√X) = 0.05 (esempio)

Definiamo così il set critico come

S_E = {X > M_M + 1.645√}

Errore II° tipo: accetto H₀ quando è falsaE_II: {X

1 - P(E_II) = potenza del test.

Secondo il lemma di Neyman-Pearson fissando l'errore del primo tipoquello del secondo corrispondente risulta essere quello con la piùpiccola probabilità di

Stima puntuale valor medio e varianza

Det. valore di un parametro e valutare l’affidabilità della stima.

Consideriamo:

• N ∈ (natural numbers)
• X = Attributo

come è noto μ_X e σ_X² sono definiti come

• μ_X = 1/N ∑_i=1^N x_i
• σ_X² = 1/N ∑_i=1^N (x_i - μ_(X))²

Se dalla popolazione N estraiamo un campione di M unità e valutiamo la media campionaria su queste

• μ^_ = 1/M ∑_i=1^M x_i

⟶ E[μ^_] = μ

⟶ ⟶ Calcolo varianza + complicato

Calcolo della varianza campionaria

σ_M² = 1/M-1 ∑_i=1^M (x_i - μ^_)²

⟶ ^N/_n ⬆ = _M/M-1 (σ²)

Se abbiamo un intervallo Z garantisce [in entrambi i casi]

Campione (Z ➜) = σʸ/Vʸ

Varianza della media campionaria

• σ_μ² = σ²/(√M)
• Varianza (σ̃²)

Appello 4-02-2019 (Turno III)

Es 3)

N = 200

Gruppo 1: 78% n = 138 (Trattamento standard)

Gruppo 2: 90% n = 62 (Nuovo trattamento)

1. Nuovo metodo efficace ?

M1 = 100 p̂1 = 78%

M2 = 100 p̂2 = 90%

Statistica test Δp = p̂2 - p̂1

H0: E[Δp] = 0

H1: E[Δp] > 0

Se H0 è vera

Δp - E[Δp] = 1⎮Δp ⎮

p0 = 78 + 90 = 0,84

Essendo N = 200, 0,84(1-0,84)1/2 > 26,88 > 10 la statistica test ha distribuzione gaussiana standard

ΙΔpΙ > λc ~ N(0,1) = 0,02888 > 1,645 rifiuto H0

ε = 0,05

1. IC = 95% :

(Δp ± λc σΔp / √n) = (0,12 + 1,960 * 0,051 / √20)

= (0,12 + 0,007068) = (0,11 ; 0,13)

σ²Δp = p̂1(1-p̂1) / m1 + p̂2(1-p̂2) / m2

= 0,007416 + 0,0009 = 0,002616

√σΔp = 0,051

APPELLO DEL 16-06-2015

ES. 3

M₁ = 500

P̂₁ = ²/₅₀₀ = 0,04

M₂ = 100

P̂₂ = ³/₁₀₀ = 0,03

Δp = P̂₁ - P̂₂

P0 = ^{3 + 20}/₆₀₀ = 0,03833

H₀: E[Δp] = 0

H₁: E[Δp] ≥ 0

600 × 0,03833 × (1 - 0,03833) > 10

22,11 > 10 e Se è vera H₀

S_E = {|Δp| < 2S_E

| / √p0(1 - p0)(¹/_n1 + ¹/_n2)}

^0,01/_0,021 < 1,645

0,4761 < 1,645 => RIFIUTO H₀

APPELLO DEL 22-01-2015

ES. 4

M₁ = 376

P̂₁ = ²⁶/₃₇₆ = 0,069

M₂ = 210

P̂₂ = ⁸/₂₁₀ = 0,038

Δp = P̂₁ - P̂₂

E[Δp] = p₁ - p₂

√Δp = √p̂₁ + √p̂₂

p0 = ^{26 + 8}/_{376 + 210} = 0,058

H₀: E[Δp] = 0

H₁: E[Δp] > 0

Essendo 586 (1 - 0,058) × 0,058 > 10

32,01 > 10 e Se ⊂ H₀

Il set carino è:

S_E = {|Δp| < 2S_E

| / √p0(1 - p0)(¹/_n1 + ¹/_n2)}

Nel nostro caso,

^0,031/_0,000405 > 1,645

76,51 > 1,645 => RIFIUTO H₀

APPELLO DEL 11-02-2014

• ES.3

• M₁ = 25
• p̂₁ = 16/25 = 0,64
• M₂ = 72
• p̂₂ = 57/72 = 0,79

p₀ = (16 + 57) / (25 + 72) = 0,75

Δp = 0,15

Δp = p̂₁ - p̂₂

S. Test

H₀: E[Δp] = 0

H₁: E[Δp] > 0

S_E = {T > λ_2%}

0,15 / 0,10 > 1,645

1,5 > 1,645 ACCETTO H₀

I 2 ISTRUTTORISONO UGUALMENTE BRAVI

APPELLO 21-06-2010

• ES.5

• M₁ = 50
• p̂₁ = 37/50 = 0,74
• M₂ = 50 (IPOTESI null)
• p₂ = 25/50 = p₅₀

p₀ = 0,62

Δp = p̂₁ - p̂₂

(M₁ + M₂)p₀(1-p₀) > 10 verificato(V)

|Δp|

└(p₀(1-p₀))(1/M₁ + 1/M₂) > λ_2%

0,24 / 0,097 > 4,645 ⇒ 2,47 > 1,645

RIFIUTO H₀LA % È RIGUARDA