Statistica – Esercizi

R

dalla devianza di regressione, o dal modello di regressione.

Esercitazione di Statistica Economica SEGI 2

Paolo Postiglione

In caso di correlazione pari a -1 tra X ed Y, queste ultime risultano: (

4. indicare e motivare la

):

scelta

aventi necessariamente covarianza pari a -1;

a. Å

totalmente discordi;

b. totalmente concordi;

c. tra loro linearmente indifferenti

d.

soluzione: ρ .

La correlazione si misura in questo caso attraverso il coefficiente di correlazione lineare

ρ ρ

< ⇒ = −

0 X e Y discordi. Il caso limite (X e Y totalmente discordi) si ha quando 1 dato che

σ

ρ ρ

ρ σ

− ≤ ≤ = −

= ⇒

xy

1 1 1

. Dato che non è necessario che sia uguale a -1 per avere . X e

σ σ xy

x y σ ρ =

= 0, ossia 0

.

Y sono tra loro linearmente indifferenti quanto xy

La tabella seguente riporta l’altezza in cm e la taglia di 8 individui:

5. 2 2

Altezza in Taglia(Y) (X-M(X)) (Y-M(Y)) (2) (X-M(X)) (Y-M(Y)) (1)*(2)

cm(X) (1) (3) (4)

2,75 -1,25 7,56 1,56 -3,43

180 51 -6,25 2,75 39,06 7,56 -17,19

171 55 -4,25 -0,25 18,06 0,06 1,06

173 52 5,75 8,75 33,06 76,56 50,31

183 61 7,75 10,75 60,06 115,56 83,31

185 63 3,75 2,75 14,06 7,56 10,31

181 55 -1,25 -11,25 1,56 126,56 14,06

176 41 -8,25 -12,25 68,06 150,06 101,06

169 40

1418 418 241,25 485,50 239,5

a) Calcolare la media aritmetica delle due variabili;

b) Calcolare la varianza delle due variabili e stabilire quale delle due presenta variabilità

maggiore;

c) Misurare la relazione esistente tra peso e altezza con il coefficiente di correlazione lineare;

2

= + e calcolare l’indice .

d) Stimare i parametri della retta di regressione Y a bX R

soluzione:

M(x)=1418/8=177,25 M(y)=418/8=52,25 V(x)=241,25/8=30,19 V(y)=485,50/8=60,69

~ ~ ~ ~

σ σ σ σ

= ⋅ = = ⋅ = ⇒ <

2 2 2 2 2 2

30

,

19 ( 7 177

, 25 ) 0

,

0001 60

, 69 ( 7 52

, 25 ) 0

, 0032

x y x y

σ ( 239

,

5 / 8

)

ρ ρ

= ⇒ = =

xy 0

, 7

σ σ ⋅

30

,

19 60

, 69

x y

Esercitazione di Statistica Economica SEGI 3

Paolo Postiglione

( )

μ μ

∑ − −

( )

x y

σ 239

,

5

i x i y

ˆ ˆ

β β

= = ⇒ = =

xy 0

,

99

i ( )

1 1

σ μ

∑

2 2

− 241

, 25

x

x i x

i

ˆ ˆ

β μ β μ

= − = − ⋅ = −

52

, 25 0

,

99 177

, 25 123

, 23

0 1

y x σ 2

~

σ =

2

L’indice di variabilità relativo (indipendente dall’unità di misura) è definito da: μ −

2 ( 1

)

N

è il valore ottenuto dalla retta di regressione sostituendo il valore della generica nella

NB : ŷ x

i i

= −

retta di regressione: 0

,

99 123

, 23

y x ( )

− ˆ 2

− ˆ

x y ŷ y y y y

i i i i i i i

180 51 54,97 -3,97 15,76

171 55 46,06 8,94 79,92

173 52 48,04 3,96 15,68

183 61 57,94 3,06 9,36

185 63 59,92 3,08 9,49

181 55 55,96 -0,96 0,92

176 41 51,01 -10,01 100,20

169 40 44,08 -4,08 16,65

247,98

( )

∑ 2

− ˆ

y y

( ) 247

,

98

i i

Dev E ρ

= − = = − = − = = = =

2 2 2 2

1 1 1 0

,

51 0

, 49 0

,

7 0

, 49

i ( ) R

R μ

∑ 2

−

( ) 485

,

5

Dev Y y i y

i

6. Data la seguente distribuzione doppia: y

1 2 3

2 4 4

2 10

x 2 5 2

4 9

4 9 6 19

Calcolare il coefficiente di correlazione lineare. ( )

μ

− μ 2

⋅ −

x n x

n n

x x

0 0 0

i i i x

i i

i i x

2 10 20 -0,95 10*0,90=9

4 9 36 1,05 9*1,1=9,9

19 56 18,9

μ =

= ( ) 0

,

99

2

,

95 Var x

x ( )

μ

⋅ − μ 2

−

n y n y

y n y

0 0 0

j j j j y

i j j y

1 4 4 -1,11 4*1,23=4,93